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1.一般地，如果方程中只含有
一
个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2
，这样的方程叫作一元二次方程。答案
1. 一 2
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的基本定义，解题时可结合概念名称拆解理解：“一元”指的是方程内未知数的个数，“二次”指的是未知数的最高次数，再结合题干给出的“含有未知数的式子都是整式”这一前提，对应填写空缺内容即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有1个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。因此第一个空对应“一元”填“一”，第二个空对应“二次”填“2”。
【答案】
一；2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对一元二次方程定义核心要素的识记，只要牢记概念的三个判定条件就能快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程的基本定义，解题时可结合概念名称拆解理解：“一元”指的是方程内未知数的个数，“二次”指的是未知数的最高次数，再结合题干给出的“含有未知数的式子都是整式”这一前提，对应填写空缺内容即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义：只含有1个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。因此第一个空对应“一元”填“一”，第二个空对应“二次”填“2”。
【答案】
一；2
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对一元二次方程定义核心要素的识记，只要牢记概念的三个判定条件就能快速得分。
【难度系数】
0.9
•练习1 若$(m+4)x^{|m|-2} -x -5=0$是关于x的一元二次方程，则m的值为（
A.4
B.−4
C.±4
D.±2
温馨提示 在判定一个方程为一元二次方程时，必须满足“二次项系数不为0”这一条件。
A
）。A.4
B.−4
C.±4
D.±2
温馨提示 在判定一个方程为一元二次方程时，必须满足“二次项系数不为0”这一条件。
答案
练习1 A
解析
【分析】
要解决这道题，需紧扣一元二次方程的定义思考：一元二次方程必须同时满足两个核心条件：①含未知数的项的最高次数为2；②二次项系数不为0。我们可以先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵$(m+4)x^{|m|-2} -x -5=0$是关于x的一元二次方程
∴首先满足未知数最高次数为2，可得：
$\vert m\vert -2=2$
解得$\vert m\vert=4$，即$m=4$或$m=-4$
再满足二次项系数不为0的要求，可得：
$m+4≠0$，解得$m≠-4$
综上，m的取值只能为4。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的概念
2.绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略“二次项系数不为0”的隐含条件，误选C选项，解题时要注意对定义的两个条件逐一验证，避免漏判。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需紧扣一元二次方程的定义思考：一元二次方程必须同时满足两个核心条件：①含未知数的项的最高次数为2；②二次项系数不为0。我们可以先根据最高次数为2列出关于m的方程，求出m的可能取值，再结合二次项系数不为0的条件排除不符合的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵$(m+4)x^{|m|-2} -x -5=0$是关于x的一元二次方程
∴首先满足未知数最高次数为2，可得：
$\vert m\vert -2=2$
解得$\vert m\vert=4$，即$m=4$或$m=-4$
再满足二次项系数不为0的要求，可得：
$m+4≠0$，解得$m≠-4$
综上，m的取值只能为4。
【答案】
A
【知识点】
1.一元二次方程的概念
2.绝对值的性质
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，易错点是容易忽略“二次项系数不为0”的隐含条件，误选C选项，解题时要注意对定义的两个条件逐一验证，避免漏判。
【难度系数】
0.7
2.一元二次方程的一般形式是
$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$
.其中$ax^{2}$
是二次项，$a$
是二次项系数；$bx$
是一次项，$b$
是一次项系数；$c$
是常数项.答案
2. $ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$ $ax^{2}$ $a$ $bx$ $b$ $c$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程基本概念的识记，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的核心定义：只含1个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，为了方便研究，这类方程会统一整理为左边按未知数降幂排列、右边为0的形式，也就是一般形式，这里要特别注意：二次项系数不能为0，否则方程最高次数不足2，就不属于一元二次方程了。再根据项、系数的定义区分各部分：含未知数二次幂的项是二次项，其数字因数为二次项系数；含未知数一次幂的项是一次项，其数字因数为一次项系数；不含未知数的项就是常数项，据此逐一对应填空即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，其一般形式为$\boldsymbol{ax^{2}+bx+c=0(a≠0)}$，其中$a≠0$是必要前提，若$a=0$，方程不含二次项，不属于一元二次方程。
按项的属性逐一区分：
1. 含有未知数二次幂的项为$ax^2$，即二次项，它的数字因数$a$为二次项系数；
2. 含有未知数一次幂的项为$bx$，即一次项，它的数字因数$b$为一次项系数；
3. 不含未知数的项为$c$，即常数项。
【答案】
$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$；$ax^{2}$；$a$；$bx$；$b$；$c$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心需要牢记一元二次方程一般形式中二次项系数不为0的隐含条件，准确区分各部分的名称，是学习一元二次方程后续求解、性质研究等内容的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程基本概念的识记，解题思路如下：首先回忆一元二次方程的核心定义：只含1个未知数、未知数最高次数为2的整式方程，为了方便研究，这类方程会统一整理为左边按未知数降幂排列、右边为0的形式，也就是一般形式，这里要特别注意：二次项系数不能为0，否则方程最高次数不足2，就不属于一元二次方程了。再根据项、系数的定义区分各部分：含未知数二次幂的项是二次项，其数字因数为二次项系数；含未知数一次幂的项是一次项，其数字因数为一次项系数；不含未知数的项就是常数项，据此逐一对应填空即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，其一般形式为$\boldsymbol{ax^{2}+bx+c=0(a≠0)}$，其中$a≠0$是必要前提，若$a=0$，方程不含二次项，不属于一元二次方程。
按项的属性逐一区分：
1. 含有未知数二次幂的项为$ax^2$，即二次项，它的数字因数$a$为二次项系数；
2. 含有未知数一次幂的项为$bx$，即一次项，它的数字因数$b$为一次项系数；
3. 不含未知数的项为$c$，即常数项。
【答案】
$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$；$ax^{2}$；$a$；$bx$；$b$；$c$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，核心需要牢记一元二次方程一般形式中二次项系数不为0的隐含条件，准确区分各部分的名称，是学习一元二次方程后续求解、性质研究等内容的基础。
【难度系数】
0.9
•练习2 一元二次方程$x^2 +5x -1=0$的二次项系数、一次项系数与常数项分别是(
A.1,5,1
B.0,5,−1
C.1,5,−1
D.0,5,1
C
).A.1,5,1
B.0,5,−1
C.1,5,−1
D.0,5,1
答案
练习2 C
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意确定系数时需要连同项前面的符号一起判断。接下来将题目给出的方程和一般形式对照，分别提取对应项的系数即可匹配正确选项。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中：
1. 含$x^2$的项为二次项，系数为$a$；
2. 含$x$的项为一次项，系数为$b$；
3. 不含未知数的项为常数项$c$。
将方程$x^2 +5x -1=0$与标准形式对照：
二次项为$x^2$，系数是1；
一次项为$5x$，系数是5；
常数项为$-1$。
因此三项系数依次为1、5、-1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略常数项前的负号，只要牢记判断各项系数时要连同项的符号一起提取，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，$a\ne0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，注意确定系数时需要连同项前面的符号一起判断。接下来将题目给出的方程和一般形式对照，分别提取对应项的系数即可匹配正确选项。
【解析】
一元二次方程的标准形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其中：
1. 含$x^2$的项为二次项，系数为$a$；
2. 含$x$的项为一次项，系数为$b$；
3. 不含未知数的项为常数项$c$。
将方程$x^2 +5x -1=0$与标准形式对照：
二次项为$x^2$，系数是1；
一次项为$5x$，系数是5；
常数项为$-1$。
因此三项系数依次为1、5、-1，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略常数项前的负号，只要牢记判断各项系数时要连同项的符号一起提取，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
知识点三 一元二次方程的根
3.使一元二次方程左右两边相等的的的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
·练习3 已知a是方程$x^2 + 4x + 1 = 0$的一个根，则$\frac{2028a}{a^2 + 1}$的值为。
方法点拨 已知一元二次方程的根求代数式的值时，可将根代入方程，得到关于根的等式，再通过整体代换的方式，把代数式中的部分式子用等式变形后的整体替换，避免直接求根的复杂计算。
3.使一元二次方程左右两边相等的的的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。
·练习3 已知a是方程$x^2 + 4x + 1 = 0$的一个根，则$\frac{2028a}{a^2 + 1}$的值为。
方法点拨 已知一元二次方程的根求代数式的值时，可将根代入方程，得到关于根的等式，再通过整体代换的方式，把代数式中的部分式子用等式变形后的整体替换，避免直接求根的复杂计算。
答案
3. 未知数 练习3 -507
解析
【分析】
第3题考查一元二次方程根的基础定义，直接结合教材定义内容填写即可。练习3的解题思路：①根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a的等式；②对等式进行移项变形，得到待求式中$a^2+1$的等价表达式；③将等价表达式整体代入待求代数式，约分后即可算出结果，无需直接求解a的值，简化计算过程。
【解析】
3. 根据一元二次方程解（根）的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，故此处填未知数。
练习3：
已知a是方程$x^2 + 4x + 1 = 0$的根，将$x=a$代入方程可得：
$a^2 + 4a + 1 = 0$
移项得：$a^2 + 1 = -4a$
由原方程可知$a≠0$（若$a=0$，代入方程左边为1，不等于右边0，矛盾），因此可将$a^2 + 1 = -4a$代入待求式：
$\frac{2028a}{a^2 + 1}=\frac{2028a}{-4a}=-\frac{2028}{4}=-507$
【答案】
3. 未知数；练习3：-507
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，利用整体代入的方法可避免求解一元二次方程的繁琐计算，是这类代数式求值题型的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
第3题考查一元二次方程根的基础定义，直接结合教材定义内容填写即可。练习3的解题思路：①根据一元二次方程根的定义，将根a代入原方程，得到关于a的等式；②对等式进行移项变形，得到待求式中$a^2+1$的等价表达式；③将等价表达式整体代入待求代数式，约分后即可算出结果，无需直接求解a的值，简化计算过程。
【解析】
3. 根据一元二次方程解（根）的定义，使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，故此处填未知数。
练习3：
已知a是方程$x^2 + 4x + 1 = 0$的根，将$x=a$代入方程可得：
$a^2 + 4a + 1 = 0$
移项得：$a^2 + 1 = -4a$
由原方程可知$a≠0$（若$a=0$，代入方程左边为1，不等于右边0，矛盾），因此可将$a^2 + 1 = -4a$代入待求式：
$\frac{2028a}{a^2 + 1}=\frac{2028a}{-4a}=-\frac{2028}{4}=-507$
【答案】
3. 未知数；练习3：-507
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，利用整体代入的方法可避免求解一元二次方程的繁琐计算，是这类代数式求值题型的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
•练习4（教材P4习题T4变式）《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架.《九章算术》中记载了这样一个问题:今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈,问户高、广各几何?其大意为:有一形状是矩形的门,它的高比宽多6尺8寸,它的对角线长1丈,问它的高与宽各是多少?利用方程思想,设矩形门宽是x尺,则依题意所列方程为(1丈=10尺,1尺=10寸)(
A.$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
B.$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$
C.$x(x + 6.8) = 10^2$
D.$x(x - 6.8) = 10^2$
A
).A.$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
B.$x^2 + (x - 6.8)^2 = 10^2$
C.$x(x + 6.8) = 10^2$
D.$x(x - 6.8) = 10^2$
答案
练习4 A
解析
【分析】
解题时首先要先统一单位，再结合矩形的性质确定等量关系：①矩形的内角为直角，因此宽、高、对角线可构成直角三角形，满足勾股定理；②已知高比宽多6尺8寸，设宽为x尺即可表示出高的长度；最后根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
设矩形门宽是x尺，由“高比宽多6尺8寸”可得，门的高为$(x + 6.8)$尺。
矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，其中宽和高为直角边，对角线为斜边，根据勾股定理可列方程：
$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；列一元二次方程；矩形的性质
【点评】
本题以传统数学著作中的问题为载体，考查实际问题列方程的能力，解题核心是将实际场景转化为几何模型，找准等量关系，注意计算前先统一单位避免出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要先统一单位，再结合矩形的性质确定等量关系：①矩形的内角为直角，因此宽、高、对角线可构成直角三角形，满足勾股定理；②已知高比宽多6尺8寸，设宽为x尺即可表示出高的长度；最后根据勾股定理“两直角边的平方和等于斜边的平方”即可列出方程。
【解析】
首先进行单位换算：6尺8寸=6.8尺，1丈=10尺。
设矩形门宽是x尺，由“高比宽多6尺8寸”可得，门的高为$(x + 6.8)$尺。
矩形的宽、高与对角线构成直角三角形，其中宽和高为直角边，对角线为斜边，根据勾股定理可列方程：
$x^2 + (x + 6.8)^2 = 10^2$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理；列一元二次方程；矩形的性质
【点评】
本题以传统数学著作中的问题为载体，考查实际问题列方程的能力，解题核心是将实际场景转化为几何模型，找准等量关系，注意计算前先统一单位避免出错。
【难度系数】
0.8
