16. (2025 郑州三联)如图,菱形 ABCD 中,O 为 BD 的中点,M 为 BC 的中点,AM ⊥ BC,OM = 2,则 AM 的长为 ()

A.$\sqrt{3}$
B.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.2$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

C

∵ABCD 为菱形，∴AC ⊥ BD，AB = BC = CD = DA，
∵O 为 BD 中点，M 为 BC 中点，
∴OM 为 △BDC 的中位线，OM = 1/2 CD，
已知 OM = 2，∴CD = 4，
即 AB = BC = CD = DA = 4，
∵AM ⊥ BC，M 为 BC 中点，
∴在 Rt △ABM 中，BM = 1/2 BC = 2，AB = 4，
由勾股定理得：AM = √(AB² - BM²) = √(4² - 2²) = √(16 - 4) = √12 = 2√3。

17. 如图,▱ABCD 中,顶点 A 落在 y 轴上,顶点 B,C 落在 x 轴上,其中点 C 的坐标是 (6,0),AB 的中点 E 的坐标是 (-2,3),若将▱ABCD 沿 x 轴向右平移,使点 E 的对应点 E'恰好落在 y 轴上,则点 D 的对应点 D'的坐标是.

(12,6)

设A(0,a)，B(b,0)，E为AB中点，E(-2,3)。由中点坐标公式：(0+b)/2=-2得b=-4，(a+0)/2=3得a=6，故A(0,6)，B(-4,0)。C(6,0)，BC=6-(-4)=10，ABCD为平行四边形，AD=BC=10且AD//BC，A(0,6)，则D(0+10,6)=(10,6)。E(-2,3)向右平移至y轴，平移距离为0-(-2)=2，D(10,6)平移后D'(10+2,6)=(12,6)。

18. 如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的顶点 A 在 y 轴正半轴上,顶点 C 在 x 轴正半轴上,反比例函数 y = $\frac{4}{x}$ 的图象经过 AB 边上的点 D,且 AD:BD = 1:3.
(1)求点 D 的坐标;
(2)以点 B 为圆心,BC 为半径作弧,交 OB 于点 G,等腰三角形 OEF 的顶点 F 在反比例函数的图象上,OF = EF,点 H 为 OF 的中点,求图中阴影部分的面积.

(1)(1,4)；(2)2π+4-4√2

(1)设正方形OABC边长为a，则A(0,a)，B(a,a)，C(a,0)。AB边在直线y=a上，D在AB上且AD:BD=1:3，故D(a/4,a)。因D在y=4/x上，代入得a=4/(a/4)，解得a=4，所以D(1,4)。
(2)由(1)知B(4,4)，BC=4，以B为圆心、BC为半径的弧交OB于G。OB：y=x，设G(t,t)，则BG=4，即√[(t-4)²+(t-4)²]=4，解得t=4-2√2，G(4-2√2,4-2√2)。∠CBG=45°，扇形BCG面积=(45/360)π×4²=2π，△BCG面积=4√2，弓形面积=2π-4√2。
设F(m,4/m)(m＜0)，OF=EF，E(2m,0)。△OEF面积=1/2×|2m|×|4/m|=4。阴影面积=弓形面积+△OEF面积=2π-4√2+4=2π+4-4√2。

19. (2025 平顶山二模)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,点 D 是 AC 上一点,且 AD = 2DC,连接 BD,点 F 是 BD 的中点,连接 CF.
(1)尺规作图:作线段 AB 的垂直平分线 l,l 与 AB 的交点为 E;
(2)在(1)的基础上,连接 DE,EF. 求证:四边形 CDEF 是平行四边形;
(3)若 AD = DE,BC = 15,直接写出线段 EF 的长.

(3)√15

(1) 分别以A、B为圆心，大于1/2AB长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线l，交AB于E。
(2) ∵l是AB垂直平分线，∴E为AB中点。∵F是BD中点，∴EF是△ABD中位线，∴EF//AD，EF=1/2AD。∵AD=2DC，∴EF=DC。∵AD⊂AC，∴EF//DC。∴四边形CDEF是平行四边形。
(3) ∵CDEF是平行四边形，∴CF=DE。∵AD=DE，AD=2DC，设DC=x，则AD=DE=CF=2x。∵F是BD中点，∠ACB=90°，∴CF=1/2BD，∴BD=2CF=4x。在Rt△BCD中，BC²+CD²=BD²，即15²+x²=(4x)²，解得x=√15，∴EF=DC=√15。