5. 如图,小明拿着老师的等腰直角三角尺进行测量时,不小心掉到两墙之间,AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.

(1)求证:△ADC≌△CEB；
(2)若DE=35 cm,请你帮小明求出墙砖的厚度a的大小.(每块砖的厚度相等)

(1) 证明：
由题意可知，$△ ACB$是等腰直角三角形，
$\therefore AC = BC$，$∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 180° - 90° = 90°$。
$\because AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ D = ∠ E = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ DAC = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ BCE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D = ∠ E \\∠ DAC = ∠ ECB \\AC = CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$。
---
(2) 解：
由图可得：左侧墙共4块砖，$AD = 4a$；右侧墙共3块砖，$BE = 3a$。
$\because △ ADC ≌ △ CEB$，
$\therefore DC = BE = 3a$，$CE = AD = 4a$，
$\therefore DE = DC + CE = 3a + 4a = 7a$。
已知$DE = 35\ \mathrm{cm}$，代入得：
$7a = 35$，
解得$a = 5$。
答：墙砖的厚度$a$为$5\ \mathrm{cm}$。

【分析】
(1) 要证明△ADC≌△CEB，先梳理已知条件：由等腰直角三角尺可得AC=BC，∠ACB=90°，结合AD⊥DE、BE⊥DE可得到两个直角∠D=∠E=90°，再通过“同角的余角相等”推导得出∠DAC=∠BCE，即可选用AAS判定定理证明两个三角形全等。
(2) 要求墙砖厚度a，先根据两侧墙砖的数量得到AD=4a、BE=3a，再利用第一问全等三角形对应边相等的性质，得到DC=BE、CE=AD，结合DE=DC+CE将DE用含a的代数式表示，代入DE=35cm解方程即可求出a的值。
【解析】
(1) 证明：
由题意可知，△ACB是等腰直角三角形，
$\therefore AC = BC$，$∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ BCE = 180° - 90° = 90°$。
$\because AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ D = ∠ E = 90°$，
$\therefore ∠ ACD + ∠ DAC = 90°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ BCE$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ D = ∠ E \\∠ DAC = ∠ ECB \\AC = CB\end{cases}$
$\therefore △ ADC ≌ △ CEB \ (\mathrm{AAS})$。
(2) 解：
由图可得：左侧墙共4块砖，$AD = 4a$；右侧墙共3块砖，$BE = 3a$。
$\because △ ADC ≌ △ CEB$，
$\therefore DC = BE = 3a$，$CE = AD = 4a$，
$\therefore DE = DC + CE = 3a + 4a = 7a$。
已知$DE = 35\ \mathrm{cm}$，代入得：
$7a = 35$，
解得$a = 5$。
【答案】
(1) $△ ADC≌△ CEB$得证；(2) 墙砖的厚度$a$为$5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查几何知识的应用，解题的核心是利用角的互余关系找到全等所需的等角，再通过全等三角形的性质转化线段关系建立方程求解，侧重对基础几何推理能力的考查。
【难度系数】
0.7

6. (1)如图(1),点 B,C 分别在∠MAN 的边AM,AN 上,点 E,F 在∠MAN 内部的射线AD 上,∠1,∠2 分别是△ABE,△CAF 的外角.已知 AB=AC,∠1=∠2=∠BAC,求证:△ABE ≌ △CAF.
(2)如图(2),在等腰三角形 ABC 中,AB=AC,AB＞BC.点 D 在边 BC 上,CD=2BD,点E,F 在线段 AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为 9,求△ABE 与△CDF 的面积之和.

(1) 证明：
∵∠1是△ABE的外角，
∴∠1 = ∠BAE + ∠ABE，
又∵∠BAC = ∠BAE + ∠CAF，且∠1 = ∠BAC，
∴∠BAE + ∠ABE = ∠BAE + ∠CAF，
即∠ABE = ∠CAF。
∵∠1 = ∠2，
∴180° - ∠1 = 180° - ∠2，即∠AEB = ∠CFA。
在△ABE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFA \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴△ABE ≌ △CAF（AAS）。
---
(2) 解：
由(1)的结论可得△ABE ≌ △CAF，
∴$S_{△ ABE} = S_{△ CAF}$，
∴$S_{△ ABE} + S_{△ CDF} = S_{△ CAF} + S_{△ CDF} = S_{△ ACD}$。
∵$S_{△ ABC}=9$，$CD=2BD$，
∴$CD = \frac{2}{3}BC$，
△ACD与△ABC同高，因此：
$S_{△ ACD} = \frac{2}{3}S_{△ ABC} = \frac{2}{3} × 9 = 6$。
答：△ABE与△CDF的面积之和为6。

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CAF，已知AB=AC，需找到两组对应角相等。首先根据三角形外角性质，∠1是△ABE的外角可得∠1=∠BAE+∠ABE，结合∠1=∠BAC、∠BAC=∠BAE+∠CAF，可推出∠ABE=∠CAF；再由∠1=∠2可得二者的邻补角∠AEB=∠CFA，即可用AAS判定两三角形全等。
(2) 求两三角形面积和时，可利用(1)的全等结论得到$S_{△ABE}=S_{△CAF}$，将所求面积和转化为$S_{△ACD}$，再根据CD=2BD得到CD与BC的比例关系，结合同高三角形面积比等于底的比，代入△ABC的面积即可计算结果。
【解析】
(1) 证明：
∵∠1是△ABE的外角，
∴∠1 = ∠BAE + ∠ABE，
又
∵∠BAC = ∠BAE + ∠CAF，且∠1 = ∠BAC，
∴∠BAE + ∠ABE = ∠BAE + ∠CAF，
即∠ABE = ∠CAF。
∵∠1 = ∠2，
∴180° - ∠1 = 180° - ∠2，即∠AEB = ∠CFA。
在△ABE和△CAF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFA \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴△ABE ≌ △CAF（AAS）。
(2) 解：
由(1)的结论可得△ABE ≌ △CAF，
∴$S_{△ ABE} = S_{△ CAF}$，
∴$S_{△ ABE} + S_{△ CDF} = S_{△ CAF} + S_{△ CDF} = S_{△ ACD}$。
∵$S_{△ ABC}=9$，$CD=2BD$，
∴$CD = \frac{2}{3}BC$，
△ACD与△ABC同高，因此：
$S_{△ ACD} = \frac{2}{3}S_{△ ABC} = \frac{2}{3} × 9 = 6$。
【答案】
(1) △ABE ≌ △CAF得证；
(2) 6
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形外角的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形与面积计算的综合题，第一问核心是通过角的等量代换得到全等需要的对应角相等，第二问利用全等结论转化所求面积，结合同高三角形面积与底的正比关系求解，很好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.7