【典例1】(2026·荆门)(1)图1是由四个全等的直角三角形(边长分别为a,b,c,且a＜b＜c)和一个小正方形拼成的大正方形,利用图1验证公式的方法求出a,b,c满足的等量关系式；
(2)如图1,在(1)的条件下,若a+b=7,c=5,求阴影部分的面积；
(3)如图2,以(1)中a,b,c为边作三个正方形,并将以a,b为边的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内,若阴影部分的面积为1,求四边形ABCD的面积.

(1)
∵从构成看,大正方形由四个直角三角形和一个小正方形组成,
∴大正方形面积可表示为:$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2$,
∴$\frac{1}{2}ab×4+(b-a)^2=c^2$,
∴$a^2+b^2=c^2$;
(2)
∵$c=5$,
∴$c^2=25$,
∴$a^2+b^2=25$,
∵$a+b=7$,
∴$(a+b)^2=49$,
∴$25+2ab=49$,
∴$2ab=24$,
∵$S_{阴影}=(b-a)^2=a^2+b^2-2ab$,
∴$S_{阴影}=25-24=1$;
(3)
∵图2中两个长方形的边长均为$c-a$和$c-b$,
∴两个长方形的面积相等,
∴$S_{阴影}=a^2+b^2+2×S_{四边形ABCD}-c^2$,
∵$a^2+b^2=c^2$,$S_{阴影}=1$,
∴$2S_{四边形ABCD}=1$,
∴$S_{四边形ABCD}=0.5$.

【典例2】(1)写出图1中所表示的数学等式;

(1)$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$

(2)利用(1)中得到的结论,解决问题:若$a+b+c=8$,$ab+bc+ac=25$,求$a^2+b^2+c^2$的值.
(3)如图,在长方形ABCD中,$AB=10$,$BC=6$,$E$,$F$是$BC$,$CD$上的点,且$BE=DF=x$,分别以$FC$,$CE$为边在长方形ABCD外侧作正方形$CFGH$和$CEMN$,若长方形CEPF的面积为40,求图中阴影部分的面积和.

(2)由(1)知$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$,
∵$a+b+c=8$,$ab+bc+ac=25$,
∴$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ac=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ac)=8^2-2×25=14$,
∴$a^2+b^2+c^2$的值为14;
(3)
∵$AB=10$,$BC=6$,$BE=DF=x$,
∴$FC=AB-DF=10-x$,
$EC=BC-BE=6-x$,
∵长方形CEPF的面积为40,
即有$(10-x)(6-x)=40$,
设$10-x=m$,$6-x=n$,
则$m-n=(10-x)-(6-x)=4$,$mn=40$,
∴$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2=16$,
∴$m^2+n^2=16+2mn=16+2×40=96$,
∴图中阴影部分的面积和是$(10-x)^2+(6-x)^2=m^2+n^2=96$.