3. 我们知道一些复杂图形是由一些基本图形组合而成的，在解决问题时常将复杂图形转化为基本图形。
【基本图形】
(1)如图1，$AB// CD$，写出$∠ B$，$∠ D$，$∠ E$之间的数量关系，并说明理由。
【图形运用】
(2)如图2，$AB// CD$，$BG$平分$∠ ABE$，$DH$平分$∠ CDE$，$BG$，$DH$的反向延长线交于点$F$。若$∠ E=40°$，求$∠ F$的度数。
【思维拓展】
(3)如图3，$AB// CD$，$BG$平分$∠ ABM$，$DH$平分$∠ CDN$，$BG$，$DH$的反向延长线交于点$F$。请直接写出$∠ M$，$∠ N$，$∠ F$之间的数量关系。

(1)解:∠B=∠D+∠E。理由如下:如图1,延长AB交DE于点F。因为AB//CD,所以∠BFE=∠D。因为∠ABE+∠EBF=180°,∠BFE+∠E+∠EBF=180°,所以∠ABE=∠BFE+∠E,即∠B=∠D+∠E。
(2)解:因为BG平分∠ABE,DH平分∠CDE,所以∠ABE=2∠GBE,∠CDE=2∠HDE。设∠GBE=x,∠HDE=y,则∠ABE=2x,∠CDE=2y。因为AB//CD,所以由(1)可知∠ABE=∠CDE+∠E,所以2x=2y+40°,即x=y+20°。因为∠EBF+∠E=∠EDF+∠F,所以180°−x+40°=180°−y+∠F,所以∠F=40°+y−x,所以∠F=40°+y−(y+20°)=20°。
(3)解:∠F=1/2∠M +1/2∠N −90°。【解析】如图2,分别延长BM,DN相交于点E。由(2)得∠F=1/2∠E。因为∠E+∠EMN+∠ENM=180°,所以∠E=180°−(∠EMN+∠ENM)。因为∠BMN+∠EMN+∠DNM+∠ENM=360°,所以∠EMN+∠ENM=360°−∠DNM−∠BMN,所以∠E=180°−(360°−∠DNM−∠BMN)=∠DNM+∠BMN−180°,所以∠F=1/2∠E=1/2∠DNM+1/2∠BMN−90°,即∠F=1/2∠M +1/2∠N −90°。

【分析】
本题是平行线间角度关系的探究题，核心是通过辅助线将复杂图形转化为平行线或三角形的基本模型。第(1)问是基础的“燕尾模型”，通过延长线段构造三角形，结合平行线性质与外角定理推导角度关系；第(2)问结合角平分线定义，利用第(1)问结论建立方程求解；第(3)问为拓展题型，通过延长线段构造新交点，结合四边形内角和与第(2)问结论推导关系，整体需掌握拐点问题的辅助线构造方法。
【解析】
(1) 如图1，延长AB交DE于点F。
因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，得∠BFE = ∠D。
在△BEF中，由三角形外角性质，∠ABE = ∠BFE + ∠E，因此∠B = ∠D + ∠E。
(2) 因为BG平分∠ABE，DH平分∠CDE，根据角平分线定义，得∠ABE = 2∠GBE，∠CDE = 2∠HDE。
设∠GBE = x，∠HDE = y，则∠ABE = 2x，∠CDE = 2y。
由(1)的结论，AB//CD时∠ABE = ∠CDE + ∠E，代入得2x = 2y + 40°，化简得x = y + 20°。
在△BEF和△DFH中，∠EBF = 180° - x，∠EDF = 180° - y，根据三角形内角和，∠EBF + ∠E = ∠EDF + ∠F，代入得(180° - x) + 40° = (180° - y) + ∠F，整理得∠F = 40° + y - x。
将x = y + 20°代入，得∠F = 40° + y - (y + 20°) = 20°。
(3) 如图2，分别延长BM、DN相交于点E。
由(2)的结论，BG平分∠ABM，DH平分∠CDN，可得∠F = 1/2∠E。
在△EMN中，根据三角形内角和，∠E + ∠EMN + ∠ENM = 180°，即∠E = 180° - (∠EMN + ∠ENM)。
在四边形BMND中，内角和为360°，即∠BMN + ∠EMN + ∠DNM + ∠ENM = 360°，整理得∠EMN + ∠ENM = 360° - ∠BMN - ∠DNM。
代入∠E的表达式，得∠E = 180° - (360° - ∠BMN - ∠DNM) = ∠BMN + ∠DNM - 180°，即∠E = ∠M + ∠N - 180°。
因此∠F = 1/2∠E = 1/2(∠M + ∠N - 180°) = 1/2∠M + 1/2∠N - 90°。
【答案】
(1) ∠B = ∠D + ∠E；
(2) ∠F = 20°；
(3) ∠F = 1/2∠M + 1/2∠N - 90°；
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质
【点评】
本题是平行线拐点问题的典型题型，从基础模型到拓展应用，逐步考察学生的转化思想与几何推理能力，辅助线构造是解决此类问题的关键，需熟练掌握拐点问题的常用方法。
【难度系数】
0.5

4.已知直线$MN// PQ$,点A是直线MN上一定点,点B在直线PQ上运动。点H为平面上一点,且满足$∠ AHB=90°$。设$∠ HBQ=α$。

(1)如图1,当$α=70°$时,$∠ HAN=\_\_\_\_\_\_$。
(2)过点H作直线$l$平分$∠ AHB$,直线$l$交直线$MN$于点C。
①如图2,当$α=60°$时,求$∠ ACH$的度数。
②当$∠ ACH=30°$时,直接写出$α$的值。

(1)20°
(2)解:①如图1,延长CH与直线PQ相交于点E。因为∠AHB=90°,CH平分∠AHB,所以∠BHE=1/2∠AHB=45°。因为∠HBQ+∠HBE=180°,∠HEB+∠BHE+∠HBE=180°,所以∠HBQ=∠HEB+∠BHE,所以∠HEB=60°−45°=15°。因为MN//PQ,所以∠ACH=∠HEB=15°。
②α的值为75°或15°或105°或165°。【解析】分四种情况:
(Ⅰ)如图1,因为MN//PQ,所以∠HEB=∠ACH=30°。由①知∠BHE=45°,所以α=∠HBQ=∠HEB+∠BHE=30°+45°=75°;
(Ⅱ)如图2,因为MN//PQ,所以∠HEB=∠ACH=30°。因为CH平分∠AHB,所以∠BHC=45°,所以α=∠HBQ=∠BHC−∠BEH=45°−30°=15°;
(Ⅲ)如图3,因为MN//PQ,所以∠HEB=∠ACH=30°。因为CH平分∠AHB,所以∠BHE=45°,所以α=∠HBQ=180°−∠BHE−∠HEB=180°−45°−30°=105°;
(Ⅳ)如图4,因为MN//PQ,所以∠HEB=∠ACH=30°。因为CH平分∠AHB,所以∠CHB=45°,所以∠EBH=∠CHB−∠HEB=45°−30°=15°,所以α=∠HBQ=180°−∠EBH=180°−15°=165°。综上所述,α的值为75°或15°或105°或165°。

【分析】
要解决本题，核心是利用平行线的性质、角平分线定义及三角形内角和定理，通过延长线构造辅助三角形转化角度关系。解题时需注意点B在直线PQ上的不同位置，以及H点的位置变化，需分多种情况讨论，避免漏解。
【解析】
(1) 过点H作HG//MN，因MN//PQ，故HG//PQ。根据平行线内错角相等，得∠HAN=∠AHG，∠HBQ=∠BHG。又∠AHG+∠BHG=∠AHB=90°，所以∠HAN+α=90°。当α=70°时，∠HAN=90°-70°=20°。
(2) ① 延长CH交PQ于点E。
因CH平分∠AHB，∠AHB=90°，故∠BHE=1/2∠AHB=45°。
在△BHE中，∠HBE=180°-α=180°-60°=120°，由三角形内角和得∠HEB=180°-45°-120°=15°。
又MN//PQ，故∠ACH=∠HEB=15°。
② 分四种情况：
(Ⅰ) 如图1，MN//PQ得∠HEB=∠ACH=30°，则α=∠HEB+∠BHE=30°+45°=75°；
(Ⅱ) 如图2，MN//PQ得∠HEB=∠ACH=30°，CH平分∠AHB得∠BHC=45°，故α=∠BHC-∠BEH=45°-30°=15°；
(Ⅲ) 如图3，MN//PQ得∠HEB=∠ACH=30°，CH平分∠AHB得∠BHE=45°，故α=180°-∠BHE-∠HEB=180°-45°-30°=105°；
(Ⅳ) 如图4，MN//PQ得∠HEB=∠ACH=30°，CH平分∠AHB得∠CHB=45°，∠EBH=45°-30°=15°，故α=180°-∠EBH=165°。
综上，α的值为75°或15°或105°或165°。
【答案】
(1)20°；(2)①15°；②75°或15°或105°或165°
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查平行线、角平分线与三角形角度计算，核心是通过辅助线转化角度，难点在于需全面考虑点B的位置进行分类讨论，对学生几何逻辑思维和分类讨论能力要求较高。
【难度系数】
0.3