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26. (9分)青少年在游泳和水上运动时应特别注意安全问题。有一种防溺水救生手环,如图所示,具有一定的安全防护作用。紧急情况下,只要启动手环上的开关,手环内的气囊就立刻充满气体,承载人体使头部露出水面。某同学的质量为52.5 kg,密度为$1.05×10^{3}kg/m^{3}$,若要使约占人体总体积$\frac{1}{10}$的头部露出水面。手环所受的重力忽略不计,$\rho_{水}=1.0×10^{3}kg/m^{3},g$取10 N/kg。求:
(1)人体总体积;
(2)头部露出水面时,人体受到的浮力;
(3)充气后气囊的体积的最小值。
(1)人体总体积;
(2)头部露出水面时,人体受到的浮力;
(3)充气后气囊的体积的最小值。
答案
26.【点拨】本题考查根据密度公式计算人体总体积,利用浮力公式计算头部露出水面时人体受到的浮力,最后根据浮力等于重力的条件计算充气后气囊的最小体积。【解析】(1)由ρ=m/V得,人体的总体积为$:V=m/ρ=52.5 kg/(1.05×10^3 kg/m^3)=0.05 m^3;(2)$头部露出水面时,人体受到的浮力为:F浮=ρ水gV浸$=1×10^3 kg/m^3×10 N/kg×(1-1/10)×0.05 m^3=450 N;(3)$当人处于漂浮状态时,则该同学和气囊在水中受到的总浮力为:F浮总=G=mg=52.5 kg×10 N/kg=525 N,由F浮=ρ液gV排得,此时排开水的总体积为:V排=F浮总/(ρ水$g)=525 N/(1×10^3 kg/m^3×10 N/kg)=0.0525 m^3,$该同学浸入水中的体积为:V浸$=(1-1/10)V=9/10×0.05 m^3=0.045 m^3,$所以充气后气囊的体积至少为:V气囊=V排总-V浸$=0.0525 m^3-0.045 m^3=0.0075 m^3$。
解析
【分析】
本题分三步求解：第一步利用密度公式的变形计算人体总体积；第二步根据阿基米德原理，结合人体浸入水中的体积（总体积的$\frac{9}{10}$）计算人体受到的浮力；第三步利用物体漂浮时总浮力等于总重力的条件，先求出总排开水的体积，再减去人体浸入水中的体积，得到气囊的最小体积。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得人体总体积：
$V=\frac{m}{\rho}=\frac{52.5\ \mathrm{kg}}{1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.05\ \mathrm{m}^3$；
(2) 头部露出水面时，人体浸入水中的体积：
$V_{\mathrm{浸}}=(1-\frac{1}{10})V=\frac{9}{10}×0.05\ \mathrm{m}^3=0.045\ \mathrm{m}^3$；
根据阿基米德原理，人体受到的浮力：
$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{浸}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.045\ \mathrm{m}^3=450\ \mathrm{N}$；
(3) 人漂浮时总浮力等于总重力（气囊重力忽略）：
$F_{\mathrm{浮总}}=G=mg=52.5\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=525\ \mathrm{N}$；
由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{液}}gV_{\mathrm{排}}$得总排开水的体积：
$V_{\mathrm{排总}}=\frac{F_{\mathrm{浮总}}}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{525\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.0525\ \mathrm{m}^3$；
则充气后气囊的最小体积：
$V_{\mathrm{气囊}}=V_{\mathrm{排总}}-V_{\mathrm{浸}}=0.0525\ \mathrm{m}^3-0.045\ \mathrm{m}^3=0.0075\ \mathrm{m}^3$；
【答案】
(1) 人体总体积为$0.05\ \mathrm{m}^3$；(2) 人体受到的浮力为$450\ \mathrm{N}$；(3) 气囊的体积最小值为$0.0075\ \mathrm{m}^3$；
【知识点】
密度公式应用、阿基米德原理、物体漂浮条件；
【点评】
本题结合防溺水救生手环的实际场景，考查密度、浮力的综合计算，需熟练掌握相关公式，理清排开体积的关系，难度适中，注重物理知识的生活应用。
【难度系数】
0.6
本题分三步求解：第一步利用密度公式的变形计算人体总体积；第二步根据阿基米德原理，结合人体浸入水中的体积（总体积的$\frac{9}{10}$）计算人体受到的浮力；第三步利用物体漂浮时总浮力等于总重力的条件，先求出总排开水的体积，再减去人体浸入水中的体积，得到气囊的最小体积。
【解析】
(1) 根据密度公式$\rho=\frac{m}{V}$，变形得人体总体积：
$V=\frac{m}{\rho}=\frac{52.5\ \mathrm{kg}}{1.05×10^3\ \mathrm{kg/m}^3}=0.05\ \mathrm{m}^3$；
(2) 头部露出水面时，人体浸入水中的体积：
$V_{\mathrm{浸}}=(1-\frac{1}{10})V=\frac{9}{10}×0.05\ \mathrm{m}^3=0.045\ \mathrm{m}^3$；
根据阿基米德原理，人体受到的浮力：
$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{水}}gV_{\mathrm{浸}}=1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}×0.045\ \mathrm{m}^3=450\ \mathrm{N}$；
(3) 人漂浮时总浮力等于总重力（气囊重力忽略）：
$F_{\mathrm{浮总}}=G=mg=52.5\ \mathrm{kg}×10\ \mathrm{N/kg}=525\ \mathrm{N}$；
由$F_{\mathrm{浮}}=\rho_{\mathrm{液}}gV_{\mathrm{排}}$得总排开水的体积：
$V_{\mathrm{排总}}=\frac{F_{\mathrm{浮总}}}{\rho_{\mathrm{水}}g}=\frac{525\ \mathrm{N}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m}^3×10\ \mathrm{N/kg}}=0.0525\ \mathrm{m}^3$；
则充气后气囊的最小体积：
$V_{\mathrm{气囊}}=V_{\mathrm{排总}}-V_{\mathrm{浸}}=0.0525\ \mathrm{m}^3-0.045\ \mathrm{m}^3=0.0075\ \mathrm{m}^3$；
【答案】
(1) 人体总体积为$0.05\ \mathrm{m}^3$；(2) 人体受到的浮力为$450\ \mathrm{N}$；(3) 气囊的体积最小值为$0.0075\ \mathrm{m}^3$；
【知识点】
密度公式应用、阿基米德原理、物体漂浮条件；
【点评】
本题结合防溺水救生手环的实际场景，考查密度、浮力的综合计算，需熟练掌握相关公式，理清排开体积的关系，难度适中，注重物理知识的生活应用。
【难度系数】
0.6
