4. 如图，抛物线$y = mx^{2} - 2mx + 4$经过点$A$，$B$，$C$，点$A$的坐标为$(-2, 0)$。
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当$-2 \leq x \leq 2$时，求$y$的最大值与最小值的差；
（3）若点$P$的坐标为$(2, 2)$，连接$AP$，并将线段$AP$向上平移$a(a \geq 0)$个单位长度得到线段$A_{1}P_{1}$，若线段$A_{1}P_{1}$与抛物线只有一个交点，请直接写出$a$的取值范围。
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）当$-2 \leq x \leq 2$时，求$y$的最大值与最小值的差；
（3）若点$P$的坐标为$(2, 2)$，连接$AP$，并将线段$AP$向上平移$a(a \geq 0)$个单位长度得到线段$A_{1}P_{1}$，若线段$A_{1}P_{1}$与抛物线只有一个交点，请直接写出$a$的取值范围。
答案
（1）解析式$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$，顶点$(1,\frac{9}{2})$；（2）$\frac{9}{2}$；（3）$0 \leq a ＜ 2$或$a = \frac{25}{8}$
解析
（1）将点$A(-2,0)$代入$y = mx^2 - 2mx + 4$，得$0 = m(-2)^2 - 2m(-2) + 4$，即$8m + 4 = 0$，解得$m = -\frac{1}{2}$。抛物线解析式为$y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 4$。顶点横坐标$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2×(-\frac{1}{2})} = 1$，代入得$y = -\frac{1}{2}(1)^2 + 1 + 4 = \frac{9}{2}$，顶点坐标$(1,\frac{9}{2})$。
（2）抛物线开口向下，顶点$(1,\frac{9}{2})$为最大值点。当$x = -2$时，$y = 0$；当$x = 2$时，$y = 4$。最小值为$0$，最大值与最小值的差为$\frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$。
（3）直线$AP$：$y = \frac{1}{2}x + 1$，平移后$A_1P_1$：$y = \frac{1}{2}x + 1 + a$。联立抛物线方程得$x^2 - x + 2(a - 3) = 0$。判别式$\Delta = 25 - 8a$。当$\Delta = 0$时，$a = \frac{25}{8}$；当$\Delta ＞ 0$且$g(-2)g(2) ＜ 0$时，$0 \leq a ＜ 2$。综上，$0 \leq a ＜ 2$或$a = \frac{25}{8}$。
（2）抛物线开口向下，顶点$(1,\frac{9}{2})$为最大值点。当$x = -2$时，$y = 0$；当$x = 2$时，$y = 4$。最小值为$0$，最大值与最小值的差为$\frac{9}{2} - 0 = \frac{9}{2}$。
（3）直线$AP$：$y = \frac{1}{2}x + 1$，平移后$A_1P_1$：$y = \frac{1}{2}x + 1 + a$。联立抛物线方程得$x^2 - x + 2(a - 3) = 0$。判别式$\Delta = 25 - 8a$。当$\Delta = 0$时，$a = \frac{25}{8}$；当$\Delta ＞ 0$且$g(-2)g(2) ＜ 0$时，$0 \leq a ＜ 2$。综上，$0 \leq a ＜ 2$或$a = \frac{25}{8}$。
