【生活情境】我国古代数学家赵爽利用弦图(图1),巧妙地证明了勾股定理.第24届国际数学家大会为了纪念他,特意将弦图作为会标.图2是“赵爽弦图”的示意图,它由四个全等的直角三角形围成,在Rt△ABC中,直角边AC=6,BC=5,现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图3所示的“数学风车”.

【问题提出】这个风车的外围周长(图3中的实线)是多少?
【问题分析】标注出D,E,F,G,利用弦图和正方形特征计算即可.
【问题解决】
【问题反思】在数学发展史上出现了很多与正方形有关的基本图形,“赵爽弦图”就是其一.解决该问题的关键在于识别基本图形,利用勾股定理求解.

标注出点D,E,F,G

∵AC=6,BC=5,
∴GD=6,DE=5,
∵FG=DG,
∴FD=2DG=12. 在Rt△DEF中,由勾股定理,得 EF=√(DE²+DG²)=√(5²+12²)=13.
∴这个风车的外围周长为4(EF+FG)=4×(13+6)=76.

【分析】
观察“数学风车”的结构可知，它由4个完全相同的外围部分构成，因此只需先求出1个外围部分的实线总长度，再乘4即可得到整个风车的外围周长。首先根据题意，原直角三角形长为6的直角边向外延长一倍，可得延长部分长度也为6，即每个外围对应的直角三角形的两条直角边分别为原直角三角形的短直角边5和两个6拼接成的12，再用勾股定理求出外围斜边长，加上延长得到的6即为单个外围的实线长度，最后乘4即可得到结果。
【解析】
标注出点D,E,F,G如图所示：
已知AC=6，BC=5，根据延长规则可得GD=AC=6，DE=BC=5，FG=GD=6，因此Rt△DEF的两条直角边分别为DE=5，FD=2GD=2×6=12。
在Rt△DEF中，由勾股定理得：
$EF=\sqrt{DE^2+FD^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$
由于风车4个外围部分全等，因此外围周长为$4×(EF+FG)=4×(13+6)=4×19=76$
【答案】
76
【知识点】
勾股定理、周长计算、全等图形性质
【点评】
本题以我国古代数学成果赵爽弦图为背景，考查勾股定理的实际应用，解题关键是准确梳理图形中的边长关系，结合全等图形的性质简化计算，既能够考查学生的读图分析能力，也能让学生感受数学文化的魅力。
【难度系数】
0.7