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拓展9.1 (2025·镇江京口区月考)如图所示的轻质杠杆OA长30 cm,可绕支点O转动,A端用细线竖直向上拉着,离O点20 cm的B点挂一重为30 N的重物,忽略一切摩擦,当杠杆在水平位置平衡时.
(1)求细线上拉力的大小.
(2)保持细绳的位置不变,当细绳的拉力变为25 N时,求移动重物至距离A点多少厘米处才能使杠杆重新平衡.
(3)若杠杆自重不能忽略不计,物体悬挂在B点时,在A点用一大小为25 N,竖直向上的力把重为30 N的重物匀速提升0.4 m,A点上升0.6 m,求杠杆的机械效率.
(4)根据上一问的条件,求杠杆自重.
(1)求细线上拉力的大小.
(2)保持细绳的位置不变,当细绳的拉力变为25 N时,求移动重物至距离A点多少厘米处才能使杠杆重新平衡.
(3)若杠杆自重不能忽略不计,物体悬挂在B点时,在A点用一大小为25 N,竖直向上的力把重为30 N的重物匀速提升0.4 m,A点上升0.6 m,求杠杆的机械效率.
(4)根据上一问的条件,求杠杆自重.
答案
拓展9.1 (1)20 N (2)5 cm (3)80% (4)10 N
[解析](1)根据杠杆平衡的条件可得$G×l_{OB}=F×l_{OA}$,代入数据为$30\ \mathrm{N}×20\ \mathrm{cm}=F×30\ \mathrm{cm}$,解得F=20 N.(2)当细绳的拉力变为25 N时,根据杠杆平衡的条件可得$G×l_G=F×l_{OA}$,代入数据为$30\ \mathrm{N}×l_G=25\ \mathrm{N}×30\ \mathrm{cm}$,解得$l_G=25\ \mathrm{cm}$,则重物距离A点的距离为L=30 cm-25 cm=5 cm.(3)向上提升物体的过程中做的有用功为$W_{有用}=Gh=30\ \mathrm{N}×0.4\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{J}$,总功为$W_总=Fs=25\ \mathrm{N}×0.6\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{J}$,杠杆的机械效率是$\eta=\frac{W_{有用}}{W_总}×100\%=\frac{12\ \mathrm{J}}{15\ \mathrm{J}}×100\%=80\%$.(4)提升杠杆的过程中,做的额外功是克服杠杆的重力做功,额外功为$W_{额外}=W_总-W_{有用}=15\ \mathrm{J}-12\ \mathrm{J}=3\ \mathrm{J}$,杠杆的重心在其中点上,根据数学三角形相似可知,当A点向上提升0.6 m时,杠杆的重心向上提升0.3 m,则杠杆的重力为$G_{杆}=\frac{W_{额外}}{h'}=\frac{3\ \mathrm{J}}{0.3\ \mathrm{m}}=10\ \mathrm{N}$.
[解析](1)根据杠杆平衡的条件可得$G×l_{OB}=F×l_{OA}$,代入数据为$30\ \mathrm{N}×20\ \mathrm{cm}=F×30\ \mathrm{cm}$,解得F=20 N.(2)当细绳的拉力变为25 N时,根据杠杆平衡的条件可得$G×l_G=F×l_{OA}$,代入数据为$30\ \mathrm{N}×l_G=25\ \mathrm{N}×30\ \mathrm{cm}$,解得$l_G=25\ \mathrm{cm}$,则重物距离A点的距离为L=30 cm-25 cm=5 cm.(3)向上提升物体的过程中做的有用功为$W_{有用}=Gh=30\ \mathrm{N}×0.4\ \mathrm{m}=12\ \mathrm{J}$,总功为$W_总=Fs=25\ \mathrm{N}×0.6\ \mathrm{m}=15\ \mathrm{J}$,杠杆的机械效率是$\eta=\frac{W_{有用}}{W_总}×100\%=\frac{12\ \mathrm{J}}{15\ \mathrm{J}}×100\%=80\%$.(4)提升杠杆的过程中,做的额外功是克服杠杆的重力做功,额外功为$W_{额外}=W_总-W_{有用}=15\ \mathrm{J}-12\ \mathrm{J}=3\ \mathrm{J}$,杠杆的重心在其中点上,根据数学三角形相似可知,当A点向上提升0.6 m时,杠杆的重心向上提升0.3 m,则杠杆的重力为$G_{杆}=\frac{W_{额外}}{h'}=\frac{3\ \mathrm{J}}{0.3\ \mathrm{m}}=10\ \mathrm{N}$.
10. 跨学科 吊车与绞车的工作原理分析 （2025·苏州模拟）
如图甲所示是欧洲中世纪使用的吊车,如图乙所示是我国古人使用的绞车.关于吊车与绞车的认识,下列说法错误的是(
A.图甲的吊车是轮轴与定滑轮的组合
B.图甲中工人脚踩巨轮走过的距离一定大于重物上升的高度
C.图乙的绞车是轮轴与定滑轮、动滑轮的组合
D.图乙中的定滑轮改变了施力方向
如图甲所示是欧洲中世纪使用的吊车,如图乙所示是我国古人使用的绞车.关于吊车与绞车的认识,下列说法错误的是(
C
).A.图甲的吊车是轮轴与定滑轮的组合
B.图甲中工人脚踩巨轮走过的距离一定大于重物上升的高度
C.图乙的绞车是轮轴与定滑轮、动滑轮的组合
D.图乙中的定滑轮改变了施力方向
答案
10. C [解析]图甲的吊车是轮轴与定滑轮的组合,故A正确,不符合题意;轮轴省力,但是费距离,故图甲中工人脚踩巨轮走过的距离一定大于重物上升的高度,故B正确,不符合题意;图乙的绞车是轮轴与两个定滑轮的组合,故C错误,符合题意;图乙中的定滑轮改变了施力方向,故D正确,不符合题意.
拓展10.1 (2025·常州溧阳期末)杆秤是我国古代劳动人民的一项伟大发明,小明仿照如图甲所示的杆秤用轻质细杆制作了一个杆秤(如图乙所示),B、C处各有一提纽.秤砣最远可移至E点,已知$AB=BC=4\ \mathrm{cm}$,$BD=DE$.秤砣的质量为0.4 kg,秤杆、秤钩和提纽的质量均忽略不计.为了在杆秤上标定出测量需要的刻度值,将质量为3 kg的钩码挂在秤钩上,用手提起B处的提纽,移动秤砣在秤杆上悬挂的位置,至D点时,秤杆达到水平平衡,此时就可以在D点标定出刻度值为$m_{1}=3\ \mathrm{kg}.g$取$10\ \mathrm{N/kg}$.求:
(1)$BD$的长度;
(2)提起C处的秤纽时,在D点应标定出的刻度值$m_{1}'$;
(3)此杆秤能称量物体的最大质量$m_{\mathrm{最大}}$.
(1)$BD$的长度;
(2)提起C处的秤纽时,在D点应标定出的刻度值$m_{1}'$;
(3)此杆秤能称量物体的最大质量$m_{\mathrm{最大}}$.
答案
拓展10.1 (1)30 cm (2)1.3 kg (3)6 kg
[解析](1)物体的拉力等于重力,则$F_1=m_1g=3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=30\ \mathrm{N}$,$F_2=m_2g=0.4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=4\ \mathrm{N}$,提起B处的提纽时,由$F_1 · l_{AB}=F_2 · l_{BD}$,可得$l_{BD}=\frac{F_1 · l_{AB}}{F_2}=\frac{30\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{cm}}{4\ \mathrm{N}}=30\ \mathrm{cm}$.(2)提起C处的秤纽时,$l_{AC}=l_{AB}+l_{BC}=4\ \mathrm{cm}+4\ \mathrm{cm}=8\ \mathrm{cm}$,$l_{CD}=l_{BD}-l_{BC}=30\ \mathrm{cm}-4\ \mathrm{cm}=26\ \mathrm{cm}$,根据杠杆平衡条件知,可得$F_1' · l_{AC}=F_2 · l_{CD}$,$F_1'=\frac{F_2 · l_{CD}}{l_{AC}}=\frac{4\ \mathrm{N}×26\ \mathrm{cm}}{8\ \mathrm{cm}}=13\ \mathrm{N}$,所以在D点应标定出的刻度值$m_1'=\frac{F_1'}{g}=\frac{13\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1.3\ \mathrm{kg}$.(3)分析可知,当提起B处的提纽,秤砣移至E点时,此杆秤称量物体的质量最大.$l_{BE}=2l_{BD}=2×30\ \mathrm{cm}=60\ \mathrm{cm}$,根据杠杆平衡条件可得,$m_{最大}g · l_{AB}=F_2 · l_{BE}$,$m_{最大}=\frac{F_2 · l_{BE}}{l_{AB} · g}=\frac{4\ \mathrm{N}×60\ \mathrm{cm}}{4\ \mathrm{cm}×10\ \mathrm{N/kg}}=6\ \mathrm{kg}$.
[解析](1)物体的拉力等于重力,则$F_1=m_1g=3\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=30\ \mathrm{N}$,$F_2=m_2g=0.4\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=4\ \mathrm{N}$,提起B处的提纽时,由$F_1 · l_{AB}=F_2 · l_{BD}$,可得$l_{BD}=\frac{F_1 · l_{AB}}{F_2}=\frac{30\ \mathrm{N}×4\ \mathrm{cm}}{4\ \mathrm{N}}=30\ \mathrm{cm}$.(2)提起C处的秤纽时,$l_{AC}=l_{AB}+l_{BC}=4\ \mathrm{cm}+4\ \mathrm{cm}=8\ \mathrm{cm}$,$l_{CD}=l_{BD}-l_{BC}=30\ \mathrm{cm}-4\ \mathrm{cm}=26\ \mathrm{cm}$,根据杠杆平衡条件知,可得$F_1' · l_{AC}=F_2 · l_{CD}$,$F_1'=\frac{F_2 · l_{CD}}{l_{AC}}=\frac{4\ \mathrm{N}×26\ \mathrm{cm}}{8\ \mathrm{cm}}=13\ \mathrm{N}$,所以在D点应标定出的刻度值$m_1'=\frac{F_1'}{g}=\frac{13\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}}=1.3\ \mathrm{kg}$.(3)分析可知,当提起B处的提纽,秤砣移至E点时,此杆秤称量物体的质量最大.$l_{BE}=2l_{BD}=2×30\ \mathrm{cm}=60\ \mathrm{cm}$,根据杠杆平衡条件可得,$m_{最大}g · l_{AB}=F_2 · l_{BE}$,$m_{最大}=\frac{F_2 · l_{BE}}{l_{AB} · g}=\frac{4\ \mathrm{N}×60\ \mathrm{cm}}{4\ \mathrm{cm}×10\ \mathrm{N/kg}}=6\ \mathrm{kg}$.
