登录
【例1】已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}≠1$，试判断$\frac{a}{a±b}=\frac{c}{c±d}$是否成立.
答案
解：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a=kb$，$c=kd$，且$k≠1$，$b≠0$，$d≠0$。
验证和的形式：
$\frac{a}{a+b}=\frac{kb}{kb + b}=\frac{kb}{b(k+1)}=\frac{k}{k+1}$，
$\frac{c}{c+d}=\frac{kd}{kd + d}=\frac{kd}{d(k+1)}=\frac{k}{k+1}$，
可得$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$。
验证差的形式：
$\frac{a}{a-b}=\frac{kb}{kb - b}=\frac{kb}{b(k-1)}=\frac{k}{k-1}$，
$\frac{c}{c-d}=\frac{kd}{kd - d}=\frac{kd}{d(k-1)}=\frac{k}{k-1}$，
可得$\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$。
综上，$\frac{a}{a±b}=\frac{c}{c±d}$成立。
验证和的形式：
$\frac{a}{a+b}=\frac{kb}{kb + b}=\frac{kb}{b(k+1)}=\frac{k}{k+1}$，
$\frac{c}{c+d}=\frac{kd}{kd + d}=\frac{kd}{d(k+1)}=\frac{k}{k+1}$，
可得$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$。
验证差的形式：
$\frac{a}{a-b}=\frac{kb}{kb - b}=\frac{kb}{b(k-1)}=\frac{k}{k-1}$，
$\frac{c}{c-d}=\frac{kd}{kd - d}=\frac{kd}{d(k-1)}=\frac{k}{k-1}$，
可得$\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$。
综上，$\frac{a}{a±b}=\frac{c}{c±d}$成立。
解析
【分析】
遇到已知多个比值相等的问题，常用设“比值为k”的参数法，将不同变量用同一个参数关联，把比例问题转化为分式化简问题。本题要判断等式是否成立，只需将a用b、k表示，c用d、k表示，分别代入等式左右两边的分式化简，比较结果是否一致即可；题中给出$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}≠1$的条件，可保证减号形式下分式分母不为0，分式有意义。
【解析】
解：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，由题意得$k≠1$，且$b≠0,d≠0$，则$a=kb$，$c=kd$。
1. 验证和的形式：
左边$\frac{a}{a+b}=\frac{kb}{kb+b}=\frac{kb}{b(k+1)}$，约去不为0的$b$得$\frac{k}{k+1}$；
右边$\frac{c}{c+d}=\frac{kd}{kd+d}=\frac{kd}{d(k+1)}$，约去不为0的$d$得$\frac{k}{k+1}$；
因此$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$。
2. 验证差的形式：
因为$k≠1$，所以$k-1≠0$，
左边$\frac{a}{a-b}=\frac{kb}{kb-b}=\frac{kb}{b(k-1)}$，约去不为0的$b$得$\frac{k}{k-1}$；
右边$\frac{c}{c-d}=\frac{kd}{kd-d}=\frac{kd}{d(k-1)}$，约去不为0的$d$得$\frac{k}{k-1}$；
因此$\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$。
综上可得$\frac{a}{a±b}=\frac{c}{c±d}$成立。
【答案】
$\frac{a}{a±b}=\frac{c}{c±d}$成立
【知识点】
比例的性质，分式化简，参数法应用
【点评】
本题是比例相关的典型基础题，核心是利用参数法将比例关系转化为代数式运算，思路清晰易操作，解题时需注意关注分式有意义的条件，避免分母为0的错误，参数法是解决比例类问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
遇到已知多个比值相等的问题，常用设“比值为k”的参数法，将不同变量用同一个参数关联，把比例问题转化为分式化简问题。本题要判断等式是否成立，只需将a用b、k表示，c用d、k表示，分别代入等式左右两边的分式化简，比较结果是否一致即可；题中给出$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}≠1$的条件，可保证减号形式下分式分母不为0，分式有意义。
【解析】
解：设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，由题意得$k≠1$，且$b≠0,d≠0$，则$a=kb$，$c=kd$。
1. 验证和的形式：
左边$\frac{a}{a+b}=\frac{kb}{kb+b}=\frac{kb}{b(k+1)}$，约去不为0的$b$得$\frac{k}{k+1}$；
右边$\frac{c}{c+d}=\frac{kd}{kd+d}=\frac{kd}{d(k+1)}$，约去不为0的$d$得$\frac{k}{k+1}$；
因此$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$。
2. 验证差的形式：
因为$k≠1$，所以$k-1≠0$，
左边$\frac{a}{a-b}=\frac{kb}{kb-b}=\frac{kb}{b(k-1)}$，约去不为0的$b$得$\frac{k}{k-1}$；
右边$\frac{c}{c-d}=\frac{kd}{kd-d}=\frac{kd}{d(k-1)}$，约去不为0的$d$得$\frac{k}{k-1}$；
因此$\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$。
综上可得$\frac{a}{a±b}=\frac{c}{c±d}$成立。
【答案】
$\frac{a}{a±b}=\frac{c}{c±d}$成立
【知识点】
比例的性质，分式化简，参数法应用
【点评】
本题是比例相关的典型基础题，核心是利用参数法将比例关系转化为代数式运算，思路清晰易操作，解题时需注意关注分式有意义的条件，避免分母为0的错误，参数法是解决比例类问题的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
1. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠b)$.
(1)如果$a=1,b=2,c+d=6$,求$c,d$的值;
(2)求证:$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$.
(1)如果$a=1,b=2,c+d=6$,求$c,d$的值;
(2)求证:$\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$.
答案
解：
(1) 将$a=1$，$b=2$代入$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{c}{d}$
由比例的基本性质可得 $d=2c$。
把$d=2c$代入$c+d=6$，得
$c + 2c = 6$
解得 $c=2$，
则 $d=6 - 2 = 4$。
(2) 证明：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴ 由比例的基本性质得 $ad = bc$，
∴ $bd - ad = bd - bc$，
整理得 $d(b - a) = b(d - c)$。
∵ $a≠b$，
∴ $\frac{a}{b}≠1$，
∴ $\frac{c}{d}≠1$，可得 $c≠d$，即 $d - c ≠ 0$，
又∵ $d≠0$，
等式$d(b - a) = b(d - c)$两边同时除以$d(d - c)$，得
$\frac{b - a}{d - c} = \frac{b}{d}$，
原式得证。
答：(1) $c$的值为2，$d$的值为4。
(1) 将$a=1$，$b=2$代入$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{c}{d}$
由比例的基本性质可得 $d=2c$。
把$d=2c$代入$c+d=6$，得
$c + 2c = 6$
解得 $c=2$，
则 $d=6 - 2 = 4$。
(2) 证明：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴ 由比例的基本性质得 $ad = bc$，
∴ $bd - ad = bd - bc$，
整理得 $d(b - a) = b(d - c)$。
∵ $a≠b$，
∴ $\frac{a}{b}≠1$，
∴ $\frac{c}{d}≠1$，可得 $c≠d$，即 $d - c ≠ 0$，
又∵ $d≠0$，
等式$d(b - a) = b(d - c)$两边同时除以$d(d - c)$，得
$\frac{b - a}{d - c} = \frac{b}{d}$，
原式得证。
答：(1) $c$的值为2，$d$的值为4。
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：先将已知的a、b的值代入给定的比例式，得出c和d的数量关系，再结合已知条件$c+d=6$，通过代入消元法联立求解，即可得到c、d的具体取值。
（2）第二问解题思路：首先利用比例的基本性质，将已知的比例式转化为等积式，再通过等式的性质对等积式做变形处理，凑出待证等式对应的整式结构；同时要结合已知条件$a≠b$推导得出分母$d-c≠0$，保证等式两边同时除以非零项时等式仍然成立，最终整理得到待证的比例式即可。
【解析】
(1) 将$a=1$，$b=2$代入$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{c}{d}$
由比例的基本性质可得 $d=2c$。
把$d=2c$代入$c+d=6$，得
$c + 2c = 6$
解得 $c=2$，
则 $d=6 - 2 = 4$。
(2) 证明：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴ 由比例的基本性质得 $ad = bc$，
∴ $bd - ad = bd - bc$，
整理得 $d(b - a) = b(d - c)$。
∵ $a≠b$，
∴ $\frac{a}{b}≠1$，
∴ $\frac{c}{d}≠1$，可得 $c≠d$，即 $d - c ≠ 0$，
又
∵ $d≠0$，
等式$d(b - a) = b(d - c)$两边同时除以$d(d - c)$，得
$\frac{b - a}{d - c} = \frac{b}{d}$，
原式得证。
【答案】
(1) $c$的值为2，$d$的值为4；(2) $\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$成立，证明如上。
【知识点】
比例的基本性质、代入消元法、等式的性质
【点评】
本题是比例章节的典型基础题，第一问侧重考查比例性质的直接应用和简单方程的求解，难度较低；第二问考查比例式的证明，需要熟练掌握等积式和比例式的互化，同时要注意比例式成立的前提是分母不为零，对逻辑严谨性有一定要求，掌握本题能有效巩固比例相关的核心知识点。
【难度系数】
0.8
（1）第一问解题思路：先将已知的a、b的值代入给定的比例式，得出c和d的数量关系，再结合已知条件$c+d=6$，通过代入消元法联立求解，即可得到c、d的具体取值。
（2）第二问解题思路：首先利用比例的基本性质，将已知的比例式转化为等积式，再通过等式的性质对等积式做变形处理，凑出待证等式对应的整式结构；同时要结合已知条件$a≠b$推导得出分母$d-c≠0$，保证等式两边同时除以非零项时等式仍然成立，最终整理得到待证的比例式即可。
【解析】
(1) 将$a=1$，$b=2$代入$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，得
$\frac{1}{2}=\frac{c}{d}$
由比例的基本性质可得 $d=2c$。
把$d=2c$代入$c+d=6$，得
$c + 2c = 6$
解得 $c=2$，
则 $d=6 - 2 = 4$。
(2) 证明：
∵ $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，
∴ 由比例的基本性质得 $ad = bc$，
∴ $bd - ad = bd - bc$，
整理得 $d(b - a) = b(d - c)$。
∵ $a≠b$，
∴ $\frac{a}{b}≠1$，
∴ $\frac{c}{d}≠1$，可得 $c≠d$，即 $d - c ≠ 0$，
又
∵ $d≠0$，
等式$d(b - a) = b(d - c)$两边同时除以$d(d - c)$，得
$\frac{b - a}{d - c} = \frac{b}{d}$，
原式得证。
【答案】
(1) $c$的值为2，$d$的值为4；(2) $\frac{b-a}{d-c}=\frac{b}{d}$成立，证明如上。
【知识点】
比例的基本性质、代入消元法、等式的性质
【点评】
本题是比例章节的典型基础题，第一问侧重考查比例性质的直接应用和简单方程的求解，难度较低；第二问考查比例式的证明，需要熟练掌握等积式和比例式的互化，同时要注意比例式成立的前提是分母不为零，对逻辑严谨性有一定要求，掌握本题能有效巩固比例相关的核心知识点。
【难度系数】
0.8
【例2】填写下表：
由填写完成的表格，请你提出关于$x^2+\frac{1}{x^2}$的值的一些猜想，并证明你提出的猜想。
由填写完成的表格，请你提出关于$x^2+\frac{1}{x^2}$的值的一些猜想，并证明你提出的猜想。
答案
解：
第一步：计算填写表格
将各x值依次代入$x^2+\frac{1}{x^2}$计算：
当$x=-3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
当$x=-2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-2)^2+\frac{1}{(-2)^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-1)^2+\frac{1}{(-1)^2}=1+1=2$
当$x=-\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=-\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1^2+\frac{1}{1^2}=1+1=2$
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=2^2+\frac{1}{2^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+\frac{1}{3^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
表格从左到右依次填入：$\boldsymbol{\frac{82}{9},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{257}{16},\frac{257}{16},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{82}{9}}$。
---
第二步：提出猜想并证明
猜想1：当x取互为相反数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=-a$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=-a$时，值为$(-a)^2+\frac{1}{(-a)^2}=a^2+\frac{1}{a^2}$，二者相等，猜想成立。
猜想2：当x取互为倒数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=\frac{1}{a}$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=\frac{1}{a}$时，值为$(\frac{1}{a})^2+\frac{1}{(\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a^2}+a^2$，二者相等，猜想成立。
猜想3：对任意非零实数x，$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$，当且仅当$x=\pm1$时，代数式取得最小值2。
证明：由完全平方的非负性可知，对任意$x≠0$，有$(x-\frac{1}{x})^2\ge0$，
展开得：$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
移项得：$x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$，
当且仅当$x-\frac{1}{x}=0$即$x^2=1$，$x=\pm1$时，等号成立，猜想成立。
第一步：计算填写表格
将各x值依次代入$x^2+\frac{1}{x^2}$计算：
当$x=-3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
当$x=-2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-2)^2+\frac{1}{(-2)^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-1)^2+\frac{1}{(-1)^2}=1+1=2$
当$x=-\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=-\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1^2+\frac{1}{1^2}=1+1=2$
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=2^2+\frac{1}{2^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+\frac{1}{3^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
表格从左到右依次填入：$\boldsymbol{\frac{82}{9},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{257}{16},\frac{257}{16},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{82}{9}}$。
---
第二步：提出猜想并证明
猜想1：当x取互为相反数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=-a$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=-a$时，值为$(-a)^2+\frac{1}{(-a)^2}=a^2+\frac{1}{a^2}$，二者相等，猜想成立。
猜想2：当x取互为倒数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=\frac{1}{a}$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=\frac{1}{a}$时，值为$(\frac{1}{a})^2+\frac{1}{(\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a^2}+a^2$，二者相等，猜想成立。
猜想3：对任意非零实数x，$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$，当且仅当$x=\pm1$时，代数式取得最小值2。
证明：由完全平方的非负性可知，对任意$x≠0$，有$(x-\frac{1}{x})^2\ge0$，
展开得：$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
移项得：$x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$，
当且仅当$x-\frac{1}{x}=0$即$x^2=1$，$x=\pm1$时，等号成立，猜想成立。
解析
【分析】
解题分为两个步骤：第一步先将表格中给出的每个x值依次代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$计算，注意负数的平方为正数，先算平方再求和即可得到对应结果填入表格；第二步观察完成后的表格数值，从x的取值特征和对应代数式的值的关联入手归纳规律提出猜想，再运用已学的完全平方非负性等知识对猜想进行证明即可。
【解析】
1. 计算填写表格：
将各x值依次代入$x^2+\frac{1}{x^2}$计算：
当$x=-3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
当$x=-2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-2)^2+\frac{1}{(-2)^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-1)^2+\frac{1}{(-1)^2}=1+1=2$
当$x=-\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=-\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1^2+\frac{1}{1^2}=1+1=2$
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=2^2+\frac{1}{2^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+\frac{1}{3^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
2. 提出猜想并证明：
猜想1：当x取互为相反数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=-a$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=-a$时，值为$(-a)^2+\frac{1}{(-a)^2}=a^2+\frac{1}{a^2}$，二者相等，猜想成立。
猜想2：当x取互为倒数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=\frac{1}{a}$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=\frac{1}{a}$时，值为$(\frac{1}{a})^2+\frac{1}{(\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a^2}+a^2$，二者相等，猜想成立。
猜想3：对任意非零实数x，$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$，当且仅当$x=\pm1$时，代数式取得最小值2。
证明：由完全平方的非负性可知，对任意$x≠0$，有$(x-\frac{1}{x})^2\ge0$，
展开得：$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
移项得：$x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$，
当且仅当$x-\frac{1}{x}=0$即$x^2=1$，$x=\pm1$时，等号成立，猜想成立。
【答案】
表格从左到右依次填入：$\boldsymbol{\frac{82}{9},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{257}{16},\frac{257}{16},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{82}{9}}$；
猜想及证明见解析部分。
【知识点】
代数式求值；完全平方公式；分式运算
【点评】
本题将计算、规律探究与证明相结合，既考查了代数式代入计算的基本功，又锻炼了观察归纳能力和逻辑推理能力，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
解题分为两个步骤：第一步先将表格中给出的每个x值依次代入代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$计算，注意负数的平方为正数，先算平方再求和即可得到对应结果填入表格；第二步观察完成后的表格数值，从x的取值特征和对应代数式的值的关联入手归纳规律提出猜想，再运用已学的完全平方非负性等知识对猜想进行证明即可。
【解析】
1. 计算填写表格：
将各x值依次代入$x^2+\frac{1}{x^2}$计算：
当$x=-3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-3)^2+\frac{1}{(-3)^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
当$x=-2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-2)^2+\frac{1}{(-2)^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-1)^2+\frac{1}{(-1)^2}=1+1=2$
当$x=-\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=-\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(-\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(-\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{4}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{4})^2+\frac{1}{(\frac{1}{4})^2}=\frac{1}{16}+16=\frac{257}{16}$
当$x=\frac{1}{2}$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{(\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{4}+4=\frac{17}{4}$
当$x=1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=1^2+\frac{1}{1^2}=1+1=2$
当$x=2$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=2^2+\frac{1}{2^2}=4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$
当$x=3$时，$x^2+\frac{1}{x^2}=3^2+\frac{1}{3^2}=9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$
2. 提出猜想并证明：
猜想1：当x取互为相反数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=-a$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=-a$时，值为$(-a)^2+\frac{1}{(-a)^2}=a^2+\frac{1}{a^2}$，二者相等，猜想成立。
猜想2：当x取互为倒数的非零实数时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值相等。
证明：设$a≠0$，将$x=a$和$x=\frac{1}{a}$分别代入代数式：
$x=a$时，值为$a^2+\frac{1}{a^2}$；
$x=\frac{1}{a}$时，值为$(\frac{1}{a})^2+\frac{1}{(\frac{1}{a})^2}=\frac{1}{a^2}+a^2$，二者相等，猜想成立。
猜想3：对任意非零实数x，$x^2+\frac{1}{x^2}\ge2$，当且仅当$x=\pm1$时，代数式取得最小值2。
证明：由完全平方的非负性可知，对任意$x≠0$，有$(x-\frac{1}{x})^2\ge0$，
展开得：$x^2 - 2· x· \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
化简得：$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} \ge 0$，
移项得：$x^2 + \frac{1}{x^2} \ge 2$，
当且仅当$x-\frac{1}{x}=0$即$x^2=1$，$x=\pm1$时，等号成立，猜想成立。
【答案】
表格从左到右依次填入：$\boldsymbol{\frac{82}{9},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{257}{16},\frac{257}{16},\frac{17}{4},2,\frac{17}{4},\frac{82}{9}}$；
猜想及证明见解析部分。
【知识点】
代数式求值；完全平方公式；分式运算
【点评】
本题将计算、规律探究与证明相结合，既考查了代数式代入计算的基本功，又锻炼了观察归纳能力和逻辑推理能力，需要熟练掌握完全平方公式的变形应用。
【难度系数】
0.7
【变式训练】
2. 小聪填完例2中的表格后，又试了很多x的值，发现只有当$x=1$或$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值最小为2，小聪的猜想是否正确呢？请说明理由。
2. 小聪填完例2中的表格后，又试了很多x的值，发现只有当$x=1$或$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值最小为2，小聪的猜想是否正确呢？请说明理由。
答案
解：小聪的猜想是正确的，理由如下：
由题意可知$x ≠ 0$，
根据完全平方的非负性，可得：
$(x - \frac{1}{x})^2 ≥ 0$
将不等式左边展开：
$x^2 - 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
化简得：
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
移项可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} ≥ 2$
当且仅当$(x - \frac{1}{x})^2 = 0$时，等号成立，
即$x - \frac{1}{x} = 0$，整理得$x^2 = 1$，
解得$x=1$或$x=-1$。
因此当$x=1$或$x=-1$时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值最小，最小值为2，小聪的猜想正确。
由题意可知$x ≠ 0$，
根据完全平方的非负性，可得：
$(x - \frac{1}{x})^2 ≥ 0$
将不等式左边展开：
$x^2 - 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
化简得：
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
移项可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} ≥ 2$
当且仅当$(x - \frac{1}{x})^2 = 0$时，等号成立，
即$x - \frac{1}{x} = 0$，整理得$x^2 = 1$，
解得$x=1$或$x=-1$。
因此当$x=1$或$x=-1$时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值最小，最小值为2，小聪的猜想正确。
解析
【分析】
要判断小聪的猜想是否正确，可结合完全平方的非负性推导代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的取值范围。首先明确$\frac{1}{x}$有意义的前提是$x≠0$，再观察代数式的结构，联想到完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=x$、$b=\frac{1}{x}$，可构造出完全平方式$(x-\frac{1}{x})^2$，利用平方数的非负性展开推导即可得到$x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值，最后验证等号成立时x的取值就能判断猜想是否成立。
【解析】
小聪的猜想是正确的，理由如下：
由分式有意义的条件可知$x ≠ 0$，
根据平方的非负性，可得：
$(x - \frac{1}{x})^2 ≥ 0$
将不等式左边用完全平方公式展开：
$x^2 - 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
化简得：
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
移项可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} ≥ 2$
当且仅当$(x - \frac{1}{x})^2 = 0$时，等号成立，
即$x - \frac{1}{x} = 0$，整理得$x^2 = 1$，
解得$x=1$或$x=-1$。
因此当$x=1$或$x=-1$时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值最小，最小值为2，小聪的猜想正确。
【答案】
小聪的猜想正确，当$x=1$或$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值为2。
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，结合非负数的性质求解代数式的最值，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能够根据所求代数式的特点构造合适的完全平方式进行推导，是代数式最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
要判断小聪的猜想是否正确，可结合完全平方的非负性推导代数式$x^2+\frac{1}{x^2}$的取值范围。首先明确$\frac{1}{x}$有意义的前提是$x≠0$，再观察代数式的结构，联想到完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，令$a=x$、$b=\frac{1}{x}$，可构造出完全平方式$(x-\frac{1}{x})^2$，利用平方数的非负性展开推导即可得到$x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值，最后验证等号成立时x的取值就能判断猜想是否成立。
【解析】
小聪的猜想是正确的，理由如下：
由分式有意义的条件可知$x ≠ 0$，
根据平方的非负性，可得：
$(x - \frac{1}{x})^2 ≥ 0$
将不等式左边用完全平方公式展开：
$x^2 - 2 · x · \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
化简得：
$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} ≥ 0$
移项可得：
$x^2 + \frac{1}{x^2} ≥ 2$
当且仅当$(x - \frac{1}{x})^2 = 0$时，等号成立，
即$x - \frac{1}{x} = 0$，整理得$x^2 = 1$，
解得$x=1$或$x=-1$。
因此当$x=1$或$x=-1$时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值最小，最小值为2，小聪的猜想正确。
【答案】
小聪的猜想正确，当$x=1$或$x=-1$时，$x^2+\frac{1}{x^2}$的最小值为2。
【知识点】
完全平方公式；非负数的性质；分式有意义的条件
【点评】
本题考查完全平方公式的变形应用，结合非负数的性质求解代数式的最值，解题的核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，能够根据所求代数式的特点构造合适的完全平方式进行推导，是代数式最值类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
