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三、解答题(本大题共52分)
13. (10分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-1}-\vert 2-\sqrt{3}\vert -(π -3.14{)}^{0}+\sqrt{(-2{)}^{2}}.$
13. (10分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-1}-\vert 2-\sqrt{3}\vert -(π -3.14{)}^{0}+\sqrt{(-2{)}^{2}}.$
答案
原式=2−(2−√3)−1+2=√3+1.
解析
【分析】
这是一道实数混合运算题，解题时需先拆分原式的各个运算项，分别依据对应法则计算每一项，再合并计算最终结果。具体思考步骤：①先回忆负整数指数幂、零指数幂、绝对值化简、二次根式化简的运算法则；②逐项计算每一个小项，注意绝对值和去括号的符号变化；③将计算后的各项合并同类项，得到最终结果。
【解析】
解：根据运算法则逐项计算：
1. 负整数指数幂：依据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
2. 绝对值化简：因为$2＞\sqrt{3}$，所以$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，故$-\vert 2-\sqrt{3}\vert=-(2-\sqrt{3})$
3. 零指数幂：依据非零数的0次幂为1，得$(π-3.14)^0=1$，故$-(π-3.14)^0=-1$
4. 二次根式化简：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2-(2-\sqrt{3})-1+2\\&=2-2+\sqrt{3}-1+2\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，实数混合运算
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查多个基础运算规则的综合运用，计算时需重点注意绝对值化简、去括号时的符号变化，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
这是一道实数混合运算题，解题时需先拆分原式的各个运算项，分别依据对应法则计算每一项，再合并计算最终结果。具体思考步骤：①先回忆负整数指数幂、零指数幂、绝对值化简、二次根式化简的运算法则；②逐项计算每一个小项，注意绝对值和去括号的符号变化；③将计算后的各项合并同类项，得到最终结果。
【解析】
解：根据运算法则逐项计算：
1. 负整数指数幂：依据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，得$(\frac{1}{2})^{-1}=2$
2. 绝对值化简：因为$2＞\sqrt{3}$，所以$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，故$-\vert 2-\sqrt{3}\vert=-(2-\sqrt{3})$
3. 零指数幂：依据非零数的0次幂为1，得$(π-3.14)^0=1$，故$-(π-3.14)^0=-1$
4. 二次根式化简：$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$
将各项代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=2-(2-\sqrt{3})-1+2\\&=2-2+\sqrt{3}-1+2\\&=\sqrt{3}+1\end{aligned}$
【答案】
$\sqrt{3}+1$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算，实数混合运算
【点评】
本题属于实数运算的常规基础题，核心考查多个基础运算规则的综合运用，计算时需重点注意绝对值化简、去括号时的符号变化，熟练掌握基础运算法则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
14. (14 分)解分式方程：
(1)$\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{2}{x-1}+1$；
(2)$\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{x^2-1}=1$.
(1)$\dfrac{x}{x+2}=\dfrac{2}{x-1}+1$；
(2)$\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{4}{x^2-1}=1$.
答案
(1)方程两边都乘(x−1)(x+2),
得x(x−1)=2(x+2)+(x−1)(x+2),
整理,得4x+2=0,解得x=−1/2.
经检验,x=−1/2是原分式方程的解,
故原分式方程的解为x=−1/2.
(2)方程两边都乘(x+1)(x−1),
得(x+1)²−4=(x+1)(x−1),
整理,得2x−2=0,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x−1)=0,
∴x=1是分式方程的增根.
故原分式方程无解.
得x(x−1)=2(x+2)+(x−1)(x+2),
整理,得4x+2=0,解得x=−1/2.
经检验,x=−1/2是原分式方程的解,
故原分式方程的解为x=−1/2.
(2)方程两边都乘(x+1)(x−1),
得(x+1)²−4=(x+1)(x−1),
整理,得2x−2=0,解得x=1.
检验:当x=1时,(x+1)(x−1)=0,
∴x=1是分式方程的增根.
故原分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，整体分为三步：第一步找最简公分母，先观察各分母特征，必要时对分母因式分解，确定所有分母的最简公分母；第二步去分母，方程两边同时乘最简公分母，消去所有分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；第三步解整式方程并验根，解出整式方程的根后，代入最简公分母检验，若公分母不为0，该根是原分式方程的解，若公分母为0，该根是增根，需要舍去。
针对第(1)题，分母为x+2和x-1，最简公分母为$(x+2)(x-1)$；第(2)题中$x^2-1$可因式分解为$(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
【解析】
(1) 方程两边都乘$(x-1)(x+2)$，得：
$x(x-1)=2(x+2)+(x-1)(x+2)$
展开并整理：
$x^2-x=2x+4+x^2+x-2$
移项合并同类项得：$4x+2=0$
解得：$x=-\dfrac{1}{2}$
经检验，当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)≠0$，是原分式方程的解。
(2) 方程两边都乘$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2-4=(x+1)(x-1)$
展开并整理：
$x^2+2x+1-4=x^2-1$
移项合并同类项得：$2x-2=0$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，舍去。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{1}{2}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，整式的运算
【点评】
本题属于分式方程的基础计算题型，重点考查分式方程的标准化求解步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、解完方程后忘记验根，熟练掌握解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，整体分为三步：第一步找最简公分母，先观察各分母特征，必要时对分母因式分解，确定所有分母的最简公分母；第二步去分母，方程两边同时乘最简公分母，消去所有分母得到整式方程，注意不要漏乘不含分母的项；第三步解整式方程并验根，解出整式方程的根后，代入最简公分母检验，若公分母不为0，该根是原分式方程的解，若公分母为0，该根是增根，需要舍去。
针对第(1)题，分母为x+2和x-1，最简公分母为$(x+2)(x-1)$；第(2)题中$x^2-1$可因式分解为$(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
【解析】
(1) 方程两边都乘$(x-1)(x+2)$，得：
$x(x-1)=2(x+2)+(x-1)(x+2)$
展开并整理：
$x^2-x=2x+4+x^2+x-2$
移项合并同类项得：$4x+2=0$
解得：$x=-\dfrac{1}{2}$
经检验，当$x=-\dfrac{1}{2}$时，$(x-1)(x+2)≠0$，是原分式方程的解。
(2) 方程两边都乘$(x+1)(x-1)$，得：
$(x+1)^2-4=(x+1)(x-1)$
展开并整理：
$x^2+2x+1-4=x^2-1$
移项合并同类项得：$2x-2=0$
解得：$x=1$
检验：当$x=1$时，$(x+1)(x-1)=0$，因此$x=1$是原分式方程的增根，舍去。
【答案】
(1) $x=-\dfrac{1}{2}$；(2) 无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定，整式的运算
【点评】
本题属于分式方程的基础计算题型，重点考查分式方程的标准化求解步骤，易错点为去分母时漏乘常数项、解完方程后忘记验根，熟练掌握解题步骤即可轻松得分。
【难度系数】
0.7
15. (12 分)先化简代数式$(\dfrac{x}{x+3}-\dfrac{x-3}{x^2-9})÷\dfrac{x^2-2x+1}{x+3}$，再从$0≤ x≤ 3$的范围内选择一个合适的整数代入求值.
答案
原式=[x(x−3)/((x+3)(x−3)) − (x−3)/((x+3)(x−3))] ÷ (x−1)²/(x+3) = (x−1)(x−3)/((x+3)(x−3)) · (x+3)/(x−1)² = 1/(x−1).
∵x≠±3且x≠1,
∴在0≤x≤3的范围内可取的整数只有0和2.
故当x=0时,原式=−1;
当x=2时,原式=1.
∵x≠±3且x≠1,
∴在0≤x≤3的范围内可取的整数只有0和2.
故当x=0时,原式=−1;
当x=2时,原式=1.
解析
【分析】
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步处理括号内的分式减法，先对分母$x^2-9$用平方差公式因式分解，找到两个分式的最简公分母，通分后计算分子的减法；第二步处理除法运算，将除法转化为乘除式的倒数，再对分子分母因式分解后约分，得到最简代数式；第三步选择合适的$x$代入，要先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的$x$值，再从$0≤x≤3$的整数中选取合适的数代入计算结果。
【解析】
解：先化简代数式：
对原式的分母因式分解可得：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
$\begin{split}原式&=[ \dfrac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \dfrac{x-3}{(x+3)(x-3)} ] ÷ \dfrac{(x-1)^2}{x+3} \\&=\dfrac{x(x-3)-(x-3)}{(x+3)(x-3)} × \dfrac{x+3}{(x-1)^2} \\&=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} × \dfrac{x+3}{(x-1)^2} \\&=\dfrac{1}{x-1}\end{split}$
再确定符合要求的$x$值：
要使分式有意义，则分母和除式均不为0，即$x+3≠0$，$x-3≠0$，$x-1≠0$，解得$x≠±3$且$x≠1$。
结合$0≤x≤3$且$x$为整数的条件，可选的整数为0、2。
当$x=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-1}=-1$；当$x=2$时，原式$=\dfrac{1}{2-1}=1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x-1}$，当$x=0$时，值为$-1$（或当$x=2$时，值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规考题，重点考查分式运算的规则和分式有意义的限制条件，解题时要注意选取代入的数值时，必须保证原式所有部分都有意义，不能只看题干给出的取值范围而忽略分母不为0的要求。
【难度系数】
0.6
本题是分式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步处理括号内的分式减法，先对分母$x^2-9$用平方差公式因式分解，找到两个分式的最简公分母，通分后计算分子的减法；第二步处理除法运算，将除法转化为乘除式的倒数，再对分子分母因式分解后约分，得到最简代数式；第三步选择合适的$x$代入，要先根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不符合要求的$x$值，再从$0≤x≤3$的整数中选取合适的数代入计算结果。
【解析】
解：先化简代数式：
对原式的分母因式分解可得：$x^2-9=(x+3)(x-3)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$
$\begin{split}原式&=[ \dfrac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \dfrac{x-3}{(x+3)(x-3)} ] ÷ \dfrac{(x-1)^2}{x+3} \\&=\dfrac{x(x-3)-(x-3)}{(x+3)(x-3)} × \dfrac{x+3}{(x-1)^2} \\&=\dfrac{(x-1)(x-3)}{(x+3)(x-3)} × \dfrac{x+3}{(x-1)^2} \\&=\dfrac{1}{x-1}\end{split}$
再确定符合要求的$x$值：
要使分式有意义，则分母和除式均不为0，即$x+3≠0$，$x-3≠0$，$x-1≠0$，解得$x≠±3$且$x≠1$。
结合$0≤x≤3$且$x$为整数的条件，可选的整数为0、2。
当$x=0$时，原式$=\dfrac{1}{0-1}=-1$；当$x=2$时，原式$=\dfrac{1}{2-1}=1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x-1}$，当$x=0$时，值为$-1$（或当$x=2$时，值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规考题，重点考查分式运算的规则和分式有意义的限制条件，解题时要注意选取代入的数值时，必须保证原式所有部分都有意义，不能只看题干给出的取值范围而忽略分母不为0的要求。
【难度系数】
0.6
16. (16分)如图,直线 $y=\frac{2}{3}x+4$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$,与 $y$ 轴相交于点 $B$.
(1)求 $△ AOB$ 的面积;
(2)过点 $B$ 作直线 $BC$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$,若 $△ ABC$ 的面积是 16,求点 $C$ 的坐标.
(1)求 $△ AOB$ 的面积;
(2)过点 $B$ 作直线 $BC$ 与 $x$ 轴相交于点 $C$,若 $△ ABC$ 的面积是 16,求点 $C$ 的坐标.
答案
(1)把x=0代入y=2/3 x+4,得y=4,
∴B(0,4).
把y=0代入y=2/3 x+4,得x=−6,
∴A(−6,0).
∴S△AOB=1/2 ×4×6=12.
(2)由题意,得点B到AC的距离是4,
∴S△ABC=1/2 ×4AC=16,解得AC=8.
又A(−6,0),
∴点C的坐标为(−14,0)或(2,0).
∴B(0,4).
把y=0代入y=2/3 x+4,得x=−6,
∴A(−6,0).
∴S△AOB=1/2 ×4×6=12.
(2)由题意,得点B到AC的距离是4,
∴S△ABC=1/2 ×4AC=16,解得AC=8.
又A(−6,0),
∴点C的坐标为(−14,0)或(2,0).
解析
【分析】
(1) 要计算△AOB的面积，首先需确定点A、B的坐标：与x轴交点令y=0求x值，与y轴交点令x=0求y值，得到OA、OB的长度后，结合△AOB是直角三角形，用面积公式计算即可。
(2) △ABC的底边AC在x轴上，高为点B到x轴的距离（即OB的长度4），已知面积可先求出AC的长度；再结合点A的坐标，分点C在点A左侧、右侧两种情况计算C的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
把$x=0$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得$y=4$，
∴$B(0,4)$，即$OB=4$；
把$y=0$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，
∴$A(-6,0)$，即$OA=6$。
△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，因此：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×6×4=12$。
(2) 点B到x轴的距离为4，即△ABC中AC边上的高为4，
由$S_{△ ABC}=16$，得$\frac{1}{2}×AC×4=16$，解得$AC=8$。
已知$A(-6,0)$，点C在x轴上：
①若点C在点A左侧，横坐标为$-6-8=-14$，即$C(-14,0)$；
②若点C在点A右侧，横坐标为$-6+8=2$，即$C(2,0)$。
【答案】
(1) $△ AOB$的面积为12；
(2) 点C的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$。
【知识点】
1. 一次函数交点求法
2. 三角形面积公式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础常考题，重点考查一次函数与坐标轴交点的求解方法，第二问需要注意点C的位置有两种情况，避免漏解，掌握基础概念和分类讨论思路即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要计算△AOB的面积，首先需确定点A、B的坐标：与x轴交点令y=0求x值，与y轴交点令x=0求y值，得到OA、OB的长度后，结合△AOB是直角三角形，用面积公式计算即可。
(2) △ABC的底边AC在x轴上，高为点B到x轴的距离（即OB的长度4），已知面积可先求出AC的长度；再结合点A的坐标，分点C在点A左侧、右侧两种情况计算C的坐标，避免漏解。
【解析】
(1) 求A、B两点坐标：
把$x=0$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得$y=4$，
∴$B(0,4)$，即$OB=4$；
把$y=0$代入$y=\frac{2}{3}x+4$，得$0=\frac{2}{3}x+4$，解得$x=-6$，
∴$A(-6,0)$，即$OA=6$。
△AOB为直角三角形，∠AOB=90°，因此：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×OA×OB=\frac{1}{2}×6×4=12$。
(2) 点B到x轴的距离为4，即△ABC中AC边上的高为4，
由$S_{△ ABC}=16$，得$\frac{1}{2}×AC×4=16$，解得$AC=8$。
已知$A(-6,0)$，点C在x轴上：
①若点C在点A左侧，横坐标为$-6-8=-14$，即$C(-14,0)$；
②若点C在点A右侧，横坐标为$-6+8=2$，即$C(2,0)$。
【答案】
(1) $△ AOB$的面积为12；
(2) 点C的坐标为$(-14,0)$或$(2,0)$。
【知识点】
1. 一次函数交点求法
2. 三角形面积公式
3. 分类讨论思想
【点评】
本题是一次函数与几何结合的基础常考题，重点考查一次函数与坐标轴交点的求解方法，第二问需要注意点C的位置有两种情况，避免漏解，掌握基础概念和分类讨论思路即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
