23. (10分)已知$AB// CD$，E,F分别是AB,CD上的点，点M在AB,CD两平行线之间.
(1)平行线具有“等角转化”的功能，将$∠ AEM$和$∠ CFM$通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系.如图1，若$∠ AEM=45°$，$∠ CFM=25°$时，则$∠ EMF=\_\_\_\_\_\_$；
(2)如图2，试说明：$∠ EMF=360°-∠ AEM-∠ CFM$；
(3)如图3，作$∠ AEM$和$∠ CFM$的平分线EP,FP，交于点P(交点P在两平行线AB,CD之间)，若$∠ EMF=60°$，求$∠ EPF$的度数.

23. 【点拨】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,掌握平行线的性质,角平分线的定义是解题的关键.
【解析】(1)如题图1,过点$M$作$MN// AB$(点$N$在点$M$的右侧),
$\because AB// CD,\therefore AB// MN// CD$,
$\therefore ∠ EMN=∠ AEM,∠ NMF=∠ CFM$,
$\therefore ∠ EMN+∠ NMF=∠ AEM+∠ CFM$,即$∠ EMF=∠ AEM+∠ CFM=45°+25°=70°$. 故答案为$70°$.
(2)证明:如题图2,过点$M$作$MN// AB$(点$N$在点$M$的左侧),
$\because AB// CD,\therefore AB// MN// CD$,
$\therefore ∠ EMN=∠ BEM,∠ FMN=∠ DFM$.
$\because ∠ BEM=180°-∠ AEM,∠ DFM=180°-∠ CFM$,
$\therefore ∠ EMF=∠ EMN+∠ FMN=180°-∠ AEM+180°-∠ CFM=360°-∠ AEM-∠ CFM$.
(3)$\because EP,FP$分别是$∠ AEM$和$∠ CFM$的平分线,
$\therefore ∠ AEP=\frac{1}{2}∠ AEM,∠ CFP=\frac{1}{2}∠ CFM$,
如题图3,过点$P$作$PH// AB$交$FM$于点$H$,
$\because AB// CD,\therefore AB// PH// CD,\therefore ∠ EPH=∠ AEP,∠ FPH=∠ CFP$,
$\therefore ∠ EPF=∠ EPH+∠ FPH=∠ AEP+∠ CFP=\frac{1}{2}∠ AEM+\frac{1}{2}∠ CFM=\frac{1}{2}(∠ AEM+∠ CFM)$,
由(2)得$∠ EMF=360°-∠ AEM-∠ CFM$,
$\therefore ∠ AEM+∠ CFM=360°-∠ EMF=360°-60°=300°$,
$\therefore \frac{1}{2}(∠ AEM+∠ CFM)=\frac{1}{2}×300°=150°$,
$\therefore ∠ EPF=150°$.

24. (12 分)在平面直角坐标系中,点$A(m,0),B(n,-m)$,且$m,n$满足$|m-3|+(n+1)^2=0,AB=5$.
(1)点$A$的坐标是________,点$B$的坐标是________;
(2)求$△ AOB$的面积;
(3)若点$P$从点$A$出发在射线$AB$上运动(点$P$不与点$A,B$重合),点$P$的速度为每秒3个单位长度,在点$P$运动的同时,点$Q$从点$O$出发,以每秒2个单位长度的速度沿$x$轴负半轴运动,连接$OP,BQ$.是否存在某一时刻$t$,使得$△ BOQ$的面积是$△ BOP$的面积的2倍,若存在,求$t$的值,并写出点$Q$的坐标;若不存在,请说明理由.

24. 【点拨】本题考查非负数的性质,三角形的面积公式,分类讨论是解题的关键.
【解析】(1)$\because |m-3|+(n+1)^2=0$,
$\therefore m-3=0,n+1=0$,解得$m=3,n=-1$.
$\therefore$ 点$A$的坐标是$(3,0)$,点$B$的坐标是$(-1,-3)$.
故答案为$(3,0),(-1,-3)$.
(2)如题图,过点$B$作$BH⊥ x$轴于点$H$,
$\because A(3,0),B(-1,-3),\therefore OA=3,BH=3$,
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA· BH=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$.
(3)过点$O$作$OF⊥ AB$于点$F$,
$\because S_{△ AOB}=\frac{9}{2},AB=5$,
$\therefore \frac{1}{2}AB· OF=\frac{1}{2}×5OF=\frac{9}{2}$,解得$OF=\frac{9}{5}$.
如图1,当点$P$在线段$AB$上时,设点的运动时间为$t$.
$\because$ 点$P$的速度为每秒3个单位长度,点$Q$的速度为每秒2个单位长度,$\therefore OQ=2t,BP=5-3t$.
$\because B(-1,-3)$,
$\therefore S_{△ BOQ}=\frac{1}{2}×3OQ=3t,S_{△ BOP}=\frac{1}{2}BP· OF=\frac{9}{2}-\frac{27}{10}t$.
$\because S_{△ BOQ}=2S_{△ BOP},\therefore 3t=2×(\frac{9}{2}-\frac{27}{10}t)$,解得$t=\frac{15}{14}$,$\therefore 2t=\frac{15}{7}$.
$\because$ 点$Q$在$x$轴负半轴上,$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(-\frac{15}{7},0)$;
如图2,当点$P$在线段$AB$的延长线上时,设点的运动时间为$t$.
$\because$ 点$P$的速度为每秒3个单位长度,点$Q$的速度为每秒2个单位长度,$\therefore OQ=2t,BP=3t-5$,
$\therefore S_{△ BOQ}=\frac{1}{2}×3OQ=3t,S_{△ BOP}=\frac{1}{2}BP· OF=\frac{27}{10}t-\frac{9}{2}$.
$\because S_{△ BOQ}=2S_{△ BOP},\therefore 3t=2×(\frac{27}{10}t-\frac{9}{2})$,解得$t=\frac{15}{4}$,$\therefore 2t=\frac{15}{2}$.
$\because$ 点$Q$在$x$轴负半轴上,$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(-\frac{15}{2},0)$.
综上所述,存在某一时刻$t$,使得$△ BOQ$的面积是$△ BOP$的面积的2倍,$t$的值为$\frac{15}{14}$,点$Q$的坐标为$(-\frac{15}{7},0)$或$t$的值为$\frac{15}{4}$,点$Q$的坐标为$(-\frac{15}{2},0)$.