1. 如图，$AC ⊥ BC$，$BD ⊥ AD$，垂足分别为$C$，$D$，若要根据“HL”证明$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ BAD$全等，则还需要添加一个条件是().

A.$∠ CAB = ∠ DBA$
B.$AB = BD$
C.$BC = AD$
D.$∠ ABC = ∠ BAD$

1. C

2. 如图，AB＝DE，AD⊥BE，垂足C是BE的中点. 求证AB//DE.

证明 $\because AD⊥ BE$，
$\therefore ∠ ACB=∠ DCE=90°.$
$\because C$ 是 $BE$ 的中点，$\therefore BC=CE.$
在 $\mathrm{Rt}\ △ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}\ △ DEC$ 中，
$\begin{cases} AB=DE,\\ BC=EC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ DEC(\mathrm{HL}),$
$\therefore ∠ B=∠ E,\therefore AB// DE.$

3.如图,小明和小芳以相同的速度分别同时从点A,B出发,小明沿AC行走,小芳沿BD行走,两人分别同时到达点C,D,且$CB⊥ AB$,$DA⊥ AB$.

(1)CB与DA相等吗?为什么?
(2)若$∠ DAC=60°$,求$∠ DBA$的度数.

解 (1)$CB=DA$,理由：
由题意可得 $AC=BD$，
$\because CB⊥ AB,DA⊥ AB,$
$\therefore ∠ ABC=∠ BAD=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BAD$ 中，
$\begin{cases} AC=BD,\\ AB=BA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD(\mathrm{HL}),$
$\therefore CB=DA.$
(2) 由题意可得 $∠ CAB = 90° -60°=30°,$又 $\mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ BAD$，
$\therefore ∠ DBA=∠ BAC=30°.$

4. 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O。如果$AB=AC$，那么图中全等的直角三角形的对数是()。

A.1
B.2
C.3
D.4

4. C 解析 $\because CD⊥ AB,BE⊥ AC,$
$\therefore ∠ ADC=∠ AEB=90°.$
在$△ ADC$ 和 $△ AEB$ 中，
$\begin{cases} ∠ ADC=∠ AEB,\\ ∠ DAC=∠ EAB,\\ AC=AB, \end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ AEB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AD=AE,∠ C=∠ B.$
$\because AB=AC,\therefore BD=CE.$
在$△ BOD$ 和$△ COE$ 中，
$\begin{cases} ∠ B=∠ C,\\ ∠ BOD=∠ COE,\\ BD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ BOD≌△ COE(\mathrm{AAS}),\therefore OD=OE.$
在 $\mathrm{Rt}\ △ ADO$ 和 $\mathrm{Rt}\ △ AEO$ 中，
$\begin{cases} OA=OA,\\ OD=OE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADO≌\mathrm{Rt}△ AEO(\mathrm{HL}),$
$\therefore$ 共有 3 对全等的直角三角形，
故选 C.

5. 如图,在四边形 $ABCD$ 中, $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$, $BE ⊥ AC$ 于点 $E$, $DF ⊥ AC$ 于点 $F$, $CF = AE$, $BC = DA$. 求证 $BE = DF$.

证明 在 $\mathrm{Rt}△ ADC$ 和 $\mathrm{Rt}△ CBA$ 中，
$\begin{cases} DA=BC,\\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADC≌\mathrm{Rt}△ CBA(\mathrm{HL}),$
$\therefore DC=BA.$
$\because BE⊥ AC,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ AEB=∠ CFD=90°.$
在 $\mathrm{Rt}△ ABE$ 和 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，
$\begin{cases} AE=CF,\\ AB=CD, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABE≌\mathrm{Rt}△ CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore BE=DF.$