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(★★)已知关于x的方程$\frac{3x - m}{2} - \frac{x + m}{3} = \frac{5}{6}$。
(1)若$m=-1$，求该方程的解；
(2)若$x=5$是该方程的解，求$m$的值；
(3)某同学在解该方程时，误将“$\frac{5}{6}$”看作“$\frac{6}{5}$”，得到方程的解为$x=1$，求$m$的值；
(4)若该方程的解与$\frac{2}{7}(2 - m)$的值相等，求$m$的值；
(5)若该方程的解与方程$\frac{x + 1}{2} = 3 + \frac{x - 6}{4}$的解相同，求$m$的值；
(6)若该方程有正整数解，求整数$m$的最小值。
(1)若$m=-1$，求该方程的解；
(2)若$x=5$是该方程的解，求$m$的值；
(3)某同学在解该方程时，误将“$\frac{5}{6}$”看作“$\frac{6}{5}$”，得到方程的解为$x=1$，求$m$的值；
(4)若该方程的解与$\frac{2}{7}(2 - m)$的值相等，求$m$的值；
(5)若该方程的解与方程$\frac{x + 1}{2} = 3 + \frac{x - 6}{4}$的解相同，求$m$的值；
(6)若该方程有正整数解，求整数$m$的最小值。
答案
解：
(1) 把$m=-1$代入原方程，得
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(3x+1)-2(x-1)=5$
去括号，得$9x+3-2x+2=5$
移项、合并同类项，得$7x=0$
系数化为1，得$x=0$
(2) 把$x=5$代入原方程，得
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(15-m)-2(5+m)=5$
去括号，得$45-3m-10-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-30$
系数化为1，得$m=6$
(3) 把$x=1$代入看错后的方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$，得
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
去分母（两边同乘30），得$15(3-m)-10(1+m)=36$
去括号，得$45-15m-10-10m=36$
移项、合并同类项，得$-25m=1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先化简原方程：
去分母（两边同乘6），得$3(3x-m)-2(x+m)=5$
去括号，得$9x-3m-2x-2m=5$
合并同类项，得$7x=5m+5$
解得$x=\frac{5m+5}{7}$
由题意得$\frac{5m+5}{7}=\frac{2}{7}(2-m)$
两边同乘7，得$5m+5=4-2m$
移项、合并同类项，得$7m=-1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{7}$
(5) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
去分母（两边同乘4），得$2(x+1)=12+x-6$
去括号，得$2x+2=x+6$
移项、合并同类项，得$x=4$
把$x=4$代入原方程，得
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(12-m)-2(4+m)=5$
去括号，得$36-3m-8-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-23$
系数化为1，得$m=\frac{23}{5}$
(6) 由(4)得原方程的解为$x=\frac{5m+5}{7}=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍。
即$m+1=7k$（$k$为正整数），当$k=1$时，$m+1$取最小正整数值7，
此时$m=6$，即整数$m$的最小值为6。
(1) 把$m=-1$代入原方程，得
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(3x+1)-2(x-1)=5$
去括号，得$9x+3-2x+2=5$
移项、合并同类项，得$7x=0$
系数化为1，得$x=0$
(2) 把$x=5$代入原方程，得
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(15-m)-2(5+m)=5$
去括号，得$45-3m-10-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-30$
系数化为1，得$m=6$
(3) 把$x=1$代入看错后的方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$，得
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
去分母（两边同乘30），得$15(3-m)-10(1+m)=36$
去括号，得$45-15m-10-10m=36$
移项、合并同类项，得$-25m=1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先化简原方程：
去分母（两边同乘6），得$3(3x-m)-2(x+m)=5$
去括号，得$9x-3m-2x-2m=5$
合并同类项，得$7x=5m+5$
解得$x=\frac{5m+5}{7}$
由题意得$\frac{5m+5}{7}=\frac{2}{7}(2-m)$
两边同乘7，得$5m+5=4-2m$
移项、合并同类项，得$7m=-1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{7}$
(5) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
去分母（两边同乘4），得$2(x+1)=12+x-6$
去括号，得$2x+2=x+6$
移项、合并同类项，得$x=4$
把$x=4$代入原方程，得
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(12-m)-2(4+m)=5$
去括号，得$36-3m-8-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-23$
系数化为1，得$m=\frac{23}{5}$
(6) 由(4)得原方程的解为$x=\frac{5m+5}{7}=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍。
即$m+1=7k$（$k$为正整数），当$k=1$时，$m+1$取最小正整数值7，
此时$m=6$，即整数$m$的最小值为6。
解析
【分析】
这是一道含参数m的一元一次方程综合题，各小问解题思路如下：
(1) 已知m的取值，直接将m代入原方程，按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的常规步骤解一元一次方程即可；
(2) 已知方程的解x=5，将x代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；
(3) 属于错解类问题，看错常数项后得到的解x=1满足看错后的方程，将x代入看错的方程，列关于m的方程求解即可；
(4) 先将原方程的解x用含m的代数式表示，再根据“解与给定代数式的值相等”列方程求解m；
(5) 属于同解方程问题，先求解不含参数的一元一次方程得到x的值，再将x代入原方程即可求出m；
(6) 结合(4)中得到的x关于m的表达式，根据解为正整数、5和7互质的性质，可知m+1是7的正整数倍，取最小正整数倍即可得到最小整数m。
【解析】
(1) 把$m=-1$代入原方程，得
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(3x+1)-2(x-1)=5$
去括号，得$9x+3-2x+2=5$
移项、合并同类项，得$7x=0$
系数化为1，得$x=0$
(2) 把$x=5$代入原方程，得
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(15-m)-2(5+m)=5$
去括号，得$45-3m-10-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-30$
系数化为1，得$m=6$
(3) 把$x=1$代入看错后的方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$，得
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
去分母（两边同乘30），得$15(3-m)-10(1+m)=36$
去括号，得$45-15m-10-10m=36$
移项、合并同类项，得$-25m=1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先化简原方程：
去分母（两边同乘6），得$3(3x-m)-2(x+m)=5$
去括号，得$9x-3m-2x-2m=5$
合并同类项，得$7x=5m+5$
解得$x=\frac{5m+5}{7}$
由题意得$\frac{5m+5}{7}=\frac{2}{7}(2-m)$
两边同乘7，得$5m+5=4-2m$
移项、合并同类项，得$7m=-1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{7}$
(5) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
去分母（两边同乘4），得$2(x+1)=12+x-6$
去括号，得$2x+2=x+6$
移项、合并同类项，得$x=4$
把$x=4$代入原方程，得
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(12-m)-2(4+m)=5$
去括号，得$36-3m-8-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-23$
系数化为1，得$m=\frac{23}{5}$
(6) 由(4)得原方程的解为$x=\frac{5m+5}{7}=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍。
即$m+1=7k$（$k$为正整数），当$k=1$时，$m+1$取最小正整数值7，
此时$m=6$，即整数$m$的最小值为6。
【答案】
(1)$x=0$；(2)$m=6$；(3)$m=-\frac{1}{25}$；(4)$m=-\frac{1}{7}$；(5)$m=\frac{23}{5}$；(6)整数$m$的最小值为6
【知识点】
一元一次方程的解法，方程的解的定义，含参一元一次方程应用
【点评】
本题围绕含参数的一元一次方程设置多维度考法，覆盖代入求值、错解分析、同解方程、整数解等常见题型，既考查解一元一次方程的基础运算能力，也考查对参数关系的分析能力，解题时需注意去分母不要漏乘项、移项要变号，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
这是一道含参数m的一元一次方程综合题，各小问解题思路如下：
(1) 已知m的取值，直接将m代入原方程，按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化为1的常规步骤解一元一次方程即可；
(2) 已知方程的解x=5，将x代入原方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值；
(3) 属于错解类问题，看错常数项后得到的解x=1满足看错后的方程，将x代入看错的方程，列关于m的方程求解即可；
(4) 先将原方程的解x用含m的代数式表示，再根据“解与给定代数式的值相等”列方程求解m；
(5) 属于同解方程问题，先求解不含参数的一元一次方程得到x的值，再将x代入原方程即可求出m；
(6) 结合(4)中得到的x关于m的表达式，根据解为正整数、5和7互质的性质，可知m+1是7的正整数倍，取最小正整数倍即可得到最小整数m。
【解析】
(1) 把$m=-1$代入原方程，得
$\frac{3x+1}{2}-\frac{x-1}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(3x+1)-2(x-1)=5$
去括号，得$9x+3-2x+2=5$
移项、合并同类项，得$7x=0$
系数化为1，得$x=0$
(2) 把$x=5$代入原方程，得
$\frac{15-m}{2}-\frac{5+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(15-m)-2(5+m)=5$
去括号，得$45-3m-10-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-30$
系数化为1，得$m=6$
(3) 把$x=1$代入看错后的方程$\frac{3x-m}{2}-\frac{x+m}{3}=\frac{6}{5}$，得
$\frac{3-m}{2}-\frac{1+m}{3}=\frac{6}{5}$
去分母（两边同乘30），得$15(3-m)-10(1+m)=36$
去括号，得$45-15m-10-10m=36$
移项、合并同类项，得$-25m=1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{25}$
(4) 先化简原方程：
去分母（两边同乘6），得$3(3x-m)-2(x+m)=5$
去括号，得$9x-3m-2x-2m=5$
合并同类项，得$7x=5m+5$
解得$x=\frac{5m+5}{7}$
由题意得$\frac{5m+5}{7}=\frac{2}{7}(2-m)$
两边同乘7，得$5m+5=4-2m$
移项、合并同类项，得$7m=-1$
系数化为1，得$m=-\frac{1}{7}$
(5) 先解方程$\frac{x+1}{2}=3+\frac{x-6}{4}$：
去分母（两边同乘4），得$2(x+1)=12+x-6$
去括号，得$2x+2=x+6$
移项、合并同类项，得$x=4$
把$x=4$代入原方程，得
$\frac{12-m}{2}-\frac{4+m}{3}=\frac{5}{6}$
去分母（两边同乘6），得$3(12-m)-2(4+m)=5$
去括号，得$36-3m-8-2m=5$
移项、合并同类项，得$-5m=-23$
系数化为1，得$m=\frac{23}{5}$
(6) 由(4)得原方程的解为$x=\frac{5m+5}{7}=\frac{5(m+1)}{7}$
因为方程有正整数解，且5和7互质，所以$m+1$必须是7的正整数倍。
即$m+1=7k$（$k$为正整数），当$k=1$时，$m+1$取最小正整数值7，
此时$m=6$，即整数$m$的最小值为6。
【答案】
(1)$x=0$；(2)$m=6$；(3)$m=-\frac{1}{25}$；(4)$m=-\frac{1}{7}$；(5)$m=\frac{23}{5}$；(6)整数$m$的最小值为6
【知识点】
一元一次方程的解法，方程的解的定义，含参一元一次方程应用
【点评】
本题围绕含参数的一元一次方程设置多维度考法，覆盖代入求值、错解分析、同解方程、整数解等常见题型，既考查解一元一次方程的基础运算能力，也考查对参数关系的分析能力，解题时需注意去分母不要漏乘项、移项要变号，避免计算错误。
【难度系数】
0.6
