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1. 如图,一个圆锥的高 $ AO = 24cm $,底面半径 $ OB = 7cm $,则 $ AB $ 的长为(
A.$ 18cm $
B.$ 20cm $
C.$ 22cm $
D.$ 25cm $
D
)A.$ 18cm $
B.$ 20cm $
C.$ 22cm $
D.$ 25cm $
答案
D
解析
在直角三角形$AOB$中，已知圆锥的高$AO$为直角边，长度是$24cm$，底面半径$OB$为另一直角边，长度是$7cm$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AO^{2}+OB^{2}}$，将$AO = 24cm$，$OB = 7cm$代入可得：
$AB=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=\sqrt{576 + 49}=\sqrt{625}=25cm$。
根据勾股定理$AB=\sqrt{AO^{2}+OB^{2}}$，将$AO = 24cm$，$OB = 7cm$代入可得：
$AB=\sqrt{24^{2}+7^{2}}=\sqrt{576 + 49}=\sqrt{625}=25cm$。
2. 三个正方形的面积如图所示,则 $ S $ 的值为(
A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 9 $
D.$ 12 $
C
)A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 9 $
D.$ 12 $
答案
C
解析
由图可知，三个正方形的边长构成直角三角形，其中面积为25的正方形边长为斜边，面积为16和S的正方形边长为直角边。根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，即16 + S = 25，解得S = 9。
3. 下列条件中,不能判断 $ \triangle ABC $ 为直角三角形的是(
A.$ a^{2} = 3 $,$ b^{2} = 4 $,$ c^{2} = 5 $
B.$ a:b:c = 3:4:5 $
C.$ \angle A + \angle B = \angle C $
D.$ \angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3 $
A
)A.$ a^{2} = 3 $,$ b^{2} = 4 $,$ c^{2} = 5 $
B.$ a:b:c = 3:4:5 $
C.$ \angle A + \angle B = \angle C $
D.$ \angle A:\angle B:\angle C = 1:2:3 $
答案
A
解析
选项A：$a^2=3$，$b^2=4$，$c^2=5$，$3+4=7\neq5$，不满足勾股定理逆定理，不能判断为直角三角形；选项B：设$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，$(3k)^2+(4k)^2=25k^2=(5k)^2$，满足勾股定理逆定理，是直角三角形；选项C：$\angle A+\angle B=\angle C$，又$\angle A+\angle B+\angle C=180°$，则$\angle C=90°$，是直角三角形；选项D：设$\angle A=x$，$\angle B=2x$，$\angle C=3x$，$x+2x+3x=180°$，解得$x=30°$，$\angle C=90°$，是直角三角形。
4. 在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AB = 3 $,则 $ AB^{2} + AC^{2} + BC^{2} $ 的值为(
A.$ 24 $
B.$ 18 $
C.$ 12 $
D.$ 9 $
B
)A.$ 24 $
B.$ 18 $
C.$ 12 $
D.$ 9 $
答案
B
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，由勾股定理得$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。已知$AB=3$，则$AB^{2}=9$，所以$AC^{2}+BC^{2}=9$。因此$AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}=9 + 9=18$。
5. 如图,将一根长为 $ 24cm $ 的筷子置于底面直径为 $ 5cm $、高为 $ 12cm $ 的圆柱形水杯中,设筷子露在外面的长度为 $ hcm $,则 $ h $ 的取值范围是(
A.$ 0 ＜ h \leq 11 $
B.$ 11 \leq h \leq 12 $
C.$ h \geq 12 $
D.$ 0 ＜ h \leq 12 $
B
)A.$ 0 ＜ h \leq 11 $
B.$ 11 \leq h \leq 12 $
C.$ h \geq 12 $
D.$ 0 ＜ h \leq 12 $
答案
B
解析
设杯子底面直径为 $5cm$，高为 $12cm$。
当筷子竖直放置时，露在外面的长度 $h$ 最大，为：
$h = 24cm - 12cm = 12cm$。
当筷子斜着放置且与杯底对角线重合时，筷子在杯内的长度最长。
此时，杯子底面的对角线长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13cm$。
因此，露在外面的长度 $h$ 最小为：
$h = 24cm - 13cm = 11cm$。
所以 $h$ 的取值范围是 $11cm \leq h \leq 12cm$。
当筷子竖直放置时，露在外面的长度 $h$ 最大，为：
$h = 24cm - 12cm = 12cm$。
当筷子斜着放置且与杯底对角线重合时，筷子在杯内的长度最长。
此时，杯子底面的对角线长度为：
$\sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13cm$。
因此，露在外面的长度 $h$ 最小为：
$h = 24cm - 13cm = 11cm$。
所以 $h$ 的取值范围是 $11cm \leq h \leq 12cm$。
6. 已知数 $ a $,$ 8 $ 和 $ 15 $,若这三个数恰好是一个直角三角形三边的长,则 $ a^{2} = $
161或289
。答案
161或289
解析
分两种情况讨论：
1. 若$a$为斜边，则$a^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$；
2. 若$a$为直角边，斜边为15（15＞8），则$a^2 = 15^2 - 8^2 = 225 - 64 = 161$。
综上，$a^2 = 161$或$289$。
1. 若$a$为斜边，则$a^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$；
2. 若$a$为直角边，斜边为15（15＞8），则$a^2 = 15^2 - 8^2 = 225 - 64 = 161$。
综上，$a^2 = 161$或$289$。
7. 如图,蚂蚁从长、宽都是 $ 3 $,高是 $ 8 $ 的长方体纸箱的点 $ A $ 沿纸箱爬到点 $ B $,那么它爬行的最短路线的长是
10
。答案
$10$（或对应选项，根据题目选项具体而定，此处仅填数值或指定选项）
解析
将长方体展开成平面图，计算不同展开方式下 $A$ 到 $B$ 的距离：
展开前后面：
$A$ 和 $B$ 的水平距离为 $3$，垂直距离为 $8 + 3 = 11$。
$AB = \sqrt{3^2 + 11^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130} \approx 11.4$。
展开上下面：
$A$ 和 $B$ 的水平距离为 $3 + 3 = 6$，垂直距离为 $8$。
$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
比较两种展开方式，最短距离为 $10$。
展开前后面：
$A$ 和 $B$ 的水平距离为 $3$，垂直距离为 $8 + 3 = 11$。
$AB = \sqrt{3^2 + 11^2} = \sqrt{9 + 121} = \sqrt{130} \approx 11.4$。
展开上下面：
$A$ 和 $B$ 的水平距离为 $3 + 3 = 6$，垂直距离为 $8$。
$AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。
比较两种展开方式，最短距离为 $10$。
8. 已知在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ \angle A $,$ \angle B $,$ \angle C $ 所对的边分别为 $ a $,$ b $,$ c $,若 $ a + b = 14cm $,$ c = 10cm $,求 $ Rt\triangle ABC $ 的面积。
答案
根据题意，在$Rt \triangle ABC$中，由勾股定理得：
$a^{2} + b^{2} = c^{2} = 100$，
又因为$a + b = 14$，
将$a + b$的值平方，得到：
$(a + b)^{2} = 14^{2} = 196$，
即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 196$，
将$a^{2} + b^{2} = 100$代入上式，得到：
$100 + 2ab = 196$，
从中解出$ab$，得：
$2ab = 96$，
$ab = 48$，
因此，$Rt \triangle ABC$的面积为：
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24 (cm^{2})$，
所以，$Rt \triangle ABC$的面积是$24 cm^{2}$。
$a^{2} + b^{2} = c^{2} = 100$，
又因为$a + b = 14$，
将$a + b$的值平方，得到：
$(a + b)^{2} = 14^{2} = 196$，
即$a^{2} + 2ab + b^{2} = 196$，
将$a^{2} + b^{2} = 100$代入上式，得到：
$100 + 2ab = 196$，
从中解出$ab$，得：
$2ab = 96$，
$ab = 48$，
因此，$Rt \triangle ABC$的面积为：
$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × 48 = 24 (cm^{2})$，
所以，$Rt \triangle ABC$的面积是$24 cm^{2}$。
9. 如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,$ AC = 8 $,在 $ \triangle ABE $ 中,$ DE $ 是 $ AB $ 边上的高,$ DE = 12 $,$ S_{\triangle ABE} = 60 $,求 $ BC $ 的长。
答案
在$\triangle ABE$中，$DE$是$AB$边上的高，$DE = 12$，$S_{\triangle ABE} = 60$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× AB× DE$。
把$S_{\triangle ABE} = 60$，$DE = 12$代入可得：$60=\frac{1}{2}× AB×12$，
等式两边同时乘以$2$得：$120 = AB×12$，
解得$AB = 10$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$AB = 10$。
根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$，
把$AB = 10$，$AC = 8$代入可得：$BC=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
综上，$BC$的长为$6$。
根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{\triangle ABE}=\frac{1}{2}× AB× DE$。
把$S_{\triangle ABE} = 60$，$DE = 12$代入可得：$60=\frac{1}{2}× AB×12$，
等式两边同时乘以$2$得：$120 = AB×12$，
解得$AB = 10$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8$，$AB = 10$。
根据勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$，
把$AB = 10$，$AC = 8$代入可得：$BC=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
综上，$BC$的长为$6$。
