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1.下列变形中,错误的是（填序号）.
①$(b-4c)^2 = b^2 -16c^2$；②$(a-2bc)^2 = a^2 +4abc +4b^2c^2$；③$(x+y)^2 = x^2 +xy +y^2$；④$(4m-n)^2 =16m^2 -8mn +n^2$.
①$(b-4c)^2 = b^2 -16c^2$；②$(a-2bc)^2 = a^2 +4abc +4b^2c^2$；③$(x+y)^2 = x^2 +xy +y^2$；④$(4m-n)^2 =16m^2 -8mn +n^2$.
答案
解：根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$逐一验证：
① $(b-4c)^2 = b^2 - 2· b· 4c + (4c)^2 = b^2 -8bc +16c^2 ≠ b^2 -16c^2$，变形错误；
② $(a-2bc)^2 = a^2 - 2· a· 2bc + (2bc)^2 = a^2 -4abc +4b^2c^2 ≠ a^2 +4abc +4b^2c^2$，变形错误；
③ $(x+y)^2 = x^2 + 2· x· y + y^2 = x^2 +2xy + y^2 ≠ x^2 +xy + y^2$，变形错误；
④ $(4m-n)^2 = (4m)^2 - 2· 4m· n +n^2 = 16m^2 -8mn +n^2$，变形正确。
错误的是$\boldsymbol{①②③}$。
① $(b-4c)^2 = b^2 - 2· b· 4c + (4c)^2 = b^2 -8bc +16c^2 ≠ b^2 -16c^2$，变形错误；
② $(a-2bc)^2 = a^2 - 2· a· 2bc + (2bc)^2 = a^2 -4abc +4b^2c^2 ≠ a^2 +4abc +4b^2c^2$，变形错误；
③ $(x+y)^2 = x^2 + 2· x· y + y^2 = x^2 +2xy + y^2 ≠ x^2 +xy + y^2$，变形错误；
④ $(4m-n)^2 = (4m)^2 - 2· 4m· n +n^2 = 16m^2 -8mn +n^2$，变形正确。
错误的是$\boldsymbol{①②③}$。
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题时首先要牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，即“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与前一个相同”。解题步骤为：逐个对四个式子用完全平方公式展开，将展开结果与题干给出的变形对比，不一致的即为错误变形，最后汇总所有错误的序号即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$逐一验证：
① $(b-4c)^2 = b^2 - 2· b· 4c + (4c)^2 = b^2 -8bc +16c^2 ≠ b^2 -16c^2$，变形错误；
② $(a-2bc)^2 = a^2 - 2· a· 2bc + (2bc)^2 = a^2 -4abc +4b^2c^2 ≠ a^2 +4abc +4b^2c^2$，变形错误；
③ $(x+y)^2 = x^2 + 2· x· y + y^2 = x^2 +2xy + y^2 ≠ x^2 +xy + y^2$，变形错误；
④ $(4m-n)^2 = (4m)^2 - 2· 4m· n +n^2 = 16m^2 -8mn +n^2$，变形正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，常见错误是将完全平方公式与平方差公式混淆，或者漏写中间项的2倍、搞错中间项的符号，学习时需准确记忆公式特征，通过练习巩固应用。
【难度系数】
0.7
本题考查完全平方公式的应用，解题时首先要牢记完全平方公式的结构：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$，即“首平方，尾平方，积的2倍在中央，符号与前一个相同”。解题步骤为：逐个对四个式子用完全平方公式展开，将展开结果与题干给出的变形对比，不一致的即为错误变形，最后汇总所有错误的序号即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$逐一验证：
① $(b-4c)^2 = b^2 - 2· b· 4c + (4c)^2 = b^2 -8bc +16c^2 ≠ b^2 -16c^2$，变形错误；
② $(a-2bc)^2 = a^2 - 2· a· 2bc + (2bc)^2 = a^2 -4abc +4b^2c^2 ≠ a^2 +4abc +4b^2c^2$，变形错误；
③ $(x+y)^2 = x^2 + 2· x· y + y^2 = x^2 +2xy + y^2 ≠ x^2 +xy + y^2$，变形错误；
④ $(4m-n)^2 = (4m)^2 - 2· 4m· n +n^2 = 16m^2 -8mn +n^2$，变形正确。
【答案】
$\boldsymbol{①②③}$
【知识点】
完全平方公式，整式乘法运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，常见错误是将完全平方公式与平方差公式混淆，或者漏写中间项的2倍、搞错中间项的符号，学习时需准确记忆公式特征，通过练习巩固应用。
【难度系数】
0.7
2.如果$x^2 -4(m-1)x +16$是一个完全平方式，那么$m=$.
答案
解：
∵ $x^2 -4(m-1)x +16$ 是完全平方式，
∴ 该式符合完全平方公式的结构 $a^2\pm2ab+b^2$，其中$a=x$，$b=4$，
因此一次项系数满足：$-4(m-1) = \pm 2× x × 4 ÷ x = \pm8$。
当 $-4(m-1)=8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=-2$，
解得 $m=-1$；
当 $-4(m-1)=-8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=2$，
解得 $m=3$。
综上，$m=3$或$-1$。
∵ $x^2 -4(m-1)x +16$ 是完全平方式，
∴ 该式符合完全平方公式的结构 $a^2\pm2ab+b^2$，其中$a=x$，$b=4$，
因此一次项系数满足：$-4(m-1) = \pm 2× x × 4 ÷ x = \pm8$。
当 $-4(m-1)=8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=-2$，
解得 $m=-1$；
当 $-4(m-1)=-8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=2$，
解得 $m=3$。
综上，$m=3$或$-1$。
解析
【分析】
首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种形式。本题中给出的二次三项式首项是$x^2$，末项是16即$4^2$，因此可确定$a=x$，$b=4$，接下来只需让中间的一次项系数等于$\pm2ab$，列出关于m的一元一次方程求解即可，注意不要漏掉正负两种情况。
【解析】
∵ $x^2 -4(m-1)x +16$ 是完全平方式，
∴ 该式符合完全平方公式的结构 $a^2\pm2ab+b^2$，其中$a=x$，$b=4$，
因此一次项系数满足：$-4(m-1) = \pm 2× x×4÷ x = \pm8$。
当 $-4(m-1)=8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=-2$，
解得 $m=-1$；
当 $-4(m-1)=-8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=2$，
解得 $m=3$。
综上，$m=3$或$-1$。
【答案】
$3$或$-1$
【知识点】
完全平方公式；一元一次方程的解法
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题的易错点是忽略完全平方式包含“和的平方”与“差的平方”两种形式，从而遗漏其中一个解，熟练掌握完全平方公式的结构是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，包含和的平方、差的平方两种形式。本题中给出的二次三项式首项是$x^2$，末项是16即$4^2$，因此可确定$a=x$，$b=4$，接下来只需让中间的一次项系数等于$\pm2ab$，列出关于m的一元一次方程求解即可，注意不要漏掉正负两种情况。
【解析】
∵ $x^2 -4(m-1)x +16$ 是完全平方式，
∴ 该式符合完全平方公式的结构 $a^2\pm2ab+b^2$，其中$a=x$，$b=4$，
因此一次项系数满足：$-4(m-1) = \pm 2× x×4÷ x = \pm8$。
当 $-4(m-1)=8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=-2$，
解得 $m=-1$；
当 $-4(m-1)=-8$ 时，
两边同除以$-4$得：$m-1=2$，
解得 $m=3$。
综上，$m=3$或$-1$。
【答案】
$3$或$-1$
【知识点】
完全平方公式；一元一次方程的解法
【点评】
本题核心考查完全平方式的结构特征，解题的易错点是忽略完全平方式包含“和的平方”与“差的平方”两种形式，从而遗漏其中一个解，熟练掌握完全平方公式的结构是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.7
3.计算:
(1)$(x+1)^2=$;
(2)$(-3x+1)^2=$;
(3)$(-2a -b)^2=$.
(1)$(x+1)^2=$;
(2)$(-3x+1)^2=$;
(3)$(-2a -b)^2=$.
答案
解：
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(x+1)^2 = x^2 + 2· x·1 + 1^2 = x^2+2x+1$
(2) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-3x+1)^2 = (-3x)^2 + 2·(-3x)·1 + 1^2 = 9x^2-6x+1$
(3) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-2a-b)^2 = (-2a)^2 + 2·(-2a)·(-b) + (-b)^2 = 4a^2+4ab+b^2$
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(x+1)^2 = x^2 + 2· x·1 + 1^2 = x^2+2x+1$
(2) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-3x+1)^2 = (-3x)^2 + 2·(-3x)·1 + 1^2 = 9x^2-6x+1$
(3) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-2a-b)^2 = (-2a)^2 + 2·(-2a)·(-b) + (-b)^2 = 4a^2+4ab+b^2$
解析
【分析】
这三道题均考查完全平方公式的应用，解题前先明确完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题思路如下：①先确定每个式子中对应公式里的a和b，注意要带着符号确定，避免后续符号出错；②将a、b代入对应公式展开；③分别计算各项的平方、2倍乘积项，化简后得到结果。其中第(3)题也可先提取负号，利用$(-m)^2=m^2$转化为$(2a+b)^2$再计算，降低符号出错的概率。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(x+1)^2 = x^2 + 2· x·1 + 1^2 = x^2+2x+1$
(2) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-3x+1)^2 = (-3x)^2 + 2·(-3x)·1 + 1^2 = 9x^2-6x+1$
(3) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-2a-b)^2 = (-2a)^2 + 2·(-2a)·(-b) + (-b)^2 = 4a^2+4ab+b^2$
【答案】
(1)$x^2+2x+1$；(2)$9x^2-6x+1$；(3)$4a^2+4ab+b^2$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式的基础练习题，核心考查完全平方公式的准确运用，解题时需要注意区分公式中各项的符号，避免出现漏乘2倍项、符号出错等常见问题，熟练掌握公式后可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查完全平方公式的应用，解题前先明确完全平方公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$、$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。解题思路如下：①先确定每个式子中对应公式里的a和b，注意要带着符号确定，避免后续符号出错；②将a、b代入对应公式展开；③分别计算各项的平方、2倍乘积项，化简后得到结果。其中第(3)题也可先提取负号，利用$(-m)^2=m^2$转化为$(2a+b)^2$再计算，降低符号出错的概率。
【解析】
(1) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(x+1)^2 = x^2 + 2· x·1 + 1^2 = x^2+2x+1$
(2) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-3x+1)^2 = (-3x)^2 + 2·(-3x)·1 + 1^2 = 9x^2-6x+1$
(3) 根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，得
$(-2a-b)^2 = (-2a)^2 + 2·(-2a)·(-b) + (-b)^2 = 4a^2+4ab+b^2$
【答案】
(1)$x^2+2x+1$；(2)$9x^2-6x+1$；(3)$4a^2+4ab+b^2$
【知识点】
1.完全平方公式 2.整式乘法运算
【点评】
本题是乘法公式的基础练习题，核心考查完全平方公式的准确运用，解题时需要注意区分公式中各项的符号，避免出现漏乘2倍项、符号出错等常见问题，熟练掌握公式后可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
4.计算:
(1)$(3a-\dfrac{1}{2}b)^2 - (3a+\dfrac{1}{2}b)^2$;
(2)$(x+2)^2(x-2)^2$;
(3)$4(x+1)^2 - (2x+5)(2x-5)$;
(4)$9999^2$.
(1)$(3a-\dfrac{1}{2}b)^2 - (3a+\dfrac{1}{2}b)^2$;
(2)$(x+2)^2(x-2)^2$;
(3)$4(x+1)^2 - (2x+5)(2x-5)$;
(4)$9999^2$.
答案
解：
(1)
原式$=[(3a-\dfrac{1}{2}b)+(3a+\dfrac{1}{2}b)][(3a-\dfrac{1}{2}b)-(3a+\dfrac{1}{2}b)]$
$=6a·(-b)$
$=-6ab$
(2)
原式$=[(x+2)(x-2)]^2$
$=(x^2-4)^2$
$=x^4-8x^2+16$
(3)
原式$=4(x^2+2x+1)-(4x^2-25)$
$=4x^2+8x+4-4x^2+25$
$=8x+29$
(4)
原式$=(10000-1)^2$
$=10000^2-2×10000×1+1^2$
$=100000000-20000+1$
$=99980001$
(1)
原式$=[(3a-\dfrac{1}{2}b)+(3a+\dfrac{1}{2}b)][(3a-\dfrac{1}{2}b)-(3a+\dfrac{1}{2}b)]$
$=6a·(-b)$
$=-6ab$
(2)
原式$=[(x+2)(x-2)]^2$
$=(x^2-4)^2$
$=x^4-8x^2+16$
(3)
原式$=4(x^2+2x+1)-(4x^2-25)$
$=4x^2+8x+4-4x^2+25$
$=8x+29$
(4)
原式$=(10000-1)^2$
$=10000^2-2×10000×1+1^2$
$=100000000-20000+1$
$=99980001$
解析
【分析】
这几道整式运算题可通过灵活运用乘法公式简化计算，具体思路如下：
(1) 原式是两个整式的平方差形式，优先逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将两个整式分别看作公式里的$a$和$b$，展开后合并同类项即可，比分别展开两个完全平方计算更简便；
(2) 观察到两个乘方的指数相同，先逆用积的乘方法则$a^2b^2=(ab)^2$，先算底数$(x+2)(x-2)$，用平方差公式得到结果后，再用完全平方公式展开；
(3) 分别用完全平方公式展开$(x+1)^2$、用平方差公式展开$(2x+5)(2x-5)$，再去括号、合并同类项得到结果，注意去括号时的符号变化；
(4) 9999接近整万数10000，将其变形为$(10000-1)$，再用完全平方公式展开计算，比直接计算简便很多。
【解析】
(1)
原式$=[(3a-\dfrac{1}{2}b)+(3a+\dfrac{1}{2}b)][(3a-\dfrac{1}{2}b)-(3a+\dfrac{1}{2}b)]$
$=6a·(-b)$
$=-6ab$
(2)
原式$=[(x+2)(x-2)]^2$
$=(x^2-4)^2$
$=x^4-8x^2+16$
(3)
原式$=4(x^2+2x+1)-(4x^2-25)$
$=4x^2+8x+4-4x^2+25$
$=8x+29$
(4)
原式$=(10000-1)^2$
$=10000^2-2×10000×1+1^2$
$=100000000-20000+1$
$=99980001$
【答案】
(1)$-6ab$；(2)$x^4-8x^2+16$；(3)$8x+29$；(4)$99980001$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时可先观察式子结构特征，优先选择合适的公式或逆用运算律简化计算，计算过程中要注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
这几道整式运算题可通过灵活运用乘法公式简化计算，具体思路如下：
(1) 原式是两个整式的平方差形式，优先逆用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，将两个整式分别看作公式里的$a$和$b$，展开后合并同类项即可，比分别展开两个完全平方计算更简便；
(2) 观察到两个乘方的指数相同，先逆用积的乘方法则$a^2b^2=(ab)^2$，先算底数$(x+2)(x-2)$，用平方差公式得到结果后，再用完全平方公式展开；
(3) 分别用完全平方公式展开$(x+1)^2$、用平方差公式展开$(2x+5)(2x-5)$，再去括号、合并同类项得到结果，注意去括号时的符号变化；
(4) 9999接近整万数10000，将其变形为$(10000-1)$，再用完全平方公式展开计算，比直接计算简便很多。
【解析】
(1)
原式$=[(3a-\dfrac{1}{2}b)+(3a+\dfrac{1}{2}b)][(3a-\dfrac{1}{2}b)-(3a+\dfrac{1}{2}b)]$
$=6a·(-b)$
$=-6ab$
(2)
原式$=[(x+2)(x-2)]^2$
$=(x^2-4)^2$
$=x^4-8x^2+16$
(3)
原式$=4(x^2+2x+1)-(4x^2-25)$
$=4x^2+8x+4-4x^2+25$
$=8x+29$
(4)
原式$=(10000-1)^2$
$=10000^2-2×10000×1+1^2$
$=100000000-20000+1$
$=99980001$
【答案】
(1)$-6ab$；(2)$x^4-8x^2+16$；(3)$8x+29$；(4)$99980001$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式混合运算
【点评】
本题重点考查乘法公式的灵活运用，解题时可先观察式子结构特征，优先选择合适的公式或逆用运算律简化计算，计算过程中要注意去括号的符号规则，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7
5.先化简，再求值：$(a-2b)(a+2b)-(a-2b)^2+8b^2$，其中$a=-2,b=\frac{1}{2}$。
答案
解：
原式$=a^2 - (2b)^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$
$=a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
$=4ab$
当$a=-2$，$b=\frac{1}{2}$时，
原式$=4×(-2)×\frac{1}{2}=-4$
原式$=a^2 - (2b)^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$
$=a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
$=4ab$
当$a=-2$，$b=\frac{1}{2}$时，
原式$=4×(-2)×\frac{1}{2}=-4$
解析
【分析】
本题是整式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，观察式子结构，发现$(a-2b)(a+2b)$符合平方差公式的形式，$(a-2b)^2$符合完全平方差公式的形式，先分别利用两个乘法公式展开两部分；第二步，去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；第三步，合并同类项得到最简整式；第四步，将a、b的取值代入最简整式计算即可得到结果，先化简再求值能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
首先利用乘法公式展开：
原式$=a^2 - (2b)^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$
$=a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
合并同类项化简：
$=4ab$
将$a=-2$，$b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4×(-2)×\frac{1}{2}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的灵活运用，解题的核心是准确识别公式适用的结构，注意去括号时的符号变化，先化简后代入求值的思路可以有效简化计算，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值类题目，解题思路如下：第一步，观察式子结构，发现$(a-2b)(a+2b)$符合平方差公式的形式，$(a-2b)^2$符合完全平方差公式的形式，先分别利用两个乘法公式展开两部分；第二步，去括号，注意括号前是负号时，括号内各项要变号；第三步，合并同类项得到最简整式；第四步，将a、b的取值代入最简整式计算即可得到结果，先化简再求值能大幅减少计算量，降低出错概率。
【解析】
首先利用乘法公式展开：
原式$=a^2 - (2b)^2 - (a^2 - 4ab + 4b^2) + 8b^2$
$=a^2 - 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2 + 8b^2$
合并同类项化简：
$=4ab$
将$a=-2$，$b=\frac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4×(-2)×\frac{1}{2}=-4$
【答案】
$-4$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式乘法公式的灵活运用，解题的核心是准确识别公式适用的结构，注意去括号时的符号变化，先化简后代入求值的思路可以有效简化计算，减少运算错误。
【难度系数】
0.8
6. 提升题 图①是一个长为$2a$、宽为$2b$的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形。
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是。
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：；
方法2：。
(3)观察图②，请你写出式子$(a+b)^2$，$(a-b)^2$，$ab$之间的等量关系：。
(4)根据(3)中的等量关系解决问题：
若$m-n=-7$，$mn=5$，则$(m+n)^2$的值为多少？
(1)图②中阴影部分的正方形的边长是。
(2)用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1：；
方法2：。
(3)观察图②，请你写出式子$(a+b)^2$，$(a-b)^2$，$ab$之间的等量关系：。
(4)根据(3)中的等量关系解决问题：
若$m-n=-7$，$mn=5$，则$(m+n)^2$的值为多少？
答案
解：
(1) $\boldsymbol{a-b}$
(2) 方法1：$\boldsymbol{(a-b)^2}$
方法2：$\boldsymbol{(a+b)^2 - 4ab}$
(3) $\boldsymbol{(a-b)^2=(a+b)^2-4ab}$
(4) 由(3)中的等量关系可得：
$(m+n)^2=(m-n)^2 + 4mn$
将$m-n=-7$，$mn=5$代入上式：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=(-7)^2 + 4×5\\&=49+20\\&=69\end{aligned}$
即$(m+n)^2$的值为69。
(1) $\boldsymbol{a-b}$
(2) 方法1：$\boldsymbol{(a-b)^2}$
方法2：$\boldsymbol{(a+b)^2 - 4ab}$
(3) $\boldsymbol{(a-b)^2=(a+b)^2-4ab}$
(4) 由(3)中的等量关系可得：
$(m+n)^2=(m-n)^2 + 4mn$
将$m-n=-7$，$mn=5$代入上式：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=(-7)^2 + 4×5\\&=49+20\\&=69\end{aligned}$
即$(m+n)^2$的值为69。
解析
【分析】
(1) 观察图②的构成，小长方形的长为a、宽为b，阴影正方形的边长等于小长方形的长减去宽，据此即可求出边长；
(2) 求阴影面积有两种思路：方法1直接利用正方形面积公式，用阴影正方形的边长计算面积；方法2用外围大正方形的总面积减去周围4个小长方形的总面积，得到阴影部分面积；
(3) 两种方法表示的都是阴影部分的面积，因此二者相等，整理即可得到三个式子的等量关系；
(4) 先根据(3)得到的等量关系变形，写出$(m+n)^2$的展开式，再将已知的$m-n$和$mn$的值代入计算，即可求出结果。
【解析】
(1) 小长方形的长为a，宽为b，因此阴影正方形的边长为$a-b$；
(2) 方法1：阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，根据正方形面积公式，面积为$(a-b)^2$；
方法2：外围大正方形的边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影面积为$(a+b)^2 - 4ab$；
(3) 两种方法表示的是同一部分的面积，因此相等，可得等量关系：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
(4) 由(3)的关系式变形可得：$(m+n)^2=(m-n)^2 + 4mn$，
将$m-n=-7$，$mn=5$代入上式：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=(-7)^2 + 4×5\\&=49+20\\&=69\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a-b}$
(2) 方法1：$\boldsymbol{(a-b)^2}$；方法2：$\boldsymbol{(a+b)^2 - 4ab}$
(3) $\boldsymbol{(a-b)^2=(a+b)^2-4ab}$
(4) $\boldsymbol{69}$
【知识点】
完全平方公式，面积法的应用，代数式求值
【点评】
本题结合几何拼图考查完全平方公式的推导及变形应用，通过面积法推导公式的过程能加深对完全平方公式的理解，灵活运用公式变形是解决这类求值问题的关键，是乘法公式章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图②的构成，小长方形的长为a、宽为b，阴影正方形的边长等于小长方形的长减去宽，据此即可求出边长；
(2) 求阴影面积有两种思路：方法1直接利用正方形面积公式，用阴影正方形的边长计算面积；方法2用外围大正方形的总面积减去周围4个小长方形的总面积，得到阴影部分面积；
(3) 两种方法表示的都是阴影部分的面积，因此二者相等，整理即可得到三个式子的等量关系；
(4) 先根据(3)得到的等量关系变形，写出$(m+n)^2$的展开式，再将已知的$m-n$和$mn$的值代入计算，即可求出结果。
【解析】
(1) 小长方形的长为a，宽为b，因此阴影正方形的边长为$a-b$；
(2) 方法1：阴影部分是边长为$(a-b)$的正方形，根据正方形面积公式，面积为$(a-b)^2$；
方法2：外围大正方形的边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$，4个小长方形的总面积为$4ab$，因此阴影面积为$(a+b)^2 - 4ab$；
(3) 两种方法表示的是同一部分的面积，因此相等，可得等量关系：$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$；
(4) 由(3)的关系式变形可得：$(m+n)^2=(m-n)^2 + 4mn$，
将$m-n=-7$，$mn=5$代入上式：
$\begin{aligned}(m+n)^2&=(-7)^2 + 4×5\\&=49+20\\&=69\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{a-b}$
(2) 方法1：$\boldsymbol{(a-b)^2}$；方法2：$\boldsymbol{(a+b)^2 - 4ab}$
(3) $\boldsymbol{(a-b)^2=(a+b)^2-4ab}$
(4) $\boldsymbol{69}$
【知识点】
完全平方公式，面积法的应用，代数式求值
【点评】
本题结合几何拼图考查完全平方公式的推导及变形应用，通过面积法推导公式的过程能加深对完全平方公式的理解，灵活运用公式变形是解决这类求值问题的关键，是乘法公式章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
