1. 下列方程是二元一次方程的是()
A.$x^{2}-3y + 1 = 0$
B.$x + 2 = 5$
C.$2x + y + z = 1$
D.$2x + y = 12$

D

二元一次方程需满足的条件为：含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，并且是整式方程。
A选项：$x^{2}-3y + 1 = 0$ ，未知数$x$的次数是2，不满足次数为1的条件，所以不是二元一次方程。
B选项：$x + 2 = 5$，只含有一个未知数$x$，不满足含有两个未知数的条件，所以不是二元一次方程。
C选项：$2x + y + z = 1$，含有三个未知数$x$、$y$、$z$，不满足含有两个未知数的条件，所以不是二元一次方程。
D选项：$2x + y = 12$，含有两个未知数$x$和$y$，且未知数的最高次数为1，是整式方程，满足二元一次方程的条件。

2. 下列各组数是二元一次方程$x - 3y = 4$的解的是()
A.$\begin{cases}x = 1\\y = -1\end{cases} $
B.$\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases} $
C.$\begin{cases}x = -1\\y = -2\end{cases} $
D.$\begin{cases}x = 4\\y = -1\end{cases} $

A

将各选项中的$x$和$y$值代入方程$x - 3y = 4$进行验证。
A选项：代入$x = 1, y = -1$，得到$1 - 3× (-1) = 1 + 3 = 4$，满足方程。
B选项：代入$x = 2, y = 1$，得到$2 - 3×1 = 2 - 3 = -1$，不满足方程。
C选项：代入$x = -1, y = -2$，得到$-1 - 3×(-2) = -1 + 6 = 5$，不满足方程。
D选项：代入$x = 4, y = -1$，得到$4 - 3×(-1) = 4 + 3 = 7$，不满足方程。
经检验，只有A选项满足方程$x - 3y = 4$。

3. 下列方程组为二元一次方程组的是()
A.$\begin{cases}\frac{1}{x}+y = 4\\x - y = 1\end{cases} $
B.$\begin{cases}4x + 3y = 6\\2y + z = 4\end{cases} $
C.$\begin{cases}x + y = 3\\x - y = 1\end{cases} $
D.$\begin{cases}x + y = 5\\x^{2}+y^{2}= 13\end{cases} $

C

A选项：第一个方程$\frac{1}{x} + y = 4$中，$\frac{1}{x}$不是一次项，所以不是二元一次方程，故A选项错误；
B选项：方程组中包含$x,y,z$三个未知数，不是二元一次方程组，故B选项错误；
C选项：方程组中包含$x,y$两个未知数，且次数均为1，是二元一次方程组，故C选项正确；
D选项：方程组中第二个方程$x^{2} + y^{2} = 13$，次数为2，不是一次方程，故D选项错误。

4. 已知方程$3x - y = 5$,用含$y的代数式来表示x$,则$x = $。

$x = \frac{y + 5}{3}$（或 $x = \frac{1}{3}y + \frac{5}{3}$）

由方程 $3x - y = 5$，需要将$x$用$y$的代数式表示。
首先，将方程中的 $-y$ 移到等式的另一边，得到：
$3x = y + 5$
然后，两边同时除以3，得到：
$x = \frac{y + 5}{3}$

5. 若$\begin{cases}x = 3\\y = 2\end{cases} 是关于x$,$y的二元一次方程ax - by = 1$的解,则$6a - 4b + 3 = $。

5

将$\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$代入方程$ax - by = 1$，得$3a - 2b = 1$。
观察所求式$6a - 4b + 3$，可变形为$2(3a - 2b) + 3$，将$3a - 2b = 1$代入，得$2 × 1 + 3 = 5$。

6. 如果方程组$\begin{cases}x + y = *\\2x - y = 16\end{cases} 的解为\begin{cases}x = 6\\y = \triangle\end{cases} \triangle $,那么“$*$”表示的数是。

$2$

已知方程组$\begin{cases}x + y = * \\2x - y = 16\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 6 \\y = \triangle\end{cases}$，
将$x = 6$代入$2x - y = 16$，
得$2× 6 - y = 16$，
即$12 - y = 16$，
解得$y = -4$，
所以$\triangle = -4$。
将$x = 6$，$y = -4$代入$x + y = *$，
得$* = 6 + (-4)=2$。

7. 已知$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases} 是关于x$,$y的二元一次方程3x = y + a$的解,求$a$的值。

答：将$\begin{cases}x = 2\\y = -3\end{cases}$代入方程$3x = y + a$中，
得$3 × 2 = -3 + a$，
即$6 = -3 + a$，
解得$a = 9$。

8. 已知关于$x$,$y的方程组\begin{cases}2x + y = 5k + 2\\x - y = k - 5\end{cases} 的解为\begin{cases}x = 3\\y = 6\end{cases} $。
(1) 求$k$的值；
(2) 化简：$\vert k + 5\vert+\vert k - 3\vert$。

(1)
将$\begin{cases}x = 3\\y = 6\end{cases}$代入方程组$\begin{cases}2x + y = 5k + 2\\x - y = k - 5\end{cases}$中$x - y = k - 5$这一方程，
得$3 - 6 = k - 5$，
即$-3 = k - 5$，
解得$k = 2$。
(2)
当$k = 2$时，
$\vert k + 5\vert+\vert k - 3\vert=\vert2 + 5\vert+\vert2 - 3\vert$
$=7 + 1$
$= 8$
综上，答案为(1)$k = 2$；(2)$8$。

9. 已知甲种面包每个$4$元,乙种面包每个$7$元,小明计划购买甲种面包$x$个,乙种面包$y$个,共花$76$元。
(1) 列出关于$x$,$y$的二元一次方程；
(2) 若$x = 12$,则$y = $；
(3) 若小明购买乙种面包$8$个,则购买甲种面包个；
(4) 你认为小明有几种购买方案？

答题卡：
(1) 根据题意，甲种面包每个$4$元，购买$x$个；乙种面包每个$7$元，购买$y$个，总花费为$76$元。
因此，关于$x$，$y$的二元一次方程为：
$4x + 7y = 76$。
(2) 将$x = 12$代入方程$4x + 7y = 76$，得：
$4 × 12 + 7y = 76$
$48 + 7y = 76$
$7y = 28$
$y = 4$
故答案为：$4$。
(3) 将$y = 8$代入方程$4x + 7y = 76$，得：
$4x + 7 × 8 = 76$
$4x + 56 = 76$
$4x = 20$
$x = 5$
故答案为：$5$。
(4) 由方程$4x + 7y = 76$，可以知道$x$，$y$均为正整数，通过尝试不同的$y$值来找到所有可能的购买方案：
当$y=0$时，$x=\frac{76}{4}=19$；
当$y=4$时，$x=\frac{76-7×4}{4}=12$；
当$y=8$时，$x=\frac{76-7×8}{4}=5$；
当$y=12$时，$x=\frac{76-7×12}{4}=-2$（舍去，因为$x$不能为负）；
其他$y$值也不会使得$x$为正整数。
因此，小明有$3$种购买方案。