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4. 某种服装平均每天可销售 $ 20 $ 件,每件盈利 $ 44 $ 元,在每件降价幅度不超过 $ 10 $ 元的情况下,若每件降价 $ 1 $ 元,则每天可多售 $ 5 $ 件。如果每天要盈利 $ 1600 $ 元,每件降价多少元？设每件降价 $ x $ 元,则可列方程为____。
答案
$(44-x)(20+5x)=1600$
5. 把下列方程整理成一元二次方程的一般形式,并分别指出二次项系数、一次项系数和常数项：
(1) $ 3x^{2}-7 = 5x $；
(2) $ 2x^{2}= 9 $；
(3) $ 4x(x + 1)-x(x - 2)= 2 $；
(4) $ (3x - 2)(x + 1)= 8 $。
(1) $ 3x^{2}-7 = 5x $；
(2) $ 2x^{2}= 9 $；
(3) $ 4x(x + 1)-x(x - 2)= 2 $；
(4) $ (3x - 2)(x + 1)= 8 $。
答案
(1)$3x^{2}-5x-7=0$;$3$,$-5$,$-7$.
(2)$2x^{2}-9=0$;$2$,$0$,$-9$.
(3)$3x^{2}+6x-2=0$;$3$,$6$,$-2$.
(4)$3x^{2}+x-10=0$;$3$,$1$,$-10$
6. 用方程描述下列问题中的数量之间的相等关系：
(1)两个连续偶数的积是 $ 624 $。设较小的偶数为 $ x $,可得方程____；
(2)一个直角三角形的斜边长为 $ 13 $ cm,两条直角边相差 $ 7 $ cm。设较短的直角边长为 $ x $ cm,可得方程____；
(3)把长为 $ 10 $ m 的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方。设较短一段的长为 $ x $ m,可得方程____。
(1)两个连续偶数的积是 $ 624 $。设较小的偶数为 $ x $,可得方程____；
(2)一个直角三角形的斜边长为 $ 13 $ cm,两条直角边相差 $ 7 $ cm。设较短的直角边长为 $ x $ cm,可得方程____；
(3)把长为 $ 10 $ m 的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方。设较短一段的长为 $ x $ m,可得方程____。
答案
(1)$x(x+2)=624$;
(2)$x^{2}+(x+7)^{2}=13^{2}$;
(3)$10x=(10-x)^{2}$
7. 根据题意列出关于 $ x $ 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式(不必解方程)：
(1)一个矩形的面积是 $ 21 $ cm^2,它的宽比长少 $ 4 $ cm,求这个矩形的宽 $ x $；
____。
(2)在边长为 $ 20 $ cm 的正方形纸片四角剪去四个边长都为 $ x $ cm 的正方形,做成一个表面积为 $ 300 $ cm^2 的无盖纸盒,求剪去的小正方形的边长 $ x $。
____。
]
(1)一个矩形的面积是 $ 21 $ cm^2,它的宽比长少 $ 4 $ cm,求这个矩形的宽 $ x $；
____。
(2)在边长为 $ 20 $ cm 的正方形纸片四角剪去四个边长都为 $ x $ cm 的正方形,做成一个表面积为 $ 300 $ cm^2 的无盖纸盒,求剪去的小正方形的边长 $ x $。
____。
]
答案
(1)$x^{2}+4x-21=0$;
(2)$x^{2}-25=0$
1. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (a + 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0 $ 的一个根是 $ 0 $,则 $ a $ 的值为( )
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ \pm1 $
D.$ 0 $
A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ \pm1 $
D.$ 0 $
答案
A
解析
因为方程$(a + 1)x^{2}+x + a^{2}-1 = 0$的一个根是$0$，将$x=0$代入方程得：$a^{2}-1=0$，解得$a=\pm1$。又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$a + 1\neq0$，即$a\neq -1$，综上$a=1$。
A
A
2. 已知 $ x^{2}-2x - 5 = 0 $ 的一个解为 $ a $,求代数式 $ a(2a - 3)+a(1 - a) $ 的值。
答案
5
解析
$\begin{aligned}a(2a - 3)+a(1 - a)&=2a^{2}-3a + a - a^{2}\\&=a^{2}-2a\\\because x^{2}-2x - 5 = 0 的一个解为a,\\\therefore a^{2}-2a - 5 = 0,\\\therefore a^{2}-2a=5,\\\therefore 原式=5\end{aligned}$
