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7. 当棱长为20 cm的正方体的某个面平行于投影面时，这个正方体的正投影的面积为（
A.20 cm²
B.300 cm²
C.400 cm²
D.600 cm²
C
）。A.20 cm²
B.300 cm²
C.400 cm²
D.600 cm²
答案
7. C
8.如图,小明在A时测得某树的影长为2 m,B时又测得该树的影长为8 m。若两次日照的光线互相垂直,则该树的高度为
4 m
。答案
8. 4 m
9.如图所示的是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方。某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片OA，OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得$MC=8.5\ \mathrm{m}$，$CD=13\ \mathrm{m}$，垂直于地面的木棒EF与影子FG的比为$2:3$，则点O，M之间的距离等于
10
m。转动时，叶片外端离地面的最大高度等于$(10+\sqrt{13})$
m。答案
9. 10 $(10+\sqrt{13})$
解析:如图,过点O作AC,BD的平行线,交CD于点H,过点O作水平线OJ交BD于点J,过点B作BI⊥OJ,垂足为 I,延长 MO,到点 K,使得OK=OB。
由题意可知O是AB的中点。
∵OH//AC//BD,
∴H是CD的中点。
∵CD=13 m,
∴CH=HD=$\frac{1}{2}$CD=6.5 m,
∴MH=MC+CH=8.5+6.5=15(m)。
又由题意可知$\frac{OM}{MH}=\frac{EF}{FG}=\frac{2}{3}$,
∴$\frac{OM}{15}=\frac{2}{3}$,解得 OM=10。
∴点 O,M 之间的距离等于 10 m。
∵BI⊥OJ,
∴∠BIO=∠BIJ=90°。
由题意可知∠OBJ=∠OBI+∠JBI=90°。
又
∵∠BOI+∠OBI=90°,
∴∠BOI=∠JBI。
∴△BIO∽△JIB。
∴$\frac{OI}{BI}=\frac{BI}{IJ}=\frac{2}{3}$。
∴$BI=\frac{2}{3}IJ$,$OI=\frac{4}{9}IJ$。
∵OJ//CD,OH//DJ,
∴四边形 OHDJ 是平行四边形。
∴OJ=HD=6.5 m。
∵$OJ=OI+IJ=\frac{4}{9}IJ+IJ=6.5$ m,
∴IJ=4.5 m。
∴BI=3 m,OI=2 m。
在 Rt△OBI 中,由勾股定理得 $OB^2=OI^2+BI^2$,
∴$OB=\sqrt{OI^2+BI^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$(m)。
∴$OK=OB=\sqrt{13}$ m。
∴$MK=MO+OK=(10+\sqrt{13})$ m,
即叶片外端离地面的最大高度等于$(10+\sqrt{13})$ m。
10.【数学应用】如图①，$△ ABC$被平行于CD的光线照射，$CD ⊥ AB$于点D，AB在投影面上。
(1)指出图①中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢？
(2)如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，我们可以利用$△ ABC$与$△ ACD$相似证明$AC^2=AD · AB$，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理。
(3)如图③，正方形ABCD的边长为15，O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作$CF ⊥ BE$，垂足为F，连接OF。
①试利用射影定理证明$△ BOF ∽ △ BED$；
②若$DE=2CE$，求OF的长。
(1)指出图①中AC的投影是什么，CD与BC的投影呢？
(2)如图②，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$，我们可以利用$△ ABC$与$△ ACD$相似证明$AC^2=AD · AB$，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定理。
(3)如图③，正方形ABCD的边长为15，O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，过点C作$CF ⊥ BE$，垂足为F，连接OF。
①试利用射影定理证明$△ BOF ∽ △ BED$；
②若$DE=2CE$，求OF的长。
答案
(1) 解:AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影是BD。
(2) 证明: 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB$,
$\therefore ∠A+∠B=90^{\circ },∠A+∠ACD=90^{\circ }$。
$\therefore ∠ACD=∠B$。
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$。
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
$\therefore AC^{2}=AD· AB$。
(3) ①证明:
∵四边形ABCD是正方形,
$\therefore OC⊥BO,∠BCD=90^{\circ }$。
$\therefore BC^{2}=BO· BD$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,
$\because CF⊥BE,∠BCE=90^{\circ },$
$\therefore BC^{2}=BF· BE$。
$\therefore BO· BD=BF· BE,即\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$。
$\because ∠OBF=∠EBD,$
$\therefore △ BOF ∽ △ BED$。
②解:$\because BC=CD=15$,且$DE=2CE$,
$\therefore DE=15×\frac{2}{3}=10,CE=15×\frac{1}{3}=5$。
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$BE=\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{15^{2}+5^{2}}=5\sqrt{10}$。
易得$OB=\frac{15\sqrt{2}}{2}$。
$\because △ BOF ∽ △ BED,$
$\therefore \frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$。
$\therefore OF=\frac{BO}{BE}· DE=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{10}}×10=3\sqrt{5}$。
(2) 证明: 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\because ∠ACB=90^{\circ },CD⊥AB$,
$\therefore ∠A+∠B=90^{\circ },∠A+∠ACD=90^{\circ }$。
$\therefore ∠ACD=∠B$。
$\therefore △ ACD ∽ △ ABC$。
$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$。
$\therefore AC^{2}=AD· AB$。
(3) ①证明:
∵四边形ABCD是正方形,
$\therefore OC⊥BO,∠BCD=90^{\circ }$。
$\therefore BC^{2}=BO· BD$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,
$\because CF⊥BE,∠BCE=90^{\circ },$
$\therefore BC^{2}=BF· BE$。
$\therefore BO· BD=BF· BE,即\frac{BO}{BE}=\frac{BF}{BD}$。
$\because ∠OBF=∠EBD,$
$\therefore △ BOF ∽ △ BED$。
②解:$\because BC=CD=15$,且$DE=2CE$,
$\therefore DE=15×\frac{2}{3}=10,CE=15×\frac{1}{3}=5$。
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$BE=\sqrt{BC^{2}+CE^{2}}=\sqrt{15^{2}+5^{2}}=5\sqrt{10}$。
易得$OB=\frac{15\sqrt{2}}{2}$。
$\because △ BOF ∽ △ BED,$
$\therefore \frac{OF}{DE}=\frac{BO}{BE}$。
$\therefore OF=\frac{BO}{BE}· DE=\frac{\frac{15\sqrt{2}}{2}}{5\sqrt{10}}×10=3\sqrt{5}$。
