例1 (人教八下 P68 改编)【问题情境】(1)如图 1,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为边 AD,CD 上的点,BE,AF 交于点 O.小亮根据图形提出如下猜想:若 BE⊥AF,则 BE = AF;小利根据图形提出如下猜想:若 AE = DF,则 BE⊥AF.请你从他们的猜想中任选一个进行证明.

【类比探究】(2)如图 2,在正方形 ABCD 中,E,F,H,G 分别为边 AD,CD,BC,AB 上的点,连接 EH,GF 交于点 O.若 EH⊥GF,求证:EH = GF.

【拓展应用】(3)如图 3,在矩形 ABCD 中,E 为边 AD 上一点,BE,AC 相交于点 F,且 BE⊥AC.若 AB = 6,AD = 8,求 BE 的长.

(1) 证明见解析；(2) 证明见解析；(3) $\frac{15}{2}$

(1) 证明小亮的猜想：若$BE ⊥ AF$，则$BE = AF$。
在正方形$ABCD$中，$AB = AD$，$\angle BAD = \angle ADC = 90°$。
$\because BE ⊥ AF$，$\therefore \angle AOB = 90°$，则$\angle BAO + \angle ABO = 90°$。
又$\angle BAO + \angle DAF = 90°$（$\angle BAD = 90°$），$\therefore \angle ABO = \angle DAF$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DAF$中：
$\begin{cases} \angle BAE = \angle ADF = 90° \\ AB = AD \\ \angle ABE = \angle DAF \end{cases}$，
$\therefore \triangle ABE \cong \triangle DAF$（ASA），$\therefore BE = AF$。
(2) 过点$A$作$AM // EH$交$BC$于$M$，过点$D$作$DN // GF$交$AB$于$N$。
$\because EH ⊥ GF$，$AM // EH$，$DN // GF$，$\therefore AM ⊥ DN$。
由(1)结论，在正方形中垂直的线段相等，$\therefore AM = DN$。
$\because AM // EH$且$AD // BC$，$\therefore$四边形$AEHM$为平行四边形，$\therefore AM = EH$。
同理，四边形$DGFN$为平行四边形，$\therefore DN = GF$。
$\therefore EH = GF$。
(3) 以$A$为原点，$AB$、$AD$为坐标轴建立坐标系，设$A(0,0)$，$B(6,0)$，$D(0,8)$，$C(6,8)$。
设$E(0,t)$（$E$在$AD$上），则$BE$的斜率$k_{BE} = \frac{t - 0}{0 - 6} = -\frac{t}{6}$。
$AC$的斜率$k_{AC} = \frac{8 - 0}{6 - 0} = \frac{4}{3}$。
$\because BE ⊥ AC$，$\therefore k_{BE} · k_{AC} = -1$，即$-\frac{t}{6} · \frac{4}{3} = -1$，解得$t = \frac{9}{2}$。
$\therefore E(0,\frac{9}{2})$，$BE = \sqrt{(6 - 0)^2 + (0 - \frac{9}{2})^2} = \sqrt{36 + \frac{81}{4}} = \sqrt{\frac{225}{4}} = \frac{15}{2}$。