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1[2026江苏盐城期中,较难]课本再现
如果一个多项式中只含一个字母,那么就称它为一元多项式.对于两个含字母x的一元多项式,当x任取一个数时,如果这两个多项式的值都是相等的,那么就称这两个一元多项式是恒等的.
例如:$1-(2x-3x^3)$与$1-2x+3x^3$.
当x任取一个数时,如$x=0,-1,1,···,a$,这两个多项式的值都相等.因此,多项式$1-(2x-3x^3)$与$1-2x+3x^3$是恒等的.
如果两个多项式恒等,那么将这两个多项式分别合并同类项之后,其系数一定对应相等.
(1)若关于x的多项式$4x^2+ax+5$(其中a为常数)与$bx^2 -x +c$(其中b,c为常数)是恒等的,则$a=$
(2)七年级数海遨游社团的同学们对恒等式$(2x-1)^5=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$展开了深入研究,他们发现$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$的值可以计算,当$x=1$时,左边$=(2×1 -1)^5=1$,右边$=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$,所以$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$.
请你参考他们的研究过程,求以下代数式的值:
①$a_5$;
②$a_0 -a_1 +a_2 -a_3 +a_4 -a_5$;
③$a_1 +a_3$.
如果一个多项式中只含一个字母,那么就称它为一元多项式.对于两个含字母x的一元多项式,当x任取一个数时,如果这两个多项式的值都是相等的,那么就称这两个一元多项式是恒等的.
例如:$1-(2x-3x^3)$与$1-2x+3x^3$.
当x任取一个数时,如$x=0,-1,1,···,a$,这两个多项式的值都相等.因此,多项式$1-(2x-3x^3)$与$1-2x+3x^3$是恒等的.
如果两个多项式恒等,那么将这两个多项式分别合并同类项之后,其系数一定对应相等.
(1)若关于x的多项式$4x^2+ax+5$(其中a为常数)与$bx^2 -x +c$(其中b,c为常数)是恒等的,则$a=$
-1
,$b=$4
,$c=$5
.(2)七年级数海遨游社团的同学们对恒等式$(2x-1)^5=a_0x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5$展开了深入研究,他们发现$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$的值可以计算,当$x=1$时,左边$=(2×1 -1)^5=1$,右边$=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$,所以$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$.
请你参考他们的研究过程,求以下代数式的值:
①$a_5$;
②$a_0 -a_1 +a_2 -a_3 +a_4 -a_5$;
③$a_1 +a_3$.
答案
(1)因为关于x的多项式$4x^2+ax+5$与$bx^2-x+c$是恒等的,所以$4x^2+ax+5=bx^2-x+c$,所以$a=-1,b=4,c=5$.
(2)①在题中所给恒等式中,当$x=0$时,左边=$(2×0-1)^5=-1$,右边=$a_5$,所以$a_5=-1$.
②在题中所给恒等式中,当$x=-1$时,左边=$[2×(-1)-1]^5=-243$,右边=$-a_0+a_1-a_2+a_3-a_4+a_5$,所以$-a_0+a_1-a_2+a_3-a_4+a_5=-243$,所以$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=243$.
③因为$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$,$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=243$,所以$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5)=1-243$,所以$a_1+a_3+a_5=-121$.因为$a_5=-1$,所以$a_1+a_3=-120$.
(2)①在题中所给恒等式中,当$x=0$时,左边=$(2×0-1)^5=-1$,右边=$a_5$,所以$a_5=-1$.
②在题中所给恒等式中,当$x=-1$时,左边=$[2×(-1)-1]^5=-243$,右边=$-a_0+a_1-a_2+a_3-a_4+a_5$,所以$-a_0+a_1-a_2+a_3-a_4+a_5=-243$,所以$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=243$.
③因为$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$,$a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=243$,所以$(a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)-(a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5)=1-243$,所以$a_1+a_3+a_5=-121$.因为$a_5=-1$,所以$a_1+a_3=-120$.
2[2026 山西朔州期中,中]综合与实践
问题情境:密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学,它与数学息息相关.例如,对于密文“Nqxg”,如果给一把破译它的“钥匙”——“$x-2$”,联想英语字母表中字母的顺序:abcdefghijklmnopqrstuvwxyz,且规定a又接在z的后面,使26个字母排成圈,那么就能想到$x-2$可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动2位的字母”,若密文中字母为大写,则明文中相应字母也为大写,按这个规则可知密文中字母N对应字母L,字母q对应字母o,字母x对应字母v,字母g对应字母e,则密文“Nqxg”转化为明文“Love”,即“Nqxg”→“Love”.
(1)按材料中的“钥匙”依次破译密文“Ejkpc”中的每个字母,并写出明文.
(2)设置新的“钥匙”,规则如下:
令26个英文字母a,b,c,…,z依次对应自然数1,2,3,…,26.对于密文“01 10 38 19”,给出密文与明文的关系:当密文中的两位数$x$为奇数时,明文对应的自然数为$x+1$;当密文中的两位数$x$为偶数时,明文对应的自然数为$\frac{x}{2}$.然后再将转换后的自然数换成相应的英文字母即可完成破译.
①请将密文“01 10 38 19”破译成用英文字母表示的明文;
②已知多项式$5x^2y^5+2x^3z+10$和密文“△□○○■”,其中“△”为多项式的次数,“□”为多项式的四次项的系数,“○”等于“□”的5次方,“■”为多项式的最高次项的系数与常数项的积,直接写出密文“△□○○■”所对应的用英文字母表示的明文.
问题情境:密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学,它与数学息息相关.例如,对于密文“Nqxg”,如果给一把破译它的“钥匙”——“$x-2$”,联想英语字母表中字母的顺序:abcdefghijklmnopqrstuvwxyz,且规定a又接在z的后面,使26个字母排成圈,那么就能想到$x-2$可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动2位的字母”,若密文中字母为大写,则明文中相应字母也为大写,按这个规则可知密文中字母N对应字母L,字母q对应字母o,字母x对应字母v,字母g对应字母e,则密文“Nqxg”转化为明文“Love”,即“Nqxg”→“Love”.
(1)按材料中的“钥匙”依次破译密文“Ejkpc”中的每个字母,并写出明文.
(2)设置新的“钥匙”,规则如下:
令26个英文字母a,b,c,…,z依次对应自然数1,2,3,…,26.对于密文“01 10 38 19”,给出密文与明文的关系:当密文中的两位数$x$为奇数时,明文对应的自然数为$x+1$;当密文中的两位数$x$为偶数时,明文对应的自然数为$\frac{x}{2}$.然后再将转换后的自然数换成相应的英文字母即可完成破译.
①请将密文“01 10 38 19”破译成用英文字母表示的明文;
②已知多项式$5x^2y^5+2x^3z+10$和密文“△□○○■”,其中“△”为多项式的次数,“□”为多项式的四次项的系数,“○”等于“□”的5次方,“■”为多项式的最高次项的系数与常数项的积,直接写出密文“△□○○■”所对应的用英文字母表示的明文.
答案
(1)密文中字母E对应字母C,密文中字母j对应字母h,密文中字母k对应字母i,密文中字母p对应字母n,密文中字母c对应字母a,所以明文为China.
(2)①密文“01 10 38 19”中,01为奇数,明文对应的自然数为2,即字母为b,10为偶数,明文对应的自然数为5,即字母为e,38为偶数,明文对应的自然数为19,即字母为s,19为奇数,明文对应的自然数为20,即字母为t,所以密文“01 10 38 19”对应的用英文字母表示的明文为best.
②因为多项式$5x^2y^5+2x^3z+10$的次数为7,所以“△”表示的数为7.因为多项式$5x^2y^5+2x^3z+10$的四次项为$2x^3z$,它的系数为2,所以“□”表示的数为2.因为“○”等于“□”的5次方,所以“○”表示的数为$2^5=32$.因为“■”为多项式的最高次项的系数与常数项的积,所以“■”表示的数为$5×10=50$,所以密文为“07 02 32 32 50”.7为奇数,明文对应的自然数为8,即字母为h,2为偶数,明文对应的自然数为1,即字母为a,32为偶数,明文对应的自然数为16,即字母为p,50为偶数,明文对应的自然数为25,即字母为y,所以密文“07 02 32 32 50”对应的用英文字母表示的明文为happy.
(2)①密文“01 10 38 19”中,01为奇数,明文对应的自然数为2,即字母为b,10为偶数,明文对应的自然数为5,即字母为e,38为偶数,明文对应的自然数为19,即字母为s,19为奇数,明文对应的自然数为20,即字母为t,所以密文“01 10 38 19”对应的用英文字母表示的明文为best.
②因为多项式$5x^2y^5+2x^3z+10$的次数为7,所以“△”表示的数为7.因为多项式$5x^2y^5+2x^3z+10$的四次项为$2x^3z$,它的系数为2,所以“□”表示的数为2.因为“○”等于“□”的5次方,所以“○”表示的数为$2^5=32$.因为“■”为多项式的最高次项的系数与常数项的积,所以“■”表示的数为$5×10=50$,所以密文为“07 02 32 32 50”.7为奇数,明文对应的自然数为8,即字母为h,2为偶数,明文对应的自然数为1,即字母为a,32为偶数,明文对应的自然数为16,即字母为p,50为偶数,明文对应的自然数为25,即字母为y,所以密文“07 02 32 32 50”对应的用英文字母表示的明文为happy.
