1.若等腰三角形的顶角为$80°$,则这个等腰三角形的底角为.

$\boldsymbol{50°}$

【分析】
解题时首先回忆两个核心知识点：一是等腰三角形的两个底角度数相等，二是任意三角形的内角和为180°。已知顶角度数，我们可以先通过内角和定理算出两个底角的总度数，再利用等腰三角形两底角相等的性质，将总度数平均分成2份，即可得到单个底角的度数。
【解析】
解：
∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，
已知该等腰三角形顶角为80°，
∴两个底角的度数之和为$180° - 80° = 100°$，
∴单个底角的度数为$100° ÷ 2 = 50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础类题目，是等腰三角形角相关计算的典型基础考法，熟练记忆相关定理性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9

2.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$是边$BC$上的高.若$BC=10$，则$BD$的长为.

$\boldsymbol{5}$

【分析】
首先根据已知条件AB=AC，可判断△ABC是等腰三角形，AD是等腰三角形底边BC上的高，结合等腰三角形“三线合一”的性质可知，AD同时也是底边BC的中线，因此点D是BC的中点，BD的长度等于BC长度的一半，代入BC的数值即可求出BD的长。
【解析】
解：
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又
∵AD是BC边上的高，
根据等腰三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC，
已知BC=10，
∴BD = $\frac{1}{2}×10 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形三线合一、中线的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查等腰三角形三线合一性质的直接应用，熟练掌握该性质即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9

3.图①是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递能量.图②是将其正面抽象成的图形，其中桌面AB与底座CD平行，等长的支架AD和BC相交于它们的中点E，液压杆FG//BC.若∠ABE=52°,则∠GFD的度数为.

$\boldsymbol{76°}$

【分析】
解题思路如下：首先利用平行线的性质，由AB//CD得到∠ABE和∠BCD相等；再结合E是AD、BC的中点且AD=BC，推出ED=EC，得到△EDC为等腰三角形，进而求出∠EDC的度数；然后根据FG//BC，得到∠FGD的度数；最后在△FGD中利用三角形内角和定理即可求出∠GFD的度数。
【解析】
1. 已知AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠ABE=∠BCD=52°。
2. 因为E是AD和BC的中点，所以$ED=\frac{1}{2}AD$，$EC=\frac{1}{2}BC$，又已知AD=BC，所以ED=EC，即△EDC是等腰三角形。
3. 根据等腰三角形两底角相等的性质，可得∠EDC=∠BCD=52°。
4. 已知FG//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠FGD=∠BCD=52°。
5. 在△FGD中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ GFD=180°-∠ FGD-∠ FDG=180°-52°-52°=76°$
【答案】
$\boldsymbol{76°}$
【知识点】
平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合生活中的电脑桌模型考查几何知识的综合应用，解题的关键是理清角之间的数量关系，熟练运用平行线、等腰三角形和三角形内角和的相关性质逐步推导。
【难度系数】
0.7

4.如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，且$BD=BE$，$∠ A=100°$.求$∠ DEC$的度数.

解：
∵ $AB=AC$，$∠ A=100°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=\frac{180° - 100°}{2}=40°$。
∵ $BD$是$∠ ABC$的平分线，
∴ $∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$。
∵ $BD=BE$，
∴ $△ BDE$是等腰三角形，
∴ $∠ BED=\frac{180° - ∠ DBE}{2}=\frac{180° - 20°}{2}=80°$。
∵ 点$B$、$E$、$C$共线，$∠ BED + ∠ DEC=180°$，
∴ $∠ DEC=180° - 80°=100°$。
答：$∠ DEC$的度数为$100°$。

【分析】
解题时先从已知的等腰$△ ABC$和顶角$∠ A$的度数入手，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理先算出底角$∠ ABC$的度数；再根据BD是$∠ ABC$的平分线，算出$∠ DBE$的度数；接下来由$BD=BE$可知$△ BDE$也是等腰三角形，再次利用等腰三角形两底角相等的性质和内角和定理算出$∠ BED$的度数；最后根据B、E、C三点共线，$∠ BED$和$∠ DEC$是邻补角，二者和为$180°$，即可求出$∠ DEC$的度数。
【解析】
∵ $AB=AC$，$∠ A=100°$，
∴ $∠ ABC=∠ C=\frac{180° - 100°}{2}=40°$。
∵ $BD$是$∠ ABC$的平分线，
∴ $∠ DBE=\frac{1}{2}∠ ABC=20°$。
∵ $BD=BE$，
∴ $△ BDE$是等腰三角形，
∴ $∠ BED=\frac{180° - ∠ DBE}{2}=\frac{180° - 20°}{2}=80°$。
∵ 点$B$、$E$、$C$共线，$∠ BED + ∠ DEC=180°$，
∴ $∠ DEC=180° - 80°=100°$。
【答案】
$100°$
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算题，侧重考查等腰三角形、角平分线等基础性质的应用，解题时按照已知条件逐步推导对应角的度数即可，逻辑清晰，容易上手。
【难度系数】
0.75

5. 提升题 在$△ ABC$中，$AB=AC$.
（1）如图①，若$∠ BAD=30°$，$AD$是$BC$边上的高，$AD=AE$，则$∠ EDC=$.
（2）如图②，若$∠ BAD=40°$，$AD$是$BC$边上的高，$AD=AE$，则$∠ EDC=$.
（3）思考：通过以上两题，你发现$∠ BAD$与$∠ EDC$之间有什么关系？请给予证明.

(1) $\boldsymbol{15°}$；(2) $\boldsymbol{20°}$

【分析】
本题围绕等腰三角形的性质展开求解：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质，AD同时是∠BAC的角平分线，可得∠BAD=∠CAD，且∠ADC=90°；再由AD=AE可知△ADE是等腰三角形，根据“等边对等角”可得∠ADE=∠AED，结合三角形内角和定理计算出∠ADE的度数，最后通过角的和差关系即可求出∠EDC的度数，再根据前两问的特殊值归纳出∠BAD和∠EDC的普遍关系并证明。
【解析】
（1）解：
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BAD=30°。
又
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-∠CAD)÷2=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-75°=15°。
（2）解：
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴AD平分∠BAC，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BAD=40°。
又
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-40°)÷2=70°，
∴∠EDC=90°-70°=20°。
（3）关系：$\boldsymbol{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$（或$\boldsymbol{∠BAD=2∠EDC}$），证明如下：
设∠BAD=x，
∵AB=AC，AD是BC边上的高，
∴∠CAD=∠BAD=x，∠ADC=90°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=(180°-x)÷2=90°-$\frac{1}{2}$x，
∴∠EDC=∠ADC - ∠ADE=90°-(90°-$\frac{1}{2}$x)=$\frac{1}{2}$x，
即∠EDC=$\frac{1}{2}$∠BAD。
【答案】
（1）$\boldsymbol{15°}$；（2）$\boldsymbol{20°}$；（3）$\boldsymbol{∠EDC=\frac{1}{2}∠BAD}$（或$\boldsymbol{∠BAD=2∠EDC}$）
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角的和差计算
【点评】
本题重点考查等腰三角形相关性质的灵活运用，解题时结合三线合一、等边对等角的性质推导角的等量关系，通过特殊值归纳一般规律，能有效锻炼逻辑推理和归纳总结能力。
【难度系数】
0.7