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22.(本题10分)某服装店在销售A,B两款服装时,销售员记录了从4月到6月的销售情况,请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题。
素材1 A款服装每销售一件可盈利100元,已知4月份销售量为64件,且销售量逐月递增,6月份销售量达到100件。B款服装每销售一件可盈利150元,每月的销售量均为80件。
素材2 7月开始换季,服装店仅对A款服装进行降价销售,根据往年数据测算:以6月份的月销售量为基准,A款服装每降5元,其月销售量增加25件,同时会使B款服装月销售量减少10件。
问题解决 问题1:求6月份销售A,B两款服装的利润之和。
问题2:求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率。
问题3:为了使7月份销售A,B两款服装的利润之和达到22 500元,那么A款服装应降价多少元?
素材1 A款服装每销售一件可盈利100元,已知4月份销售量为64件,且销售量逐月递增,6月份销售量达到100件。B款服装每销售一件可盈利150元,每月的销售量均为80件。
素材2 7月开始换季,服装店仅对A款服装进行降价销售,根据往年数据测算:以6月份的月销售量为基准,A款服装每降5元,其月销售量增加25件,同时会使B款服装月销售量减少10件。
问题解决 问题1:求6月份销售A,B两款服装的利润之和。
问题2:求A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率。
问题3:为了使7月份销售A,B两款服装的利润之和达到22 500元,那么A款服装应降价多少元?
答案
解:(1)$100×100+80×150=22\ 000$(元)。答:6月份销售A,B两款服装的利润这和是22 000元;
(2)设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$,由题意可以列出方程$64(1+x)^2=100$,解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不合题意,舍去)。答:A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%;
(3)设A款服装应降价$y$元,由题意可以列出方程$(100-y)(100+\dfrac{25}{5}y)+150(80-\dfrac{10}{5}y)=22\ 500$。解得$y_1=y_2=10$。答:A款服装应降价10元。
(2)设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$,由题意可以列出方程$64(1+x)^2=100$,解得$x_1=0.25=25\%$,$x_2=-2.25$(不合题意,舍去)。答:A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%;
(3)设A款服装应降价$y$元,由题意可以列出方程$(100-y)(100+\dfrac{25}{5}y)+150(80-\dfrac{10}{5}y)=22\ 500$。解得$y_1=y_2=10$。答:A款服装应降价10元。
解析
【分析】
本题需从素材中提取对应数据，分三步解决问题：问题1需分别计算6月A、B两款服装的利润后求和，利润公式为“单件盈利×销售量”；问题2利用平均月增长率的公式，设增长率为x，根据4月和6月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负解；问题3设A款降价金额为y元，根据素材2的销量变化规则，分别表示出7月A、B的单件盈利和销售量，再依据总利润为22500元建立方程求解。
【解析】
解：(1) 6月份A款服装利润为 $100×100 = 10000$ 元，B款服装利润为 $80×150 = 12000$ 元，两者利润之和为 $10000 + 12000 = 22000$ 元；
(2) 设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$，由题意得：
$64(1+x)^2 = 100$，
解得 $x_1 = 0.25 = 25\%$，$x_2 = -2.25$（销售量增长率不能为负，舍去）；
(3) 设A款服装应降价$y$元，由题意得：
$(100 - y)(100 + \frac{25}{5}y) + 150(80 - \frac{10}{5}y) = 22500$，
化简得：$(100 - y)(100 + 5y) + 150(80 - 2y) = 22500$，
展开计算后解得 $y_1 = y_2 = 10$。
【答案】
(1) 6月份销售A、B两款服装的利润之和是22000元；
(2) A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%；
(3) A款服装应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题
【点评】
本题为实际应用类问题，需精准提取素材中的数据，找准等量关系建立方程，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，考查学生的数据分析与方程应用能力。
【难度系数】
0.6
本题需从素材中提取对应数据，分三步解决问题：问题1需分别计算6月A、B两款服装的利润后求和，利润公式为“单件盈利×销售量”；问题2利用平均月增长率的公式，设增长率为x，根据4月和6月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负解；问题3设A款降价金额为y元，根据素材2的销量变化规则，分别表示出7月A、B的单件盈利和销售量，再依据总利润为22500元建立方程求解。
【解析】
解：(1) 6月份A款服装利润为 $100×100 = 10000$ 元，B款服装利润为 $80×150 = 12000$ 元，两者利润之和为 $10000 + 12000 = 22000$ 元；
(2) 设A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为$x$，由题意得：
$64(1+x)^2 = 100$，
解得 $x_1 = 0.25 = 25\%$，$x_2 = -2.25$（销售量增长率不能为负，舍去）；
(3) 设A款服装应降价$y$元，由题意得：
$(100 - y)(100 + \frac{25}{5}y) + 150(80 - \frac{10}{5}y) = 22500$，
化简得：$(100 - y)(100 + 5y) + 150(80 - 2y) = 22500$，
展开计算后解得 $y_1 = y_2 = 10$。
【答案】
(1) 6月份销售A、B两款服装的利润之和是22000元；
(2) A款服装从4月到6月销售量的平均月增长率为25%；
(3) A款服装应降价10元。
【知识点】
一元二次方程的应用、利润问题
【点评】
本题为实际应用类问题，需精准提取素材中的数据，找准等量关系建立方程，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，考查学生的数据分析与方程应用能力。
【难度系数】
0.6
23.(本题10分)关于$x$的一元二次方程$x^2 -5x +k=0$有实数根。
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$k$是符合条件的最大整数，且关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 +x +m -3=0$与方程$x^2 -5x +k=0$有一个相同的根，求此时$m$的值；
(3)若方程$x^2 -5x +k=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，满足$x_1=4x_2$，求此时$k$的值。
(1)求$k$的取值范围；
(2)如果$k$是符合条件的最大整数，且关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 +x +m -3=0$与方程$x^2 -5x +k=0$有一个相同的根，求此时$m$的值；
(3)若方程$x^2 -5x +k=0$的两个实数根为$x_1,x_2$，满足$x_1=4x_2$，求此时$k$的值。
答案
解:(1)因为关于$x$的一元二次方程$x^2-5x+k=0$有实数根,所以$\Delta=(-5)^2-4k≥0$,解得$k≤\dfrac{25}{4}$;
(2)由(1)知,$k$的最大整数值为6。解方程$x^2-5x+6=0$,得$x_1=2$,$x_2=3$。将$x=2$代入$(m-1)x^2+x+m-3=0$,得$4(m-1)+2+m-3=0$,解得$m=1$。因为$m-1≠0$,所以$m≠1$,故此情况舍去。将$x=3$代入$(m-1)x^2+x+m-3=0$得,$9(m-1)+3+m-3=0$,解得$m=\dfrac{9}{10}$,综上所述,$m$的值为$\dfrac{9}{10}$;
(3)因为方程$x^2-5x+k=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=5$。因为$x_1=4x_2$,所以$4x_2+x_2=5$,解得$x_2=1$。将$x=1$代入$x^2-5x+k=0$得,$1-5+k=0$,解得$k=4$,所以$k$的值为4。
(2)由(1)知,$k$的最大整数值为6。解方程$x^2-5x+6=0$,得$x_1=2$,$x_2=3$。将$x=2$代入$(m-1)x^2+x+m-3=0$,得$4(m-1)+2+m-3=0$,解得$m=1$。因为$m-1≠0$,所以$m≠1$,故此情况舍去。将$x=3$代入$(m-1)x^2+x+m-3=0$得,$9(m-1)+3+m-3=0$,解得$m=\dfrac{9}{10}$,综上所述,$m$的值为$\dfrac{9}{10}$;
(3)因为方程$x^2-5x+k=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=5$。因为$x_1=4x_2$,所以$4x_2+x_2=5$,解得$x_2=1$。将$x=1$代入$x^2-5x+k=0$得,$1-5+k=0$,解得$k=4$,所以$k$的值为4。
解析
【分析】
1. 第(1)问：一元二次方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，据此列不等式求解k的取值范围；
2. 第(2)问：先从(1)的范围中确定符合条件的最大整数k，代入第一个方程求出两根，再将两根分别代入含m的一元二次方程，同时注意该方程为一元二次方程需满足二次项系数不为0，舍去不符合的解，得到m的值；
3. 第(3)问：利用韦达定理（根与系数的关系），结合已知x₁=4x₂求出两根，再代入原方程计算k的值。
【解析】
解:(1)因为关于$x$的一元二次方程$x^2-5x+k=0$有实数根，所以$\Delta=(-5)^2-4k≥0$，即$25-4k≥0$，解得$k≤\dfrac{25}{4}$；
(2)由(1)知，$k≤\dfrac{25}{4}=6.25$，所以符合条件的最大整数$k=6$。此时方程为$x^2-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
将$x=2$代入方程$(m-1)x^2 +x +m -3=0$，得$4(m-1)+2+m-3=0$，展开合并得$5m-5=0$，解得$m=1$。因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$，故$m=1$舍去。
将$x=3$代入方程$(m-1)x^2 +x +m -3=0$，得$9(m-1)+3+m-3=0$，展开合并得$10m-9=0$，解得$m=\dfrac{9}{10}$，符合$m-1≠0$，所以$m=\dfrac{9}{10}$；
(3)对于方程$x^2-5x+k=0$，由韦达定理得两根之和$x_1+x_2=5$。已知$x_1=4x_2$，代入得$4x_2+x_2=5$，即$5x_2=5$，解得$x_2=1$，则$x_1=4$。将$x=1$代入原方程得$1-5+k=0$，解得$k=4$。
【答案】
(1)$k≤\dfrac{25}{4}$；(2)$m=\dfrac{9}{10}$；(3)$k=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、韦达定理、一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的核心基础知识点，题型常规，注重运算能力和隐含条件（二次项系数不为0）的考查，是初中数学常考题型，需熟练掌握判别式、韦达定理的应用。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：一元二次方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，据此列不等式求解k的取值范围；
2. 第(2)问：先从(1)的范围中确定符合条件的最大整数k，代入第一个方程求出两根，再将两根分别代入含m的一元二次方程，同时注意该方程为一元二次方程需满足二次项系数不为0，舍去不符合的解，得到m的值；
3. 第(3)问：利用韦达定理（根与系数的关系），结合已知x₁=4x₂求出两根，再代入原方程计算k的值。
【解析】
解:(1)因为关于$x$的一元二次方程$x^2-5x+k=0$有实数根，所以$\Delta=(-5)^2-4k≥0$，即$25-4k≥0$，解得$k≤\dfrac{25}{4}$；
(2)由(1)知，$k≤\dfrac{25}{4}=6.25$，所以符合条件的最大整数$k=6$。此时方程为$x^2-5x+6=0$，因式分解得$(x-2)(x-3)=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。
将$x=2$代入方程$(m-1)x^2 +x +m -3=0$，得$4(m-1)+2+m-3=0$，展开合并得$5m-5=0$，解得$m=1$。因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数$m-1≠0$，即$m≠1$，故$m=1$舍去。
将$x=3$代入方程$(m-1)x^2 +x +m -3=0$，得$9(m-1)+3+m-3=0$，展开合并得$10m-9=0$，解得$m=\dfrac{9}{10}$，符合$m-1≠0$，所以$m=\dfrac{9}{10}$；
(3)对于方程$x^2-5x+k=0$，由韦达定理得两根之和$x_1+x_2=5$。已知$x_1=4x_2$，代入得$4x_2+x_2=5$，即$5x_2=5$，解得$x_2=1$，则$x_1=4$。将$x=1$代入原方程得$1-5+k=0$，解得$k=4$。
【答案】
(1)$k≤\dfrac{25}{4}$；(2)$m=\dfrac{9}{10}$；(3)$k=4$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、韦达定理、一元二次方程的解
【点评】
本题考查一元二次方程的核心基础知识点，题型常规，注重运算能力和隐含条件（二次项系数不为0）的考查，是初中数学常考题型，需熟练掌握判别式、韦达定理的应用。
【难度系数】
0.6
