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8.在$△ ABC$中，$D$为边$AC$上一点，$P$为边$AB$上一点，$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，当$AP$的长度为
4或9
时，$△ ADP$和$△ ABC$相似。答案
8. 4或9
解析
【分析】
本题中△ADP和△ABC有公共角∠A，因未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论相似的对应关系：①△ADP∽△ACB，②△ADP∽△ABC。结合相似三角形“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，代入已知边长计算AP的长度，最后验证结果是否符合线段的实际长度范围即可。
【解析】
解：
∵∠A是△ADP和△ABC的公共角，要使两个三角形相似，分两种情况讨论：
1. 当$△ ADP ∽ △ ACB$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AP}{AB}$
代入$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，得：
$\frac{6}{8}=\frac{AP}{12}$
解得$AP=\frac{6×12}{8}=9$，$9＜12$，符合题意。
2. 当$△ ADP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AP}{AC}$
代入已知数值得：
$\frac{6}{12}=\frac{AP}{8}$
解得$AP=\frac{6×8}{12}=4$，$4＜12$，符合题意。
综上，AP的长度为4或9。
【答案】
4或9
【知识点】
相似三角形的判定；分类讨论思想；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的典型易错题，核心考查对应关系不确定时的分类讨论思维，解题时要注意对计算结果做合理性验证，避免漏解或得出不符合实际的边长。
【难度系数】
0.6
本题中△ADP和△ABC有公共角∠A，因未明确两个三角形的对应顶点，需分两种情况讨论相似的对应关系：①△ADP∽△ACB，②△ADP∽△ABC。结合相似三角形“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理，代入已知边长计算AP的长度，最后验证结果是否符合线段的实际长度范围即可。
【解析】
解：
∵∠A是△ADP和△ABC的公共角，要使两个三角形相似，分两种情况讨论：
1. 当$△ ADP ∽ △ ACB$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AP}{AB}$
代入$AB=12$，$AC=8$，$AD=6$，得：
$\frac{6}{8}=\frac{AP}{12}$
解得$AP=\frac{6×12}{8}=9$，$9＜12$，符合题意。
2. 当$△ ADP ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{AD}{AB}=\frac{AP}{AC}$
代入已知数值得：
$\frac{6}{12}=\frac{AP}{8}$
解得$AP=\frac{6×8}{12}=4$，$4＜12$，符合题意。
综上，AP的长度为4或9。
【答案】
4或9
【知识点】
相似三角形的判定；分类讨论思想；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的典型易错题，核心考查对应关系不确定时的分类讨论思维，解题时要注意对计算结果做合理性验证，避免漏解或得出不符合实际的边长。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在矩形ABCO中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D，则点B'的坐标为
$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$
。答案
9.$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步先根据矩形边长确定已知点坐标，利用折叠的等角性质结合矩形对边平行的内错角相等，推出AD=CD的等腰三角形关系；第二步在直角三角形AOD中用勾股定理求出y轴上点D的坐标，进而得到直线AB'的解析式；第三步结合折叠后CB'=BC的长度关系，设B'坐标列方程求解即可得到结果。
【解析】
1. 确定矩形各顶点坐标：
∵矩形ABCO中，OA=2，AB=5，
∴A(-2,0)，C(0,5)，原B点坐标为(-2,5)，BC=OA=2。
2. 利用折叠性质推导等腰三角形：
△ABC沿AC对折得到△AB'C，
∴∠BAC=∠B'AC，CB'=CB=2。
∵AB//OC，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠B'AC=∠DCA，
∴AD=CD。
3. 求D点坐标：
设D(0,d)，则CD=5-d，AD=√[(-2-0)²+(0-d)²]=√(4+d²)，
由AD=CD得：√(4+d²)=5-d，
两边平方得4+d²=25-10d+d²，解得d=21/10，即D(0,21/10)。
4. 求直线AB'的解析式：
设直线AB'解析式为y=kx+b，代入A(-2,0)、D(0,21/10)：
$\begin{cases}0=-2k+b\\b=\frac{21}{10}\end{cases}$，解得k=$\frac{21}{20}$，
∴直线AB'解析式为$y=\frac{21}{20}x+\frac{21}{10}$。
5. 求解B'坐标：
设B'(x,y)，由CB'=2得$x^2+(y-5)^2=4$，
将$y=\frac{21}{20}x+\frac{21}{10}$代入上式，化简整理得$(29x-42)^2=0$，解得$x=\frac{42}{29}$，
将$x=\frac{42}{29}$代入直线解析式得$y=\frac{105}{29}$。
【答案】
$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一次函数的应用
【点评】
本题是坐标与几何折叠结合的典型题型，综合考查了矩形性质、等腰三角形判定、一次函数解析式求解等内容，解题的核心是通过折叠的等角性质找到等腰三角形求出交点D的坐标，再结合线段长度关系列方程求解。
【难度系数】
0.4
解题思路可分为三步：第一步先根据矩形边长确定已知点坐标，利用折叠的等角性质结合矩形对边平行的内错角相等，推出AD=CD的等腰三角形关系；第二步在直角三角形AOD中用勾股定理求出y轴上点D的坐标，进而得到直线AB'的解析式；第三步结合折叠后CB'=BC的长度关系，设B'坐标列方程求解即可得到结果。
【解析】
1. 确定矩形各顶点坐标：
∵矩形ABCO中，OA=2，AB=5，
∴A(-2,0)，C(0,5)，原B点坐标为(-2,5)，BC=OA=2。
2. 利用折叠性质推导等腰三角形：
△ABC沿AC对折得到△AB'C，
∴∠BAC=∠B'AC，CB'=CB=2。
∵AB//OC，
∴∠BAC=∠DCA，
∴∠B'AC=∠DCA，
∴AD=CD。
3. 求D点坐标：
设D(0,d)，则CD=5-d，AD=√[(-2-0)²+(0-d)²]=√(4+d²)，
由AD=CD得：√(4+d²)=5-d，
两边平方得4+d²=25-10d+d²，解得d=21/10，即D(0,21/10)。
4. 求直线AB'的解析式：
设直线AB'解析式为y=kx+b，代入A(-2,0)、D(0,21/10)：
$\begin{cases}0=-2k+b\\b=\frac{21}{10}\end{cases}$，解得k=$\frac{21}{20}$，
∴直线AB'解析式为$y=\frac{21}{20}x+\frac{21}{10}$。
5. 求解B'坐标：
设B'(x,y)，由CB'=2得$x^2+(y-5)^2=4$，
将$y=\frac{21}{20}x+\frac{21}{10}$代入上式，化简整理得$(29x-42)^2=0$，解得$x=\frac{42}{29}$，
将$x=\frac{42}{29}$代入直线解析式得$y=\frac{105}{29}$。
【答案】
$(\frac{42}{29},\frac{105}{29})$
【知识点】
折叠的性质；勾股定理；一次函数的应用
【点评】
本题是坐标与几何折叠结合的典型题型，综合考查了矩形性质、等腰三角形判定、一次函数解析式求解等内容，解题的核心是通过折叠的等角性质找到等腰三角形求出交点D的坐标，再结合线段长度关系列方程求解。
【难度系数】
0.4
10.如图，在$△ ABC$中，D，E分别是AB，AC上的点，DC交BE于点F，且$AD=\frac{1}{3}AB$，$AE=\frac{1}{2}EC$。
求证：(1)$△ DEF ∽ △ CBF$；
(2)$DF · BF = EF · CF$。
求证：(1)$△ DEF ∽ △ CBF$；
(2)$DF · BF = EF · CF$。
答案
10. 证明:(1)$\because AE=\frac{1}{2}EC,\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又$\because AD=\frac{1}{3}AB, \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC,\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，
$\therefore DE// BC$，
$\therefore ∠ EDF=∠ FCB,∠ DEF=∠ FBC$，
$\therefore △ DEF ∽ △ CBF$。
(2)$\because$ 由(1)知$△ DEF ∽ △ CBF,\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
$\therefore DF · BF=EF · CF$。
又$\because AD=\frac{1}{3}AB, \therefore \frac{AD}{AB}=\frac{1}{3},\therefore \frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
又$\because ∠ A=∠ A$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC,\therefore ∠ ADE=∠ ABC$，
$\therefore DE// BC$，
$\therefore ∠ EDF=∠ FCB,∠ DEF=∠ FBC$，
$\therefore △ DEF ∽ △ CBF$。
(2)$\because$ 由(1)知$△ DEF ∽ △ CBF,\therefore \frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
$\therefore DF · BF=EF · CF$。
解析
【分析】
要证明△DEF∽△CBF，可先通过已知的线段比例关系推导DE与BC平行，得到两组对应角相等即可完成相似证明。首先由AD=1/3AB、AE=1/2EC可推出△ADE与△ABC的两边对应成比例且公共角∠A相等，先证△ADE∽△ABC，得到同位角相等从而推出DE//BC；再由平行线的内错角相等得到△DEF和△CBF的两组对应角相等，即可证得两三角形相似。第二问可直接利用第一问得到的相似结论，根据相似三角形对应边成比例，将比例式交叉相乘即可得到待证的乘积等式。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE=\frac{1}{2}EC$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又
∵ $AD=\frac{1}{3}AB$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $∠ ADE=∠ ABC$，
∴ $DE// BC$，
∴ $∠ EDF=∠ FCB$，$∠ DEF=∠ FBC$，
∴ $△ DEF ∽ △ CBF$。
(2) 证明：
由(1)知$△ DEF ∽ △ CBF$，
∴ $\frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
∴ $DF · BF=EF · CF$。
【答案】
(1) 已证$△ DEF ∽ △ CBF$；
(2) 已证$DF · BF = EF · CF$，证明过程见解析。
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似证明的基础题型，解题逻辑层层递进，先从已知线段比例入手推导平行线，再通过平行线得到对应角相等证明三角形相似，最后利用相似性质将比例式转化为乘积式，熟练掌握相似的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要证明△DEF∽△CBF，可先通过已知的线段比例关系推导DE与BC平行，得到两组对应角相等即可完成相似证明。首先由AD=1/3AB、AE=1/2EC可推出△ADE与△ABC的两边对应成比例且公共角∠A相等，先证△ADE∽△ABC，得到同位角相等从而推出DE//BC；再由平行线的内错角相等得到△DEF和△CBF的两组对应角相等，即可证得两三角形相似。第二问可直接利用第一问得到的相似结论，根据相似三角形对应边成比例，将比例式交叉相乘即可得到待证的乘积等式。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AE=\frac{1}{2}EC$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。
又
∵ $AD=\frac{1}{3}AB$，
∴ $\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
∴ $\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}$。
又
∵ $∠ A=∠ A$，
∴ $△ ADE ∽ △ ABC$，
∴ $∠ ADE=∠ ABC$，
∴ $DE// BC$，
∴ $∠ EDF=∠ FCB$，$∠ DEF=∠ FBC$，
∴ $△ DEF ∽ △ CBF$。
(2) 证明：
由(1)知$△ DEF ∽ △ CBF$，
∴ $\frac{DF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
∴ $DF · BF=EF · CF$。
【答案】
(1) 已证$△ DEF ∽ △ CBF$；
(2) 已证$DF · BF = EF · CF$，证明过程见解析。
【知识点】
相似三角形的判定，平行线的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题是相似证明的基础题型，解题逻辑层层递进，先从已知线段比例入手推导平行线，再通过平行线得到对应角相等证明三角形相似，最后利用相似性质将比例式转化为乘积式，熟练掌握相似的判定和性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
11. 在$△ ABC$中，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$。
(1)如图①，M为AB的中点，在线段AC上取点N，使$△ AMN$与$△ ABC$相似，求线段MN的长。
(2)图②是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点上的三角形为格点三角形。
①请你在所给的网格中画出格点$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$全等(画出一个即可，不需证明)；
②试直接写出在所给的网格中与$△ ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个(不需证明)。
(1)如图①，M为AB的中点，在线段AC上取点N，使$△ AMN$与$△ ABC$相似，求线段MN的长。
(2)图②是由100个边长为1的小正方形组成的10×10正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点上的三角形为格点三角形。
①请你在所给的网格中画出格点$△ A_1B_1C_1$，使得$△ A_1B_1C_1$与$△ ABC$全等(画出一个即可，不需证明)；
②试直接写出在所给的网格中与$△ ABC$相似且面积最大的格点三角形的个数，并画出其中的一个(不需证明)。
答案
11. 解:(1)当$△ AMN ∽ △ ACB$时，有$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
$\because M$为$AB$的中点，$AB=2\sqrt{5},\therefore AM=\sqrt{5}$。
$\because BC=6,AC=4\sqrt{5},\therefore MN=\frac{3}{2}$。
当$△ AMN ∽ △ ABC$时，
有$\frac{MN}{BC}=\frac{MA}{BA}=\frac{1}{2},\therefore MN=\frac{1}{2}BC=3$。
$\therefore$ 线段$MN$的长为$\frac{3}{2}$或3。
(2)①如图①。(答案不唯一)
②8个，如图②。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 题干未明确△AMN与△ABC的对应顶点，因此需要分类讨论两种相似情况：一是△AMN∽△ABC，此时MN为△ABC的中位线；二是△AMN∽△ACB，此时对应角∠AMN=∠ACB，两种情况均结合相似三角形对应边成比例的性质计算MN的长度即可。
(2) ① 要画与△ABC全等的格点三角形，先明确△ABC各边的格点线段特征：AB=2√5对应横2格、纵4格的直角三角形斜边，BC=6对应水平/竖直6格的线段，AC=4√5对应横4格、纵8格的直角三角形斜边，依据三边相等的全等判定在网格中选取符合要求的格点连线即可。
② 要找与△ABC相似且面积最大的格点三角形，首先明确△ABC三边比为√5:3:2√5，结合10×10网格的边长限制确定最大相似比对应的边长，再统计所有符合要求的三角形位置即可得到总个数，最后画出其中一个即可。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
① 当$△ AMN ∽ △ ACB$时，由相似三角形对应边成比例得$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
∵M为AB的中点，$AB=2\sqrt{5}$，
∴$AM=\sqrt{5}$。
将$AM=\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$代入比例式：$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{MN}{6}$，解得$MN=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AMN ∽ △ ABC$时，由相似三角形对应边成比例得$\frac{MN}{BC}=\frac{MA}{BA}$。
∵M为AB中点，$\frac{MA}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MN}{6}=\frac{1}{2}$，解得$MN=3$。
综上，MN的长度为$\frac{3}{2}$或3。
(2) ① 根据全等三角形三边相等的性质，在网格中选取符合边长要求的格点，连接得到$△ A_1B_1C_1$即可，答案不唯一。
② 结合网格边长限制与相似三角形三边比例特征，可统计得到符合要求的最大相似格点三角形共8个，画出其中任意一个即可。
【答案】
(1) 线段MN的长为$\frac{3}{2}$或3；
(2) ① 如图①（答案不唯一）；② 8个，如图②（答案不唯一）。
【知识点】
相似三角形的性质，全等三角形的判定，格点作图
【点评】
本题综合考查了相似、全等三角形的性质和格点作图能力，解题时要注意相似三角形未明确对应关系时需分类讨论，避免漏解；格点作图要结合线段长度特征分析，锻炼了分类讨论思想和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
(1) 题干未明确△AMN与△ABC的对应顶点，因此需要分类讨论两种相似情况：一是△AMN∽△ABC，此时MN为△ABC的中位线；二是△AMN∽△ACB，此时对应角∠AMN=∠ACB，两种情况均结合相似三角形对应边成比例的性质计算MN的长度即可。
(2) ① 要画与△ABC全等的格点三角形，先明确△ABC各边的格点线段特征：AB=2√5对应横2格、纵4格的直角三角形斜边，BC=6对应水平/竖直6格的线段，AC=4√5对应横4格、纵8格的直角三角形斜边，依据三边相等的全等判定在网格中选取符合要求的格点连线即可。
② 要找与△ABC相似且面积最大的格点三角形，首先明确△ABC三边比为√5:3:2√5，结合10×10网格的边长限制确定最大相似比对应的边长，再统计所有符合要求的三角形位置即可得到总个数，最后画出其中一个即可。
【解析】
(1) 分两种情况计算：
① 当$△ AMN ∽ △ ACB$时，由相似三角形对应边成比例得$\frac{AM}{AC}=\frac{MN}{BC}$。
∵M为AB的中点，$AB=2\sqrt{5}$，
∴$AM=\sqrt{5}$。
将$AM=\sqrt{5}$，$AC=4\sqrt{5}$，$BC=6$代入比例式：$\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{MN}{6}$，解得$MN=\frac{3}{2}$。
② 当$△ AMN ∽ △ ABC$时，由相似三角形对应边成比例得$\frac{MN}{BC}=\frac{MA}{BA}$。
∵M为AB中点，$\frac{MA}{BA}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MN}{6}=\frac{1}{2}$，解得$MN=3$。
综上，MN的长度为$\frac{3}{2}$或3。
(2) ① 根据全等三角形三边相等的性质，在网格中选取符合边长要求的格点，连接得到$△ A_1B_1C_1$即可，答案不唯一。
② 结合网格边长限制与相似三角形三边比例特征，可统计得到符合要求的最大相似格点三角形共8个，画出其中任意一个即可。
【答案】
(1) 线段MN的长为$\frac{3}{2}$或3；
(2) ① 如图①（答案不唯一）；② 8个，如图②（答案不唯一）。
【知识点】
相似三角形的性质，全等三角形的判定，格点作图
【点评】
本题综合考查了相似、全等三角形的性质和格点作图能力，解题时要注意相似三角形未明确对应关系时需分类讨论，避免漏解；格点作图要结合线段长度特征分析，锻炼了分类讨论思想和动手操作能力。
【难度系数】
0.6
