多项式与多项式相乘
(1)法则:一般地,多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的,再把所得的积.
(2)用字母表示:
$(a+b)(p+q)=$.

解：
(1) 每一项；相加
(2) $ap+aq+bp+bq$

【分析】
这道题考查多项式与多项式相乘的基础法则，属于识记类基础题。解题时首先回忆多项式乘多项式的运算步骤：第一步要做到不重不漏，用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的所有项；第二步要将所有乘得的结果相加。字母表示的推导可以借助已经学过的单项式乘多项式法则，把其中一个多项式看作整体，分步展开即可得到结果。
【解析】
(1) 根据多项式与多项式相乘的法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，因此两个空依次对应填写即可。
(2) 推导字母表达式：
将$(a+b)$看作整体，由单项式乘多项式法则可得：
$(a+b)(p+q)=(a+b)p + (a+b)q$
再分别展开两个单项式乘多项式的式子：
$(a+b)p=ap+bp$，$(a+b)q=aq+bq$
合并结果得：$(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq$
【答案】
(1) 每一项；相加
(2) $ap+aq+bp+bq$
【知识点】
多项式乘多项式法则；整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念考察题，核心是对多项式乘多项式运算法则的记忆与理解，熟练掌握该法则是进行整式化简、整式求值等后续运算的重要基础。
【难度系数】
0.9

【例题】计算：
(1)$(3m-1)(m+5)$；
(2)$(2x-7y)(3x+4y-1)$。

解：
(1) 原式$=3m· m + 3m·5 -1· m -1·5$
$=3m^2 +15m -m -5$
$=3m^2 +14m -5$
(2) 原式$=2x·3x + 2x·4y + 2x·(-1) -7y·3x -7y·4y -7y·(-1)$
$=6x^2 +8xy -2x -21xy -28y^2 +7y$
$=6x^2 -13xy -28y^2 -2x +7y$

【分析】
这两道题均考查多项式与多项式的乘法运算，解题思路遵循多项式乘法法则：首先用一个多项式的每一项依次乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果。
第(1)题是两个二项式相乘，只需将第一个多项式的3m、-1分别与第二个多项式的m、5相乘，注意带符号运算，再合并同类项即可；
第(2)题是二项式乘三项式，需用第一个多项式的2x、-7y分别与第二个多项式的3x、4y、-1逐项相乘，注意不要漏乘常数项-1，同时注意负号的运算，最后合并所有同类项即可。
【解析】
(1) 原式$=3m· m + 3m·5 -1· m -1·5$
$=3m^2 +15m -m -5$
$=3m^2 +14m -5$
(2) 原式$=2x·3x + 2x·4y + 2x·(-1) -7y·3x -7y·4y -7y·(-1)$
$=6x^2 +8xy -2x -21xy -28y^2 +7y$
$=6x^2 -13xy -28y^2 -2x +7y$
【答案】
(1) $3m^2 +14m -5$
(2) $6x^2 -13xy -28y^2 -2x +7y$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础运算题，解题的核心是严格遵循多项式乘法法则，运算时需注意两点：一是相乘时做到不重不漏，尤其是多项式含常数项时不要漏乘；二是要准确判断每一项的符号，合并同类项时需认准同类项再计算。
【难度系数】
0.8

【变式】计算：
(1) $(2a - 3b)(3a + 2b)$；
(2) $(x - y)(x^2 + xy - y^2)$。

解：
(1) 原式$=2a· 3a + 2a· 2b - 3b· 3a - 3b· 2b$
$=6a^2 + 4ab - 9ab - 6b^2$
$=6a^2 - 5ab - 6b^2$
(2) 原式$=x· x^2 + x· xy + x· (-y^2) - y· x^2 - y· xy - y· (-y^2)$
$=x^3 + x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2 + y^3$
$=x^3 - 2xy^2 + y^3$

【分析】
这两道题均考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到最简结果。运算时需注意两个核心要点：一是不要漏乘任意一项，二是要准确判断每一项乘积的符号，避免符号错误。第(1)题是两个二项式相乘，直接按法则展开后合并同类项即可；第(2)题是二项式乘三项式，同样按法则逐项相乘，展开后再合并同类项化简。
【解析】
(1) 原式$=2a· 3a + 2a· 2b - 3b· 3a - 3b· 2b$
$=6a^2 + 4ab - 9ab - 6b^2$
$=6a^2 - 5ab - 6b^2$
(2) 原式$=x· x^2 + x· xy + x· (-y^2) - y· x^2 - y· xy - y· (-y^2)$
$=x^3 + x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2 + y^3$
$=x^3 - 2xy^2 + y^3$
【答案】
(1) $6a^2 - 5ab - 6b^2$；(2) $x^3 - 2xy^2 + y^3$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于整式乘法的基础练习题，核心考查多项式乘多项式的运算规则，解题时需注意逐项相乘避免漏项，带负号的项相乘时要准确判断符号，最后合并同类项得到最简结果，熟练掌握该运算是后续学习整式混合运算、因式分解等内容的基础。
【难度系数】
0.8

1. 计算$(a-2)(-a+1)$,结果是().

A.$a^2 -a -2$
B.$-a^2 -a -2$
C.$-a^2 +3a -2$
D.$a^2 +3a -2$

C

【分析】
本题考查多项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则，即用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所有乘积相加；计算时要注意每项的符号，避免符号出错，最后合并同类项得到化简结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(a-2)(-a+1)&=a·(-a)+a·1+(-2)·(-a)+(-2)·1\\&=-a^2+a+2a-2\\&=-a^2+3a-2\end{aligned}$
对比选项，结果与选项C一致。
【答案】
C
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查多项式乘法的运算规则，解题时需重点关注各项乘积的符号，熟练掌握运算法则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8

2.若$(x-3)(2x+1)=2x^2+ax-3$,则$a$的值为().

A.$-7$
B.$-5$
C.$5$
D.$7$

B

【分析】
本题考查多项式乘多项式的应用，解题思路为：首先根据多项式乘多项式的运算法则将等式左边的式子展开并合并同类项，再将展开后的式子与等式右边的多项式进行对比，根据同类项系数对应相等的原则，即可求出a的值。
【解析】
先根据多项式乘多项式法则计算等式左边：
$\begin{aligned}(x-3)(2x+1)&=x·2x + x·1 + (-3)·2x + (-3)·1\\&=2x^2 + x - 6x - 3\\&=2x^2 -5x -3\end{aligned}$
已知$(x-3)(2x+1)=2x^2+ax-3$，因此可得$2x^2 -5x -3=2x^2 +ax -3$，对比等式两边一次项的系数，可得$a=-5$。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式运算；同类项系数对应相等
【点评】
本题是多项式乘法的基础应用题型，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，注意运算过程中各项的符号不要出错，通过系数对比即可快速求解未知参数。
【难度系数】
0.8

3.计算:$(a-10)(a-7)=$.

$\boldsymbol{a^2 -17a +70}$

【分析】
本题考查多项式与多项式的乘法运算，解题思路如下：首先回忆多项式乘多项式的运算法则：两个多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，最后合并同类项得到化简结果。计算时需要注意每一项的符号，避免出现符号错误或者漏乘的问题。
【解析】
根据多项式乘多项式的运算法则展开计算：
$\begin{aligned}(a-10)(a-7)&=a· a + a·(-7) + (-10)· a + (-10)×(-7)\\&=a^2 -7a -10a +70\\&=a^2 -17a +70\end{aligned}$
【答案】
$a^2 -17a +70$
【知识点】
多项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是多项式乘法的基础常考题，核心是对多项式乘法运算法则的掌握，计算时需格外注意每项的符号，避免因漏乘、符号判断错误失分。
【难度系数】
0.9

4.有若干张边长如图所示的长方形卡片和正方形卡片,如果要拼出一个长为$(2a+3b)$,宽为$(a+b)$的矩形,那么需要这三类卡片共张.

解：
计算长为$(2a+3b)$、宽为$(a+b)$的矩形的面积：
$\begin{aligned}(2a+3b)(a+b)&=2a· a + 2a· b + 3b· a + 3b· b\\&=2a^2 + 2ab + 3ab + 3b^2\\&=2a^2 + 5ab + 3b^2\end{aligned}$
可知：边长为$a$的正方形卡片需要2张，边长为$b$的正方形卡片需要3张，长为$a$宽为$b$的长方形卡片需要5张。
三类卡片总张数为：$2+3+5=10$
$\boxed{10}$

【分析】
要拼出指定的大矩形，拼接前后的总面积是相等的。我们可以先计算出长为$(2a+3b)$、宽为$(a+b)$的大矩形的面积，再对比三类卡片各自的面积：边长为$a$的正方形面积是$a^2$，边长为$b$的正方形面积是$b^2$，长$a$宽$b$的长方形面积是$ab$，大矩形面积展开后各项的系数就对应需要的各类卡片的张数，最后把三类卡片的张数相加就能得到总张数。
【解析】
首先根据矩形面积公式“面积=长×宽”计算大矩形的面积：
$\begin{aligned}(2a+3b)(a+b)&=2a· a + 2a· b + 3b· a + 3b· b\\&=2a^2 + 2ab + 3ab + 3b^2\\&=2a^2 + 5ab + 3b^2\end{aligned}$
结合三类卡片的面积可得：
需要边长为$a$的正方形卡片2张，边长为$b$的正方形卡片3张，长为$a$宽为$b$的长方形卡片5张。
三类卡片总张数为：$2+3+5=10$
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
1. 多项式乘多项式运算
2. 面积法的应用
【点评】
本题将整式运算与几何拼接问题相结合，解题核心是抓住拼接前后总面积不变的特点，将代数计算和几何图形意义对应起来，能较好地考查数形结合的思维能力和整式运算的基本功。
【难度系数】
0.7

5. 计算：
(1) $(x-2)(x+3)$；
(2) $(x+3y)(2x+3y)$；
(3) $(3a-2b)(\dfrac{1}{3}a + b)$。

解：
(1) 原式$=x· x + x· 3 - 2· x - 2× 3$
$=x^2 + 3x - 2x - 6$
$=x^2 + x - 6$
(2) 原式$=x· 2x + x· 3y + 3y· 2x + 3y· 3y$
$=2x^2 + 3xy + 6xy + 9y^2$
$=2x^2 + 9xy + 9y^2$
(3) 原式$=3a· \frac{1}{3}a + 3a· b - 2b· \frac{1}{3}a - 2b· b$
$=a^2 + 3ab - \frac{2}{3}ab - 2b^2$
$=a^2 + \frac{7}{3}ab - 2b^2$

【分析】
这三道题均为多项式乘多项式的基础运算，解题思路如下：①遵循多项式乘多项式的运算法则：用第一个多项式的每一项依次乘第二个多项式的每一项，相乘时要注意每项的符号，避免漏乘；②将所有得到的乘积相加后，合并同类项即可得到最终化简结果。
【解析】
(1) 原式$=x· x + x· 3 - 2· x - 2× 3$
$=x^2 + 3x - 2x - 6$
$=x^2 + x - 6$
(2) 原式$=x· 2x + x· 3y + 3y· 2x + 3y· 3y$
$=2x^2 + 3xy + 6xy + 9y^2$
$=2x^2 + 9xy + 9y^2$
(3) 原式$=3a· \frac{1}{3}a + 3a· b - 2b· \frac{1}{3}a - 2b· b$
$=a^2 + 3ab - \frac{2}{3}ab - 2b^2$
$=a^2 + \frac{7}{3}ab - 2b^2$
【答案】
(1) $x^2 + x - 6$
(2) $2x^2 + 9xy + 9y^2$
(3) $a^2 + \frac{7}{3}ab - 2b^2$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对多项式乘多项式运算法则的掌握程度，计算时注意不要漏乘项、准确判断每项的符号，合并同类项时注意系数运算的准确性，细心计算即可顺利得分。
【难度系数】
0.85