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11. 新情境·数学文化（2026江苏徐州市第三中学期中）对联（阴影部分）的一种装裱形式如图1所示，上、下空白部分分别称为天头、地头，左、右空白部分统称为边。如图2，一副对联中的上联长为$m$ cm，宽为$n$ cm。上联装裱后，天头长是对联长的$\frac{1}{4}$，地头长是天头长的$\frac{2}{3}$，左、右的边宽相等且是天头长的$\frac{1}{3}$。
(1)上联装裱后的天头长为
(2)求上联装裱后的周长；(用含$m,n$的代数式表示)
(3)若$m=120$，$n=25$，求上联装裱后的面积。
(1)上联装裱后的天头长为
$\frac{1}{4}m$ cm
，地头长为$\frac{1}{6}m$ cm
，边宽为$\frac{1}{12}m$ cm
；(用含$m$的代数式表示)(2)求上联装裱后的周长；(用含$m,n$的代数式表示)
(3)若$m=120$，$n=25$，求上联装裱后的面积。
答案
11. 解:(1)$\frac{1}{4}m$ cm;$\frac{1}{6}m$ cm;$\frac{1}{12}m$ cm
(2) 上联装裱后的长为$m+\frac{1}{4}m+\frac{1}{6}m=\frac{17}{12}m$,装裱后的宽为$n+\frac{1}{12}m+\frac{1}{12}m=n+\frac{1}{6}m$.
$2(\frac{17}{12}m+n+\frac{1}{6}m)=\frac{19}{6}m+2n$.
所以上联装裱后的周长为$(\frac{19}{6}m+2n)$cm.
(3) 由(2)可知,当$m=120,n=25$时,$\frac{17}{12}m(n+\frac{1}{6}m)=\frac{17}{12}×120×(25+\frac{1}{6}×120)=7650$.
故上联装裱后的面积为7650 $cm^2$.
(2) 上联装裱后的长为$m+\frac{1}{4}m+\frac{1}{6}m=\frac{17}{12}m$,装裱后的宽为$n+\frac{1}{12}m+\frac{1}{12}m=n+\frac{1}{6}m$.
$2(\frac{17}{12}m+n+\frac{1}{6}m)=\frac{19}{6}m+2n$.
所以上联装裱后的周长为$(\frac{19}{6}m+2n)$cm.
(3) 由(2)可知,当$m=120,n=25$时,$\frac{17}{12}m(n+\frac{1}{6}m)=\frac{17}{12}×120×(25+\frac{1}{6}×120)=7650$.
故上联装裱后的面积为7650 $cm^2$.
解析
【分析】
(1) 第一问直接根据题目给出的比例关系计算：天头长是对联长$m$的$\frac{1}{4}$，直接相乘即可；地头长是天头长的$\frac{2}{3}$，用天头长乘$\frac{2}{3}$计算；边宽是天头长的$\frac{1}{3}$，用天头长乘$\frac{1}{3}$计算。
(2) 第二问求周长首先要先确定装裱后的长和宽：装裱后的长=原对联长+天头长+地头长，装裱后的宽=原对联宽+左边宽+右边宽，再根据长方形周长公式$周长=2×(长+宽)$代入化简即可。
(3) 第三问求面积，用第二问得到的装裱后的长和宽，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，把$m=120,n=25$代入计算即可。
【解析】
(1) 由题意得：
天头长 = $\frac{1}{4}×m=\frac{1}{4}m$ cm；
地头长 = $\frac{2}{3}×\frac{1}{4}m=\frac{1}{6}m$ cm；
边宽 = $\frac{1}{3}×\frac{1}{4}m=\frac{1}{12}m$ cm。
(2) 先计算装裱后的长和宽：
装裱后的长 = 原对联长 + 天头长 + 地头长 = $m+\frac{1}{4}m+\frac{1}{6}m=\frac{12m+3m+2m}{12}=\frac{17}{12}m$ cm；
装裱后的宽 = 原对联宽 + 左边宽 + 右边宽 = $n+\frac{1}{12}m+\frac{1}{12}m=n+\frac{1}{6}m$ cm；
根据长方形周长公式：
周长 = $2×(\frac{17}{12}m + n + \frac{1}{6}m) = 2×(\frac{19}{12}m + n) = \frac{19}{6}m + 2n$ cm。
(3) 装裱后的面积 = 装裱后的长 × 装裱后的宽 = $\frac{17}{12}m · (n+\frac{1}{6}m)$，
代入$m=120,n=25$：
原式 = $\frac{17}{12}×120×(25+\frac{1}{6}×120)$
= $170×(25+20)$
= $170×45$
= $7650$ cm²。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}m$ cm；$\frac{1}{6}m$ cm；$\frac{1}{12}m$ cm
(2) $(\frac{19}{6}m+2n)$ cm
(3) $7650$ cm²
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合传统对联装裱的生活场景，考查代数式的实际应用，解题的核心是准确梳理装裱前后各部分长度的数量关系，正确列出代数式并化简，代入数值计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问直接根据题目给出的比例关系计算：天头长是对联长$m$的$\frac{1}{4}$，直接相乘即可；地头长是天头长的$\frac{2}{3}$，用天头长乘$\frac{2}{3}$计算；边宽是天头长的$\frac{1}{3}$，用天头长乘$\frac{1}{3}$计算。
(2) 第二问求周长首先要先确定装裱后的长和宽：装裱后的长=原对联长+天头长+地头长，装裱后的宽=原对联宽+左边宽+右边宽，再根据长方形周长公式$周长=2×(长+宽)$代入化简即可。
(3) 第三问求面积，用第二问得到的装裱后的长和宽，根据长方形面积公式$面积=长×宽$，把$m=120,n=25$代入计算即可。
【解析】
(1) 由题意得：
天头长 = $\frac{1}{4}×m=\frac{1}{4}m$ cm；
地头长 = $\frac{2}{3}×\frac{1}{4}m=\frac{1}{6}m$ cm；
边宽 = $\frac{1}{3}×\frac{1}{4}m=\frac{1}{12}m$ cm。
(2) 先计算装裱后的长和宽：
装裱后的长 = 原对联长 + 天头长 + 地头长 = $m+\frac{1}{4}m+\frac{1}{6}m=\frac{12m+3m+2m}{12}=\frac{17}{12}m$ cm；
装裱后的宽 = 原对联宽 + 左边宽 + 右边宽 = $n+\frac{1}{12}m+\frac{1}{12}m=n+\frac{1}{6}m$ cm；
根据长方形周长公式：
周长 = $2×(\frac{17}{12}m + n + \frac{1}{6}m) = 2×(\frac{19}{12}m + n) = \frac{19}{6}m + 2n$ cm。
(3) 装裱后的面积 = 装裱后的长 × 装裱后的宽 = $\frac{17}{12}m · (n+\frac{1}{6}m)$，
代入$m=120,n=25$：
原式 = $\frac{17}{12}×120×(25+\frac{1}{6}×120)$
= $170×(25+20)$
= $170×45$
= $7650$ cm²。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}m$ cm；$\frac{1}{6}m$ cm；$\frac{1}{12}m$ cm
(2) $(\frac{19}{6}m+2n)$ cm
(3) $7650$ cm²
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合传统对联装裱的生活场景，考查代数式的实际应用，解题的核心是准确梳理装裱前后各部分长度的数量关系，正确列出代数式并化简，代入数值计算时注意运算顺序即可。
【难度系数】
0.8
12.（2025 四川绵阳中考）观察下列单项式：$-xy, x^2y^3, -x^3y^5, x^4y^7, \dots$，探究发现其中规律，则从左往右第15个单项式是（
A.$-x^{15}y^{27}$
B.$-x^{15}y^{29}$
C.$x^{13}y^{27}$
D.$x^{13}y^{29}$
B
）A.$-x^{15}y^{27}$
B.$-x^{15}y^{29}$
C.$x^{13}y^{27}$
D.$x^{13}y^{29}$
答案
12. B 解析 观察可得,从左往右第 n 个单项式是$(-1)^nx^ny^{2n-1}$,所以第 15 个单项式是$-x^{15}y^{29}$. 故选 B.
解析
【分析】
遇到单项式规律探究题，可将单项式拆分为符号、x的项、y的项三个独立部分分别找规律：①先看符号：第1个为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，即奇数项为负、偶数项为正；②再看x的次数：第1个x的次数是1，第2个是2，第3个是3，第4个是4，和序号一致；③最后看y的次数：第1个y的次数是1，第2个是3，第3个是5，第4个是7，是连续的奇数，和序号的关系为“2倍序号减1”。整合三部分规律得到第n个单项式的通式，代入n=15即可求出第15个单项式。
【解析】
我们分三部分推导第n个单项式的规律：
1. 符号部分：第n个单项式的符号满足“奇数项为负，偶数项为正”，可表示为$(-1)^n$；
2. x的部分：第n个单项式中x的次数等于序号n，可表示为$x^n$；
3. y的部分：第n个单项式中y的次数为$2n-1$（验证：n=1时，$2×1-1=1$；n=2时，$2×2-1=3$，符合已知项），可表示为$y^{2n-1}$。
综上，第n个单项式为$(-1)^n x^n y^{2n-1}$。
当n=15时，代入得：
$(-1)^{15}x^{15}y^{2×15-1}=-x^{15}y^{29}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式规律探究；单项式的系数与次数
【点评】
本题是整式规律探究类的典型考题，解题核心是将复杂的单项式拆分为多个简单部分分别分析规律，再整合得到通用表达式，侧重考察学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
遇到单项式规律探究题，可将单项式拆分为符号、x的项、y的项三个独立部分分别找规律：①先看符号：第1个为负，第2个为正，第3个为负，第4个为正，即奇数项为负、偶数项为正；②再看x的次数：第1个x的次数是1，第2个是2，第3个是3，第4个是4，和序号一致；③最后看y的次数：第1个y的次数是1，第2个是3，第3个是5，第4个是7，是连续的奇数，和序号的关系为“2倍序号减1”。整合三部分规律得到第n个单项式的通式，代入n=15即可求出第15个单项式。
【解析】
我们分三部分推导第n个单项式的规律：
1. 符号部分：第n个单项式的符号满足“奇数项为负，偶数项为正”，可表示为$(-1)^n$；
2. x的部分：第n个单项式中x的次数等于序号n，可表示为$x^n$；
3. y的部分：第n个单项式中y的次数为$2n-1$（验证：n=1时，$2×1-1=1$；n=2时，$2×2-1=3$，符合已知项），可表示为$y^{2n-1}$。
综上，第n个单项式为$(-1)^n x^n y^{2n-1}$。
当n=15时，代入得：
$(-1)^{15}x^{15}y^{2×15-1}=-x^{15}y^{29}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
单项式规律探究；单项式的系数与次数
【点评】
本题是整式规律探究类的典型考题，解题核心是将复杂的单项式拆分为多个简单部分分别分析规律，再整合得到通用表达式，侧重考察学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
13.(2025天津中考)计算$3x - x -5x$的结果为
$-3x$
答案
13. $-3x$
解析
【分析】
这道题考查整式加减中的合并同类项运算，解题思路如下：首先观察式子中的各项，3x、-x、-5x都含有相同的字母x，且x的次数都是1，属于同类项；再根据合并同类项的法则：合并同类项时，只把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，只需将三个项的系数相加减，最后乘x即可得到结果。
【解析】
解：原式中的3x、-x、-5x是同类项，根据合并同类项法则计算：
$3x - x - 5x$
$=(3 - 1 - 5)x$
$=-3x$
【答案】
$-3x$
【知识点】
1. 同类项
2. 合并同类项法则
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查合并同类项的运算规则，计算时需注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
这道题考查整式加减中的合并同类项运算，解题思路如下：首先观察式子中的各项，3x、-x、-5x都含有相同的字母x，且x的次数都是1，属于同类项；再根据合并同类项的法则：合并同类项时，只把同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，只需将三个项的系数相加减，最后乘x即可得到结果。
【解析】
解：原式中的3x、-x、-5x是同类项，根据合并同类项法则计算：
$3x - x - 5x$
$=(3 - 1 - 5)x$
$=-3x$
【答案】
$-3x$
【知识点】
1. 同类项
2. 合并同类项法则
【点评】
本题属于基础运算类题型，核心考查合并同类项的运算规则，计算时需注意各项的符号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9
14. 新趋势·结论开放（2025江苏无锡中考）请写出单项式$a^2b$的一个同类项：
$11a^2b$(答案不唯一)
。答案
14. $11a^2b$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先回忆同类项的判定规则：判定两个单项式是同类项需要同时满足两个条件，一是所含的字母完全相同，二是相同字母的指数分别对应相等，与单项式的系数无关（系数不能为0）。要写出单项式$a^2b$的同类项，只需保留字母部分$a^2b$不变，给它配一个任意非零的系数即可，符合要求的结果有无数个。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
对于单项式$a^2b$，我们只要保持字母部分为$a^2b$，选取任意非零常数作为系数，得到的单项式都是它的同类项，例如我们选取系数为11，即可得到同类项$11a^2b$，此外如$2a^2b$、$-3a^2b$等也均符合要求。
【答案】
$11a^2b$(答案不唯一)
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题是结论开放型基础题，核心考查对同类项概念的掌握，只要牢记同类项的两个判定条件，就能快速写出符合要求的答案，解题时注意不要改变字母及对应字母的指数。
【难度系数】
0.9
首先回忆同类项的判定规则：判定两个单项式是同类项需要同时满足两个条件，一是所含的字母完全相同，二是相同字母的指数分别对应相等，与单项式的系数无关（系数不能为0）。要写出单项式$a^2b$的同类项，只需保留字母部分$a^2b$不变，给它配一个任意非零的系数即可，符合要求的结果有无数个。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项。
对于单项式$a^2b$，我们只要保持字母部分为$a^2b$，选取任意非零常数作为系数，得到的单项式都是它的同类项，例如我们选取系数为11，即可得到同类项$11a^2b$，此外如$2a^2b$、$-3a^2b$等也均符合要求。
【答案】
$11a^2b$(答案不唯一)
【知识点】
同类项的定义
【点评】
本题是结论开放型基础题，核心考查对同类项概念的掌握，只要牢记同类项的两个判定条件，就能快速写出符合要求的答案，解题时注意不要改变字母及对应字母的指数。
【难度系数】
0.9
15. 新趋势·定义新概念 (2025宁夏回族自治区中考)定义:若一个三位数的十位上的数字减去个位上的数字的差恰好等于百位上的数字,则这个三位数叫作“极差数”.例如,三位数231,因为$3-1=2$,所以它是极差数.
【理解定义】
三位数265
【建模推理】
(1)若一个极差数的百位、十位、个位上的数字分别为$a,b,c$,则$a$与$b,c$的关系式为
(2)任意一个极差数都能被11整除吗?为什么?
【理解定义】
三位数265
不是
极差数.(填“是”或“不是”)【建模推理】
(1)若一个极差数的百位、十位、个位上的数字分别为$a,b,c$,则$a$与$b,c$的关系式为
$b-c=a$
.(2)任意一个极差数都能被11整除吗?为什么?
答案
15. 解:【理解定义】不是
【建模推理】(1)$b-c=a$
(2)任意一个极差数都能被 11 整除.理由如下:
设一个极差数为$\overline{def}$($d,e,f$均为小于 10 的自然数,且$d,e$均不为 0),
所以$e-f=d$.
所以$e=d+f$.
所以$\overline{def}=100d+10e+f=100d+10(d+f)+f=100d+10d+10f+f=110d+11f=11(10d+f)$.
因为$d,e,f$均为小于 10 的自然数,且$d,e$均不为 0,
所以$10d+f$为正整数.
所以$11(10d+f)$能被 11 整除.
因此任意一个极差数都能被 11 整除.
【建模推理】(1)$b-c=a$
(2)任意一个极差数都能被 11 整除.理由如下:
设一个极差数为$\overline{def}$($d,e,f$均为小于 10 的自然数,且$d,e$均不为 0),
所以$e-f=d$.
所以$e=d+f$.
所以$\overline{def}=100d+10e+f=100d+10(d+f)+f=100d+10d+10f+f=110d+11f=11(10d+f)$.
因为$d,e,f$均为小于 10 的自然数,且$d,e$均不为 0,
所以$10d+f$为正整数.
所以$11(10d+f)$能被 11 整除.
因此任意一个极差数都能被 11 整除.
解析
【分析】
首先明确“极差数”的核心定义：三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字。①判断265是否为极差数：先提取265的十位数字6、个位数字5，计算两者的差为1，对比百位数字2，发现不相等，即可得出结论；②(1)直接对应定义，将百位、十位、个位的字母代入定义描述，直接写出关系式即可；③(2)要判断数是否能被11整除，首先掌握三位数的代数式表示方法：百位数字×100+十位数字×10+个位数字，再结合极差数的定义把十位数字用百位、个位数字替换，对整式进行化简，若化简结果含有因数11，即可证明能被11整除。
【解析】
【理解定义】
三位数265的十位数字是6，个位数字是5，计算十位减个位的差：$6-5=1$，而265的百位数字是2，$1≠2$，不符合极差数的定义，因此265不是极差数。
【建模推理】
(1)根据“极差数”的定义：十位数字减个位数字的差等于百位数字，已知百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$，因此可得关系式：$a = b - c$。
(2)任意一个极差数都能被11整除，理由如下：
设这个极差数的百位数字为$d$，十位数字为$e$，个位数字为$f$（$d,e,f$均为小于10的自然数，且$d≠0,e≠0$），
根据极差数的定义可得：$e - f = d$，即$e = d + f$，
这个三位数可表示为：$\overline{def}=100d + 10e + f$，
将$e = d + f$代入上式得：
$\overline{def}=100d + 10(d + f) + f = 100d + 10d + 10f + f = 110d + 11f = 11(10d + f)$，
因为$d$、$f$都是自然数，且$d≠0$，所以$10d + f$是正整数，
因此$11(10d + f)$是11的倍数，即任意一个极差数都能被11整除。
【答案】
【理解定义】不是
【建模推理】(1)$a=b-c$；(2)任意一个极差数都能被11整除，理由见解析。
【知识点】
新定义问题，三位数的表示，整式化简
【点评】
本题以新定义“极差数”为背景，考查了整式加减的应用和数的整除性判断，解题关键是准确理解新定义的规则，正确用代数式表示多位数后代入化简，侧重考查学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
首先明确“极差数”的核心定义：三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字。①判断265是否为极差数：先提取265的十位数字6、个位数字5，计算两者的差为1，对比百位数字2，发现不相等，即可得出结论；②(1)直接对应定义，将百位、十位、个位的字母代入定义描述，直接写出关系式即可；③(2)要判断数是否能被11整除，首先掌握三位数的代数式表示方法：百位数字×100+十位数字×10+个位数字，再结合极差数的定义把十位数字用百位、个位数字替换，对整式进行化简，若化简结果含有因数11，即可证明能被11整除。
【解析】
【理解定义】
三位数265的十位数字是6，个位数字是5，计算十位减个位的差：$6-5=1$，而265的百位数字是2，$1≠2$，不符合极差数的定义，因此265不是极差数。
【建模推理】
(1)根据“极差数”的定义：十位数字减个位数字的差等于百位数字，已知百位、十位、个位数字分别为$a,b,c$，因此可得关系式：$a = b - c$。
(2)任意一个极差数都能被11整除，理由如下：
设这个极差数的百位数字为$d$，十位数字为$e$，个位数字为$f$（$d,e,f$均为小于10的自然数，且$d≠0,e≠0$），
根据极差数的定义可得：$e - f = d$，即$e = d + f$，
这个三位数可表示为：$\overline{def}=100d + 10e + f$，
将$e = d + f$代入上式得：
$\overline{def}=100d + 10(d + f) + f = 100d + 10d + 10f + f = 110d + 11f = 11(10d + f)$，
因为$d$、$f$都是自然数，且$d≠0$，所以$10d + f$是正整数，
因此$11(10d + f)$是11的倍数，即任意一个极差数都能被11整除。
【答案】
【理解定义】不是
【建模推理】(1)$a=b-c$；(2)任意一个极差数都能被11整除，理由见解析。
【知识点】
新定义问题，三位数的表示，整式化简
【点评】
本题以新定义“极差数”为背景，考查了整式加减的应用和数的整除性判断，解题关键是准确理解新定义的规则，正确用代数式表示多位数后代入化简，侧重考查学生的阅读理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.75
