6 如图，AB为$\odot O$的直径，E为$\odot O$上一点，C为$\overset{\frown}{EB}$的中点，过点C作$CD ⊥ AE$，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F.
（1）求证：CD是$\odot O$的切线；
（2）若$DE=1$，$DC=2$，求$\odot O$的半径.

6. (1) 如图,连结 OC. 因为 C 为$\overset{\frown}{EB}$的中点,所以$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CB}$. 所以$∠DAC=∠CAF$. 因为$OA=OC$,所以$∠OAC=∠OCA$. 所以$∠DAC=∠OCA$. 所以$OC// AD$. 因为$CD⊥AE$,所以$OC⊥CD$. 因为 OC 为$\odot O$的半径,所以 CD 是$\odot O$的切线 (2) 如图,连结 BC,CE. 因为$CD⊥AD$,所以$∠D=90°$. 因为$DE=1$,$DC=2$,所以$CE=\sqrt{DC^2+DE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$. 因为 C 为$\overset{\frown}{EB}$的中点,所以$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CB}$. 所以$EC=CB=\sqrt{5}$. 因为 AB 为$\odot O$的直径,所以$∠ACB=90°$. 因为$∠DEC+∠AEC=180°$,$∠ABC+∠AEC=180°$,所以$∠DEC=∠CBA$. 又因为$∠D=∠ACB=90°$,所以$△ DEC ∽ △ CBA$. 所以$\dfrac{DE}{CB}=\dfrac{CE}{AB}$,即$\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{AB}$. 所以$AB=5$. 所以$AO=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{5}{2}$. 所以$\odot O$的半径为$\dfrac{5}{2}$

7 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB=CD，且AB与小圆相切. 求证:CD与小圆也相切. （第7题）

7. 如图,过点 O 作$OE⊥AB$于点 E,$OF⊥CD$于点 F,连结 OB,OD,设小圆的半径为 r. 因为 AB 与小圆相切,所以$OE=r$. 又因为$AB=CD$,$OE⊥AB$,$OF⊥CD$,所以$BE=\dfrac{1}{2}AB$,$DF=\dfrac{1}{2}CD$. 所以$BE=DF$. 又因为$OB=OD$,所以$Rt△OBE ≌ Rt△ODF$. 所以$OE=OF$. 所以$OF=r$. 所以 CD 与小圆也相切

8 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ABC = 90°$, D 为 $∠ ACB$ 平分线上的一点, 连结 AD. AB 与 CD 交于点 O, 以点 O 为圆心, OB 长为半径作圆.
(1) 求证: AC 是$\odot O$的切线;
(2) 若 $BC=3$, $AB=4$, 求 OC 的长.

8. (1) 过点 O 作$OE⊥AC$,垂足为 E,所以$∠OEC=∠OEA=90°$. 因为$∠B=90°$,所以$∠B=∠OEC=90°$. 因为 CD 平分$∠ACB$,所以$∠ACD=∠BCD$. 在$△ BOC$和$△ EOC$中,$\begin{cases}∠B=∠OEC,\\∠BCO=∠ECO,\\OC=OC,\end{cases}$所以$△ BOC ≌ △ EOC$. 所以$OB=OE$. 因为 OB 为$\odot O$的半径,所以 OE 为$\odot O$的半径. 又因为$OE⊥AC$,所以 AC 是$\odot O$的切线 (2) 在$Rt△ABC$中,由勾股定理,得$AC^2=BC^2+AB^2=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 设$\odot O$的半径为 r,则$OB=OE=r$,所以$OA=AB-OB=4-r$. 由(1),得$△ BOC ≌ △ EOC$,所以$BC=EC=3$. 所以$AE=AC-EC=5-3=2$. 在$Rt△OAE$中,由勾股定理,得$OE^2+AE^2=OA^2$,即$r^2+2^2=(4-r)^2$,解得$r=\dfrac{3}{2}$. 所以$OB=\dfrac{3}{2}$. 在$Rt△OBC$中,$OC^2=OB^2+BC^2=(\dfrac{3}{2})^2+3^2=\dfrac{45}{4}$,所以$OC=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}$

9 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠DAB=90°，AB是⊙O的直径，且CO平分∠BCD。
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为4，DC=10，求梯形ABCD的面积。

9. (1) 过点 O 作$OE⊥CD$,垂足为 E,则$∠OEC=90°$. 因为$AD// BC$,$∠DAB=90°$,所以$∠OBC=180°-∠DAB=90°$. 所以$∠OEC=∠OBC$. 因为 CO 平分$∠BCD$,所以$∠BCO=∠ECO$. 又因为$OC=OC$,所以$△ OCE ≌ △ OCB$. 所以$OE=OB$,即 OE 是$\odot O$的半径. 所以 CD 与$\odot O$相切 (2) 由(1),得$△ OCE ≌ △ OCB$,所以$EC=BC$. 因为$∠DAB=90°$,AB 是$\odot O$的直径,所以 AD 是$\odot O$的切线. 因为 CD 是$\odot O$的切线,所以$DE=DA$. 所以$S_{梯形ABCD}=\dfrac{1}{2}(AD+BC)·AB=\dfrac{1}{2}(DE+EC)·AB=\dfrac{1}{2}DC·AB=\dfrac{1}{2}×10×8=40$