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5. 我们规定：②=1×2×3，③=2×3×4，④=3×4×5，⑤=4×5×6……如果$\frac{1}{⑧}$ - $\frac{1}{⑨}$ = $\frac{1}{9}$×A，那么A的值是多少？
答案
$\frac{1}{⑧}-\frac{1}{⑨}$
$=\frac{1}{7×8×9}-\frac{1}{8×9×10}$
$=\frac{1}{7}×\frac{1}{8}×\frac{1}{9}-\frac{1}{8}×\frac{1}{9}×\frac{1}{10}$
$=\frac{1}{9}×(\frac{1}{7}×\frac{1}{8}-\frac{1}{8}×\frac{1}{10})$
$=\frac{1}{9}×[\frac{1}{8}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})]$
$A=\frac{1}{8}×(\frac{1}{7}-\frac{1}{10})=\frac{1}{8}×\frac{3}{70}=\frac{3}{560}$
6. (2025·南通如东县期末)先阅读理解，再解决问题。
在五年级，我们用转化的方法，数形结合研究了$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$这类算式的巧妙算法。其实，计算这种求有规律的几个加数的和的运算，我们还可以先给它添加一个最小的单位分数，最后再减去这个单位分数就行。比如：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
这种方法还适用于巧算不是从$\frac{1}{2}$开始的若干个有规律的数相加。比如：
$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{64}-\frac{1}{64}=\frac{1}{4}-\frac{1}{64}=\frac{15}{64}$
而且这种方法适用于有类似规律的加法的巧算。比如：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}=\frac{1}{3}×2-\frac{1}{24}=\frac{15}{24}$
$\frac{5}{9}+\frac{5}{18}+\frac{5}{36}=\frac{5}{9}×2-\frac{5}{36}=\frac{35}{36}$
请你利用上面介绍的方法解题。
(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}=(\quad)-(\quad)=(\quad)$
(2) 计算下面两题。
① $\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$
② $\frac{7}{5}+\frac{7}{10}+\frac{7}{20}+\frac{7}{40}$
在五年级，我们用转化的方法，数形结合研究了$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}$这类算式的巧妙算法。其实，计算这种求有规律的几个加数的和的运算，我们还可以先给它添加一个最小的单位分数，最后再减去这个单位分数就行。比如：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{32}-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
这种方法还适用于巧算不是从$\frac{1}{2}$开始的若干个有规律的数相加。比如：
$\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{64}-\frac{1}{64}=\frac{1}{4}-\frac{1}{64}=\frac{15}{64}$
而且这种方法适用于有类似规律的加法的巧算。比如：
$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{24}=\frac{1}{3}×2-\frac{1}{24}=\frac{15}{24}$
$\frac{5}{9}+\frac{5}{18}+\frac{5}{36}=\frac{5}{9}×2-\frac{5}{36}=\frac{35}{36}$
请你利用上面介绍的方法解题。
(1) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}=(\quad)-(\quad)=(\quad)$
(2) 计算下面两题。
① $\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$
② $\frac{7}{5}+\frac{7}{10}+\frac{7}{20}+\frac{7}{40}$
答案
(1) 1 $\frac{1}{64}$ $\frac{63}{64}$
(2)
① $\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{128}-\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{128}$
$=\frac{31}{128}$
② $\frac{7}{5}+\frac{7}{10}+\frac{7}{20}+\frac{7}{40}$
$=\frac{7}{5}+\frac{7}{10}+\frac{7}{20}+\frac{7}{40}+\frac{7}{40}-\frac{7}{40}$
$=\frac{7}{5}×2-\frac{7}{40}$
$=\frac{21}{8}$
(2)
① $\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}+\frac{1}{128}-\frac{1}{128}$
$=\frac{1}{4}-\frac{1}{128}$
$=\frac{31}{128}$
② $\frac{7}{5}+\frac{7}{10}+\frac{7}{20}+\frac{7}{40}$
$=\frac{7}{5}+\frac{7}{10}+\frac{7}{20}+\frac{7}{40}+\frac{7}{40}-\frac{7}{40}$
$=\frac{7}{5}×2-\frac{7}{40}$
$=\frac{21}{8}$
7. a、b、c表示连续自然数时有如下规律：$\frac{1}{a×b×c}=(\frac{1}{a×b}-\frac{1}{b×c})×\frac{1}{2}(0＜a＜b＜c)$，应用你发现的规律进行计算。
答案
$\frac{1}{1×2×3}+\frac{1}{2×3×4}+…+\frac{1}{98×99×100}=$
$(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3})×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4})×\frac{1}{2}+…$
$+(\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+$
$\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}=$
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}=\frac{4949}{19800}$
$(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3})×\frac{1}{2}+(\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4})×\frac{1}{2}+…$
$+(\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}=(\frac{1}{1×2}-\frac{1}{2×3}+$
$\frac{1}{2×3}-\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{98×99}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}=$
$(\frac{1}{2}-\frac{1}{99×100})×\frac{1}{2}=\frac{4949}{19800}$
8.（2025·南京高淳区期末）百货商店有位营业员:练就一手绝活儿——“看手拿鞋”,经过多年研究发现:通常情况下,人手的长度是脚长的$\frac{3}{4}$,因此只需看顾客的手,就可以推算出鞋号。脚长和鞋号对照表如下。
女士尺码：
男士尺码：
根据上述信息,回答下面问题。
（1）一位女士穿38码的鞋,她的手大约有多长？
（2）一位男士的手长为21厘米,建议他穿多大码的鞋？
女士尺码：
男士尺码：
根据上述信息,回答下面问题。
（1）一位女士穿38码的鞋,她的手大约有多长？
（2）一位男士的手长为21厘米,建议他穿多大码的鞋？
答案
(1) 一位女士穿38码的鞋，她的脚长是24厘米。
$24×\frac{3}{4}=18$(厘米)
她的手大约有18厘米长。
(2) $21÷\frac{3}{4}=28$(厘米)
28厘米对应的是44码。
建议他穿44码的鞋。
$24×\frac{3}{4}=18$(厘米)
她的手大约有18厘米长。
(2) $21÷\frac{3}{4}=28$(厘米)
28厘米对应的是44码。
建议他穿44码的鞋。
