1. 分式$\frac{1}{ab}$与$\frac{1}{ac}$的最简公分母是（）。

A.$abc$
B.$ab$
C.$ac$
D.$a^2bc$

A

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，首先明确两个分式的分母分别是$ab$和$ac$，对于分母为单项式的情况，找最简公分母的固定思路为：第一步取各分母系数的最小公倍数，第二步把所有单独出现的字母连同它的指数作为公分母的因式，第三步相同字母取次数最高的幂，最后把各部分相乘就得到最简公分母，按这个步骤推导即可得到结果。
【解析】
解：已知两个分式的分母分别为$ab$和$ac$：
1. 系数部分：两个分母的系数都是1，最小公倍数为1；
2. 字母部分：相同字母为$a$，两个分母中$a$的次数均为1，取$a$；单独出现的字母为$b$和$c$，分别直接取$b$、$c$；
3. 把各部分相乘得最简公分母：$1× a× b× c=abc$。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
最简公分母的确定；分式通分
【点评】
本题属于基础考点，主要考查分母为单项式的分式最简公分母的查找规则，掌握查找步骤就能快速解题，是分式通分运算的必备基础。
【难度系数】
0.9

2. 下列分式中是最简分式的是().

$\boldsymbol{C}$

【分析】
要判断哪个是最简分式，首先明确最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时，叫做最简分式。解题思路是：对每个选项的分子、分母分别进行因式分解，检查二者是否存在公因式，若存在公因式则可约分，不是最简分式；若不存在公因式，则为最简分式。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{2x}{4x^2}$，分母可因式分解为$2x· 2x$，分子分母有公因式$2x$，约分后得$\frac{1}{2x}$，不是最简分式；
B选项：$\frac{x+1}{x^2-1}$，分母是平方差形式，因式分解为$(x+1)(x-1)$，分子分母有公因式$x+1$，约分后得$\frac{1}{x-1}$，不是最简分式；
C选项：$\frac{x+y}{x-y}$，分子$x+y$和分母$x-y$没有公因式，无法约分，是最简分式；
D选项：$\frac{xy+y}{y}$，分子提取公因式$y$得$y(x+1)$，分子分母有公因式$y$，约分后得$x+1$，不是最简分式。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
最简分式判断、因式分解、分式约分
【点评】
本题核心是考查最简分式的判别方法，解题关键是熟练运用提公因式法、公式法对分子分母因式分解，再判断是否存在公因式，属于分式章节的基础题型，掌握定义和基本因式分解方法即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 约分$\frac{2xy}{-x^2y}$，结果是（）.

A.$-1$
B.$-2x$
C.$-\frac{2}{x}$
D.$\frac{2}{x}$

C

【分析】
要解决这道分式约分的题目，我们可以按照分式约分的常规思路思考：首先回忆分式约分的依据是分式的基本性质，第一步先确定分子和分母的公因式，第二步约去公因式，同时要注意负号的处理，相同字母要约去最低次幂。观察给定的分式$\frac{2xy}{-x^2y}$，先把分母的负号移到分式前，再找分子$2xy$和分母$x^2y$的公因式：系数的最大公因数是1，相同字母x的最低次幂是1次，y的最低次幂是1次，所以公因式是$xy$，约去公因式即可得到结果。
【解析】
解：分式约分的依据是分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变（本题默认$x≠0$，$y≠0$，否则分式无意义）。
1. 确定公因式：分子$2xy$和分母$-x^2y$的公因式为$xy$。
2. 分子分母同时除以公因式$xy$：
$\frac{2xy}{-x^2y}=\frac{2xy÷ xy}{-x^2y÷ xy}=\frac{2}{-x}=-\frac{2}{x}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质，分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题核心是准确找出分子分母的公因式，同时要注意负号的处理，避免因符号错误、公因式找错导致失分。
【难度系数】
0.8

4. 将分式$\frac{x+1}{x}$化成分母为$x(x-2)$的分式：

解：根据分式的基本性质，将分式$\frac{x+1}{x}$的分子、分母同时乘$(x-2)$，得
$\frac{x+1}{x}=\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-2)}=\frac{x^2 - x - 2}{x(x-2)}$
最终结果为$\boldsymbol{\frac{x^2 - x - 2}{x(x-2)}}$。

【分析】
要将原分式化成分母为$x(x-2)$的分式，首先对比原分式分母$x$和目标分母的差异，可知原分母需要乘$(x-2)$才能得到目标分母；根据分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘同一个不为0的整式，分式的值不变，因此需要给原分式的分子也同时乘$(x-2)$，再将分子的乘积展开整理即可得到结果。
【解析】
根据分式的基本性质，将分式$\frac{x+1}{x}$的分子、分母同时乘$(x-2)$（默认$x≠0$且$x≠2$，保证所乘整式不为0），得：
$\frac{x+1}{x}=\frac{(x+1)(x-2)}{x(x-2)}$
展开分子计算：$(x+1)(x-2)=x^2 -2x +x -2=x^2 -x -2$
因此最终结果为$\frac{x^2 - x - 2}{x(x-2)}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{x^2 - x - 2}{x(x-2)}}$
【知识点】
分式的基本性质；分式的通分
【点评】
本题是分式通分的基础题型，解题关键是准确判断分子分母需要同乘的整式，计算分子多项式乘法时要注意项的符号，避免运算出错。
【难度系数】
0.9

5. 约分：

解：
(1) 原式$=\frac{-6xy^4 · 2x}{6xy^4 · 3yz}$
$=-\frac{2x}{3yz}$
(2) 原式$=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}$
$=\frac{x-3}{x+3}$

【分析】
约分的本质是约去分式分子与分母的公因式，最终得到最简分式，解题时可根据分子分母的形式选择对应方法：
1. 第(1)题分子分母都是单项式：先找系数的最大公约数，-12和18的最大公约数是6；再找相同字母的最低次幂，x的最低次幂是$x^1$，y的最低次幂是$y^4$，可得公因式为$6xy^4$，约去公因式后整理符号即可得到结果。
2. 第(2)题分子分母都是多项式：首先对分子、分母分别因式分解，分子是完全平方式，可分解为$(x-3)^2$，分母是平方差结构，可分解为$(x+3)(x-3)$，找到公因式$(x-3)$，约去公因式（需保证$x≠\pm3$时分式有意义）即可得到最简结果。
【解析】
(1) 拆分分子分母提取公因式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{-6xy^4 · 2x}{6xy^4 · 3yz}\\&=-\frac{2x}{3yz}\end{aligned}$
(2) 先因式分解再约去公因式：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(x-3)^2}{(x+3)(x-3)}\\&=\frac{x-3}{x+3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-\dfrac{2x}{3yz}}$；(2) $\boldsymbol{\dfrac{x-3}{x+3}}$
【知识点】
分式约分；因式分解；幂的运算
【点评】
本题是分式约分的基础题型，分别覆盖了单项式分式和多项式分式的约分场景。解题时需注意：单项式约分要准确找到系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，多项式约分要先正确对分子分母因式分解，再约去公因式，最终结果需为最简分式。
【难度系数】
0.8

1. 下列分式约分正确的是().

A.$\frac{x+1}{y+1}=\frac{x}{y}$
B.$\frac{y^2}{x^2}=\frac{y}{x}$
C.$\frac{x^2}{xy}=\frac{x}{y}$
D.$\frac{2x}{x+2}=\frac{x}{x+1}$

C

【分析】
解题时首先要明确分式约分的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。约分的核心是约去分子、分母的公因式，注意仅能约去乘积形式的公共因式，不能直接约去分子、分母中加减运算的独立项，接下来逐一判断每个选项是否符合约分规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{x+1}{y+1}$的分子、分母是加法形式的多项式，没有公因式，不能直接约去常数项1，约分错误；
B选项：$\frac{y^2}{x^2}$的分子是$y^2$、分母是$x^2$，二者没有公因式，不能直接约去指数，约分错误；
C选项：$\frac{x^2}{xy}$的分子为$x· x$，分母为$x· y$，公因式为$x$（$x≠0$，否则原分式无意义），根据分式的基本性质，分子分母同时除以$x$，可得$\frac{x}{y}$，约分正确；
D选项：$\frac{2x}{x+2}$的分母是加法形式的$x+2$，和分子$2x$没有公因式，不能直接约去分子的因数2和分母的常数项2，约分错误。
综上，正确选项为C。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式约分
【点评】
本题是分式约分的基础题，解题关键是牢记约分只能约去分子分母的公因式，切勿直接约去分子分母中加减运算的项，避免出现无依据的约分错误。
【难度系数】
0.8

2.(2025文山期末)下列分式中,属于最简分式的是().

A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{x-y}{x^2 - y^2}$
C.$\frac{a}{ab}$
D.$\frac{2x^2}{4m - 2n}$

A

【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式（无法再约分）的分式是最简分式。解题时需逐个分析每个选项，对各选项的分子、分母因式分解，判断是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式，反之则不是。
【解析】
根据最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，逐一分析选项：
A. $\frac{1}{2x}$：分子为1，与分母$2x$没有除1外的公因式，无法约分，是最简分式；
B. $\frac{x-y}{x^2 - y^2}$：利用平方差公式分解分母得$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，分子分母存在公因式$x-y$，可约分为$\frac{1}{x+y}$，不是最简分式；
C. $\frac{a}{ab}$：分子分母存在公因式$a$，可约分为$\frac{1}{b}$，不是最简分式；
D. $\frac{2x^2}{4m - 2n}$：提取分母的公因式得$4m-2n=2(2m-n)$，分子分母存在公因式2，可约分为$\frac{x^2}{2m-n}$，不是最简分式。
综上，只有A是最简分式。
【答案】
A
【知识点】
最简分式判定；分式约分；因式分解
【点评】
本题是分式约分模块的基础题型，核心考查对最简分式概念的理解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确找到分子和分母的公因式，进而判断分式能否继续约分。
【难度系数】
0.8

3. 约分：$\frac{6x^2 -12xy +6y^2}{3x -3y} =$ .

$\boldsymbol{2x-2y}$（或$2(x-y)$）

【分析】
要完成分式约分，需先将分子、分母分别因式分解，再约去二者的公因式即可。首先观察分子是二次三项式，先提取公因式后可利用完全平方公式分解；分母是一次二项式，直接提取公因式即可分解，最后约去公共因式得到最简结果，注意约分需在分母不为0（即$x≠ y$）的前提下进行。
【解析】
解：先对分子、分母分别因式分解：
分子：$6x^2 -12xy +6y^2 = 6(x^2 - 2xy + y^2) = 6(x-y)^2$
分母：$3x - 3y = 3(x - y)$
由分母不为0可知$x≠ y$，因此可约去公因式$3(x-y)$：
$\frac{6x^2 -12xy +6y^2}{3x -3y} = \frac{6(x-y)^2}{3(x-y)} = 2(x-y) = 2x-2y$
【答案】
$2x-2y$（或$2(x-y)$）
【知识点】
因式分解，分式约分，完全平方公式
【点评】
本题是分式约分的基础题型，解题核心是正确对分子、分母进行因式分解，再约去公因式，计算时要注意公因式提取彻底，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.8

4.约分:
(1)$\frac{3a^3b^3c}{12ac^2}$;(2)$\frac{(x+y)y}{xy^2}$.

解：
(1) 原式$=\frac{3ac· a^2b^3}{3ac· 4c}$
$=\frac{a^2b^3}{4c}$
(2) 原式$=\frac{y·(x+y)}{y· xy}$
$=\frac{x+y}{xy}$

【分析】
约分的依据是分式的基本性质，解题核心是先找到分子、分母的公因式，再约去公因式得到最简分式。对于单项式构成的分式，公因式由系数的最大公约数、相同字母的最低次幂两部分组成；若分子分母含有相同的因式（包括多项式因式），可直接作为公因式约去。
第(1)题分子为$3a^3b^3c$，分母为$12ac^2$，系数3和12的最大公约数是3，相同字母a的最低次幂是$a^1$、c的最低次幂是$c^1$，因此公因式为$3ac$；第(2)题分子分母都含有因式$y$，公因式为$y$，分别约去对应公因式即可得到结果。
【解析】
(1) 对分子、分母分解因式，提取公因式$3ac$：
原式$=\frac{3ac· a^2b^3}{3ac· 4c}$
约去公因式$3ac$，得：$=\frac{a^2b^3}{4c}$
(2) 对分子、分母提取公因式$y$：
原式$=\frac{y·(x+y)}{y· xy}$
约去公因式$y$，得：$=\frac{x+y}{xy}$
【答案】
(1)$\frac{a^2b^3}{4c}$；(2)$\frac{x+y}{xy}$
【知识点】
分式的基本性质，分式约分，公因式确定
【点评】
本题是分式约分的基础题，重点考查约分方法的掌握情况，解题关键是准确找出分子分母的公因式，约分时要注意将公因式约尽，确保最终结果为最简分式。
【难度系数】
0.9

5. 把$\frac{y}{4x^2}$，$\frac{5}{6xy}$通分，则$\frac{y}{4x^2}=$，$\frac{5}{6xy}=$。

$\frac{3y^2}{12x^2y}$；$\frac{10x}{12x^2y}$

【分析】
通分的核心是先确定几个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的不为0的整式，使分母都变为最简公分母，且保证分式的值不变。解题思路为：①先找两个分母$4x^2$和$6xy$的最简公分母：系数取4和6的最小公倍数，相同字母取最高次幂，单独出现的字母直接作为公分母的因式；②再分别给两个分式的分子分母同乘对应缺失的因式，完成通分。
【解析】
第一步：确定最简公分母
系数部分：4和6的最小公倍数是12；
字母部分：x的最高次幂是$x^2$，y的最高次幂是y；
因此两个分式的最简公分母为$12x^2y$。
第二步：对$\frac{y}{4x^2}$通分
分母$4x^2$变为$12x^2y$，需要乘$3y$，根据分式的基本性质，分子$y$也要乘$3y$：
$\frac{y}{4x^2}=\frac{y· 3y}{4x^2· 3y}=\frac{3y^2}{12x^2y}$
第三步：对$\frac{5}{6xy}$通分
分母$6xy$变为$12x^2y$，需要乘$2x$，根据分式的基本性质，分子$5$也要乘$2x$：
$\frac{5}{6xy}=\frac{5· 2x}{6xy· 2x}=\frac{10x}{12x^2y}$
【答案】
$\frac{3y^2}{12x^2y}$；$\frac{10x}{12x^2y}$
【知识点】
分式的通分；最简公分母的确定；分式的基本性质
【点评】
本题考查分式通分的基础应用，解题的关键是准确找到最简公分母，再结合分式的基本性质对分子进行对应变形，是后续分式加减运算的重要基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

6. (2025 昭通期末) 分式$\frac{1}{2ab+2b^2}$与$\frac{2a}{a^2 - b^2}$的最简公分母是________.

解：
对两个分式的分母分别因式分解：
$2ab+2b^2=2b(a+b)$
$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
因此两个分式的最简公分母是$2b(a+b)(a-b)$。

【分析】
要确定两个分式的最简公分母，按照最简公分母的确定步骤思考即可：首先先将每个分式的分母因式分解，再取各分母系数的最小公倍数，所有单独出现的含字母的因式都要保留，相同的含字母的因式取最高次幂，最后将这些部分相乘就是最简公分母。
【解析】
1. 对两个分式的分母分别因式分解：
第一个分母：$2ab+2b^2$提取公因式$2b$，得$2ab+2b^2=2b(a+b)$；
第二个分母：$a^2-b^2$符合平方差公式特征，分解得$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
2. 确定最简公分母：
系数的最小公倍数是2，出现的不同因式有$b$、$(a+b)$、$(a-b)$，每个因式的最高次数都是1，因此将各部分相乘得到最简公分母为$2b(a+b)(a-b)$。
【答案】
$2b(a+b)(a-b)$
【知识点】
因式分解，平方差公式，最简公分母
【点评】
本题属于分式通分的基础题型，解题的关键是先正确对分母因式分解，再按规则选取对应因式，注意不要遗漏系数或独有的因式。
【难度系数】
0.8

7. 通分：
(1)$\frac{x}{2y}$与$\frac{2}{3xy^2}$；
(2)$\frac{2n}{n-2}$与$\frac{3n}{n+3}$。

解：
(1) 两个分式的最简公分母是$6xy^2$。
$\frac{x}{2y}=\frac{x· 3xy}{2y· 3xy}=\frac{3x^2y}{6xy^2}$，
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2× 2}=\frac{4}{6xy^2}$。
(2) 两个分式的最简公分母是$(n-2)(n+3)$。
$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)}=\frac{2n^2+6n}{n^2+n-6}$，
$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)}=\frac{3n^2-6n}{n^2+n-6}$。

【分析】
通分的核心思路分为两步：第一步先确定各分式的最简公分母，第二步利用分式的基本性质，将各分式的分子、分母同乘对应的因式，使分母统一为最简公分母。
(1) 观察两个分式的分母$2y$和$3xy^2$：系数取2和3的最小公倍数6，字母部分取x的最高次1次、y的最高次2次，因此最简公分母为$6xy^2$，再给两个分式的分子分母分别乘各自缺少的因式即可。
(2) 观察两个分式的分母$n-2$和$n+3$：二者没有公因式，因此最简公分母为两个分母的乘积$(n-2)(n+3)$，再给两个分式的分子分别乘对方的分母即可完成变形。
【解析】
(1) 两个分式的最简公分母是$6xy^2$：
$\frac{x}{2y}=\frac{x· 3xy}{2y· 3xy}=\frac{3x^2y}{6xy^2}$
$\frac{2}{3xy^2}=\frac{2× 2}{3xy^2× 2}=\frac{4}{6xy^2}$
(2) 两个分式的最简公分母是$(n-2)(n+3)$：
$\frac{2n}{n-2}=\frac{2n(n+3)}{(n-2)(n+3)}=\frac{2n^2+6n}{n^2+n-6}$
$\frac{3n}{n+3}=\frac{3n(n-2)}{(n+3)(n-2)}=\frac{3n^2-6n}{n^2+n-6}$
【答案】
(1) $\frac{3x^2y}{6xy^2}$，$\frac{4}{6xy^2}$；
(2) $\frac{2n^2+6n}{n^2+n-6}$，$\frac{3n^2-6n}{n^2+n-6}$
【知识点】
分式的基本性质，通分，最简公分母的确定
【点评】
本题是通分的基础题型，重点考查最简公分母的寻找规则和分式基本性质的应用，熟练掌握最简公分母的确定方法即可快速解题。
【难度系数】
0.85