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二、填空题
1. $2024$年$6$月$2$日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地，完成世界首次月球背面采样和起飞. 通过飞行器探测月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距$405500$千米，用科学记数法表示这个数并保留三位有效数字是
1. $2024$年$6$月$2$日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极—艾特肯盆地，完成世界首次月球背面采样和起飞. 通过飞行器探测月球沿着一定的轨道围绕地球运动，某一时刻它与地球相距$405500$千米，用科学记数法表示这个数并保留三位有效数字是
4.06×10⁵
千米.答案
4.06×10⁵
2. 将三个同样大小的正方形的一个顶点重合放置，如图，那么$∠ 1 =$
15
度.答案
15
解析
因为正方形的每个内角为90°，三个正方形顶点重合，中间正方形的直角被分成45°、∠1、30°三个角，所以∠1=90°-45°-30°=15°。
3. 对任意的四个有理数$a$，$b$，$c$，$d$定义运算$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，则$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的相反数是 ______.
答案
$2$（这里题目是填空题，按要求直接填数字2）
解析
根据题中定义，$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，所以$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1 × 4 - 2 × 3 = 4 - 6 = -2$，其相反数为$2$。
4. 甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，$3$小时后相遇. 已知水流速度是$4$千米/时，则相遇时甲、乙两船航行的距离相差
24
千米.答案
24
解析
设甲、乙两船在静水中的速度为$v$千米/时。
甲船顺流，船速为：$v+4$（千米/时），
乙船逆流，船速为：$v-4$（千米/时），
甲船3小时航行的距离为：$3(v+4)=3v+12$（千米），
乙船3小时航行的距离为：$3(v-4)=3v-12$（千米），
两船航行的距离之差为：
$(3v+12)-(3v-12)$
$=3v+12-3v+12$
$=24$（千米）
所以相遇时，甲、乙两船航行的距离相差$24$千米。
甲船顺流，船速为：$v+4$（千米/时），
乙船逆流，船速为：$v-4$（千米/时），
甲船3小时航行的距离为：$3(v+4)=3v+12$（千米），
乙船3小时航行的距离为：$3(v-4)=3v-12$（千米），
两船航行的距离之差为：
$(3v+12)-(3v-12)$
$=3v+12-3v+12$
$=24$（千米）
所以相遇时，甲、乙两船航行的距离相差$24$千米。
三、解答题
1. 如图，点$P$，点$Q$分别代表两个村庄，直线$l$代表两个村庄中间的一条公路. 根据居民出行的需要，计划在公路$l$上的某处设置一个公交站.
(1) 若考虑到村庄$P$居住的老年人较多，计划建一个离村庄$P$最近的车站，请在公路$l$上画出车站的位置(用点$M$表示)，依据是
(2) 若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄$P$和村庄$Q$的距离之和最小，请在公路$l$上画出车站的位置(用点$N$表示)，依据是
1. 如图，点$P$，点$Q$分别代表两个村庄，直线$l$代表两个村庄中间的一条公路. 根据居民出行的需要，计划在公路$l$上的某处设置一个公交站.
(1) 若考虑到村庄$P$居住的老年人较多，计划建一个离村庄$P$最近的车站，请在公路$l$上画出车站的位置(用点$M$表示)，依据是
垂线段最短
；(2) 若考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到村庄$P$和村庄$Q$的距离之和最小，请在公路$l$上画出车站的位置(用点$N$表示)，依据是
两点之间线段最短
.答案
(1)垂线段最短；(2)两点之间线段最短
解析
(1)过点P作直线l的垂线，垂足为M，依据是垂线段最短；(2)连接PQ交直线l于点N，依据是两点之间线段最短。
