1. (2025 北京)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ()

D

A选项半圆是轴对称图形，但不是中心对称图形；B选项等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；C选项平行四边形不一定是轴对称图形（特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形除外，但一般平行四边形不是轴对称图形），但平行四边形是中心对称图形，此一般平行四边形不满足既是轴对称又是中心对称；D选项菱形（这里图形为菱形，四条边相等，角度不一定为90度）沿两条对角线所在直线对折后两边能完全重合，是轴对称图形，绕着两条对角线的交点旋转180度后与原图形重合，是中心对称图形。

2. (2023 河南,23 题(2)考法)如图,在 $ △ABC $ 中,点 $ D $ 在 $ BC $ 边上,作点 $ D $ 关于直线 $ AB $ 的对称点 $ E $,连接 $ AE $,作点 $ D $ 关于直线 $ AC $ 的对称点 $ F $,连接 $ AF $. 已知 $ ∠B = 61° $, $ ∠C = 54° $,则 $ ∠EAF $ 的度数为 ()

A.$ 130° $
B.$ 122° $
C.$ 115° $
D.$ 108° $

A

在△ABC中，∠B=61°，∠C=54°，由三角形内角和定理得∠BAC=180°-61°-54°=65°。
∵E是D关于AB的对称点，∴∠EAB=∠DAB（设为α）；
∵F是D关于AC的对称点，∴∠FAC=∠DAC（设为β）。
则∠BAC=∠DAB+∠DAC=α+β=65°。
∠EAF=∠EAB+∠BAC+∠FAC=α+（α+β）+β=2（α+β）=2∠BAC=2×65°=130°。

3. (2025 许昌一模)如图,在 $ Rt△ABC $ 中, $ ∠ACB = 90° $, $ ∠BAC = 30° $,点 $ D $ 为斜边 $ AB $ 上一动点,点 $ B $ 关于直线 $ CD $ 的对称点为点 $ E $,连接 $ AE $, $ CE $,当 $ AE = CE $ 时, $ \frac{AD}{AB} $ 的值为.

$\frac{1}{2}$

设$BC=1$，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=30°$，则$AB=2$，$AC=\sqrt{3}$。点$B$关于$CD$的对称点为$E$，故$CE=CB=1$。当$AE=CE$时，$AE=1$。
以$C$为原点，$CB$为$x$轴，$CA$为$y$轴建立坐标系，$C(0,0)$，$A(0,\sqrt{3})$，$B(1,0)$。设$E(m,n)$，由$CE=1$和$AE=1$得：
$\begin{cases}m^2 + n^2 = 1 \\m^2 + (n - \sqrt{3})^2 = 1\end{cases}$
解得$n=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$m=\pm\frac{1}{2}$，即$E\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$或$E\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。
当$E\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$时，$BE$中点为$\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$，$BE$斜率为$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$CD$斜率为$\sqrt{3}$，直线$CD:y=\sqrt{3}x$。联立$AB:y=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}$，得$D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$，即$AB$中点，$AD=1$，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。

4. (2025 河南,9)如图,在菱形 $ ABCD $ 中, $ ∠B = 45° $, $ AB = 6 $,点 $ E $ 在边 $ BC $ 上,连接 $ AE $,将 $ △ABE $ 沿 $ AE $ 折叠,若点 $ B $ 落在 $ BC $ 延长线上的点 $ F $ 处,则 $ CF $ 的长为 ()

A.$ 2 $
B.$ 6 - 3\sqrt{2} $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ 6\sqrt{2} - 6 $

D

在菱形$ABCD$中，$AB=BC=6$，$\angle B=45°$。将$\triangle ABE$沿$AE$折叠，点$B$落在$BC$延长线的点$F$处，故$AB=AF=6$，$BE=EF$。过$A$作$AH⊥ BC$于$H$，在$Rt\triangle ABH$中，$AH=AB·\sin45°=6×\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$，$BH=AB·\cos45°=3\sqrt{2}$。
设$BE=EF=x$，则$BF=BE+EF=2x$。在$Rt\triangle AHF$中，$AH=3\sqrt{2}$，$HF=BF-BH=2x-3\sqrt{2}$，由勾股定理得$AF^2=AH^2+HF^2$，即$6^2=(3\sqrt{2})^2+(2x-3\sqrt{2})^2$，解得$x=3\sqrt{2}$（负值舍去）。
则$BF=2x=6\sqrt{2}$，故$CF=BF-BC=6\sqrt{2}-6$。

5. (2022 河南,23 题考法)如图,有一张矩形纸片 $ ABCD $,先将纸片对折,使 $ AD $ 与 $ BC $ 重合,得到折痕 $ EF $,把纸片展平;再次折叠纸片,使点 $ A $ 落在 $ EF $ 上的点 $ N $ 处,折痕为 $ BM $. 若 $ AE = 1 $,则 $ MN = $.

2√3/3

设矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC。第一次对折AD与BC重合，折痕EF为矩形中位线，E为AB中点，故AE=EB=1，AB=2。第二次折叠使A落在EF上的N处，折痕BM，由折叠性质知BA=BN=2。在Rt△BEN中，BE=1，BN=2，由勾股定理得EN=√(BN²-BE²)=√3。设AM=MN=x，AD=2EN=2√3，过M作MP⊥EF于P，则MP=1（水平距离），PN=√3 - x（竖直距离）。在Rt△MPN中，MP²+PN²=MN²，即1²+(√3 - x)²=x²，解得x=2√3/3，故MN=2√3/3。

6. (2024 河南,14)如图,在平面直角坐标系中,正方形 $ ABCD $ 的边 $ AB $ 在 $ x $ 轴上,点 $ A $ 的坐标为 $ (-2,0) $,点 $ E $ 在边 $ CD $ 上. 将 $ △BCE $ 沿 $ BE $ 折叠,点 $ C $ 落在点 $ F $ 处. 若点 $ F $ 的坐标为 $ (0,6) $,则点 $ E $ 的坐标为.

(3,10)

设正方形边长为$a$，则$B(-2+a,0)$，$C(-2+a,a)$。由折叠性质知$BF=BC=a$，$F(0,6)$，根据两点间距离公式：$(a-2)^2+6^2=a^2$，解得$a=10$，故$B(8,0)$，$C(8,10)$，$CD$在$y=10$上，设$E(x,10)$。由$EF=EC$，得$x^2+(10-6)^2=(8-x)^2$，解得$x=3$，所以$E(3,10)$。