登录
3. 画出函数$y=-3x+3$的图象，结合图象回答下列问题：[第2(2)题]
(1) y的值随x的值增大而（填“增大”或“减小”），图象从左到右（填“上升”或“下降”）；
(2) 当$y＜0$时，求x的取值范围；
(3) 当$0＜x＜1$时，求y的取值范围。
(1) y的值随x的值增大而（填“增大”或“减小”），图象从左到右（填“上升”或“下降”）；
(2) 当$y＜0$时，求x的取值范围；
(3) 当$0＜x＜1$时，求y的取值范围。
答案
解：
先画函数$y=-3x+3$的图象：
令$x=0$，得$y=3$，得到点$(0,3)$；
令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，得到点$(1,0)$。
过两点$(0,3)$、$(1,0)$画直线，即为所求函数图象。
(1) 减小；下降
(2) 观察图象，直线与x轴交于点$(1,0)$，当$y＜0$时，对应图象在x轴下方的部分，可得x的取值范围是$x＞1$。
(3) 由函数性质可知y随x的增大而减小，当$0＜x＜1$时，对应的函数值介于$x=1$和$x=0$的函数值之间，可得y的取值范围是$0＜y＜3$。
先画函数$y=-3x+3$的图象：
令$x=0$，得$y=3$，得到点$(0,3)$；
令$y=0$，得$-3x+3=0$，解得$x=1$，得到点$(1,0)$。
过两点$(0,3)$、$(1,0)$画直线，即为所求函数图象。
(1) 减小；下降
(2) 观察图象，直线与x轴交于点$(1,0)$，当$y＜0$时，对应图象在x轴下方的部分，可得x的取值范围是$x＞1$。
(3) 由函数性质可知y随x的增大而减小，当$0＜x＜1$时，对应的函数值介于$x=1$和$x=0$的函数值之间，可得y的取值范围是$0＜y＜3$。
解析
【分析】
解题时先明确一次函数的图象是直线，只需找到两个特殊点（通常是与坐标轴的交点）即可画出图象；
(1) 一次函数$y=kx+b$的增减性由$k$的符号决定，可通过$k$的正负直接判断y的变化趋势和图象走向；
(2) $y＜0$的几何意义是函数图象位于x轴下方的部分，结合图象与x轴的交点坐标即可直接得到对应x的取值范围；
(3) 结合函数的增减性，代入区间端点的x值求出对应的y值，即可得到y的取值范围。
【解析】
首先绘制函数$y=-3x+3$的图象：
1. 求函数与坐标轴的交点：令$x=0$，得$y=3$，得到点$(0,3)$；令$y=0$，解方程$-3x+3=0$，解得$x=1$，得到点$(1,0)$；
2. 过点$(0,3)$、$(1,0)$画直线，即为$y=-3x+3$的图象。
(1) 函数中$k=-3＜0$，因此y的值随x的值增大而减小，图象从左到右下降；
(2) 观察图象，直线与x轴交点为$(1,0)$，$y＜0$对应图象在x轴下方的部分，因此x的取值范围是$x＞1$；
(3) 由于y随x增大而减小，当$x=0$时$y=3$，当$x=1$时$y=0$，因此当$0＜x＜1$时，y的取值范围是$0＜y＜3$。
【答案】
(1) 减小；下降
(2) $x＞1$
(3) $0＜y＜3$
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考查一次函数增减性的判断和利用图象求解变量的取值范围，解题时利用数形结合思想可快速得到结果，需要熟练掌握一次函数k值与增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时先明确一次函数的图象是直线，只需找到两个特殊点（通常是与坐标轴的交点）即可画出图象；
(1) 一次函数$y=kx+b$的增减性由$k$的符号决定，可通过$k$的正负直接判断y的变化趋势和图象走向；
(2) $y＜0$的几何意义是函数图象位于x轴下方的部分，结合图象与x轴的交点坐标即可直接得到对应x的取值范围；
(3) 结合函数的增减性，代入区间端点的x值求出对应的y值，即可得到y的取值范围。
【解析】
首先绘制函数$y=-3x+3$的图象：
1. 求函数与坐标轴的交点：令$x=0$，得$y=3$，得到点$(0,3)$；令$y=0$，解方程$-3x+3=0$，解得$x=1$，得到点$(1,0)$；
2. 过点$(0,3)$、$(1,0)$画直线，即为$y=-3x+3$的图象。
(1) 函数中$k=-3＜0$，因此y的值随x的值增大而减小，图象从左到右下降；
(2) 观察图象，直线与x轴交点为$(1,0)$，$y＜0$对应图象在x轴下方的部分，因此x的取值范围是$x＞1$；
(3) 由于y随x增大而减小，当$x=0$时$y=3$，当$x=1$时$y=0$，因此当$0＜x＜1$时，y的取值范围是$0＜y＜3$。
【答案】
(1) 减小；下降
(2) $x＞1$
(3) $0＜y＜3$
【知识点】
一次函数的图象与性质；一次函数与一元一次不等式
【点评】
本题属于一次函数基础题，核心考查一次函数增减性的判断和利用图象求解变量的取值范围，解题时利用数形结合思想可快速得到结果，需要熟练掌握一次函数k值与增减性的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 将一次函数$y=3x-4$的图象平移，得到的图象经过点$A(2,-1)$，则平移后图象的函数表达式为.
答案
解：∵一次函数图象平移后斜率不变，
∴设平移后图象的函数表达式为$y=3x+b$，
将点$A(2,-1)$代入表达式得：
$-1 = 3× 2 + b$，
解得$b=-7$，
∴平移后图象的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x-7}$。
∴设平移后图象的函数表达式为$y=3x+b$，
将点$A(2,-1)$代入表达式得：
$-1 = 3× 2 + b$，
解得$b=-7$，
∴平移后图象的函数表达式为$\boldsymbol{y=3x-7}$。
解析
【分析】
解决本题首先要掌握一次函数图象平移的核心性质：平移只会改变直线的位置，不会改变直线的倾斜程度，即一次项系数k保持不变。因此我们可以先确定平移后函数的k值和原函数一致为3，再设出含待定常数项b的函数解析式，最后将已知点A的坐标代入解析式求解出b，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
∵一次函数图象平移后一次项系数k不变，原函数$y=3x-4$的k=3，
∴设平移后图象的函数表达式为$y=3x+b$，
将点$A(2,-1)$代入表达式得：
$-1 = 3× 2 + b$，
计算得$-1=6+b$，解得$b=-7$，
∴平移后图象的函数表达式为$y=3x-7$。
【答案】
$y=3x-7$
【知识点】
一次函数平移性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题，解题关键是牢记平移不改变一次函数的一次项系数，再结合待定系数法代入已知点计算即可，这类题型是一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要掌握一次函数图象平移的核心性质：平移只会改变直线的位置，不会改变直线的倾斜程度，即一次项系数k保持不变。因此我们可以先确定平移后函数的k值和原函数一致为3，再设出含待定常数项b的函数解析式，最后将已知点A的坐标代入解析式求解出b，即可得到平移后的函数表达式。
【解析】
∵一次函数图象平移后一次项系数k不变，原函数$y=3x-4$的k=3，
∴设平移后图象的函数表达式为$y=3x+b$，
将点$A(2,-1)$代入表达式得：
$-1 = 3× 2 + b$，
计算得$-1=6+b$，解得$b=-7$，
∴平移后图象的函数表达式为$y=3x-7$。
【答案】
$y=3x-7$
【知识点】
一次函数平移性质；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题属于一次函数的基础应用题，解题关键是牢记平移不改变一次函数的一次项系数，再结合待定系数法代入已知点计算即可，这类题型是一次函数章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 已知一次函数 $y=2x+1$ 的图象经过点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，且 $x_1＜x_2$. 试用两种方法说明 $y_1＜y_2$.
答案
解：
方法一：
在一次函数$y=2x+1$中，$k=2＞0$，根据一次函数的性质，$y$的值随$x$的增大而增大。
已知$x_1 ＜ x_2$，因此可得$y_1 ＜ y_2$。
方法二：
因为点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
所以$y_1=2x_1+1$，$y_2=2x_2+1$。
计算两式的差：
$\begin{aligned}y_1 - y_2&=(2x_1 + 1) - (2x_2 + 1)\\&=2x_1 - 2x_2\\&=2(x_1 - x_2)\end{aligned}$
已知$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，
因此$2(x_1 - x_2) ＜ 0$，即$y_1 - y_2 ＜ 0$，
所以$y_1 ＜ y_2$。
方法一：
在一次函数$y=2x+1$中，$k=2＞0$，根据一次函数的性质，$y$的值随$x$的增大而增大。
已知$x_1 ＜ x_2$，因此可得$y_1 ＜ y_2$。
方法二：
因为点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
所以$y_1=2x_1+1$，$y_2=2x_2+1$。
计算两式的差：
$\begin{aligned}y_1 - y_2&=(2x_1 + 1) - (2x_2 + 1)\\&=2x_1 - 2x_2\\&=2(x_1 - x_2)\end{aligned}$
已知$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，
因此$2(x_1 - x_2) ＜ 0$，即$y_1 - y_2 ＜ 0$，
所以$y_1 ＜ y_2$。
解析
【分析】
本题可从两个角度推导$y_1$与$y_2$的大小关系：
方法一借助一次函数的增减性规律：先确定一次函数解析式中k的正负，再根据“k＞0时，y随x的增大而增大”的性质，结合已知$x_1＜x_2$的条件直接判断函数值大小。
方法二采用作差比较法：先根据一次函数图象上的点满足函数解析式，分别写出$y_1$、$y_2$的表达式，再计算$y_1-y_2$的结果，结合$x_1＜x_2$判断差值的正负，若差值小于0则$y_1＜y_2$。
【解析】
方法一：
在一次函数$y=2x+1$中，$k=2＞0$，根据一次函数的性质，$y$的值随$x$的增大而增大。
已知$x_1 ＜ x_2$，因此可得$y_1 ＜ y_2$。
方法二：
因为点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
所以$y_1=2x_1+1$，$y_2=2x_2+1$。
计算两式的差：
$\begin{aligned}y_1 - y_2&=(2x_1 + 1) - (2x_2 + 1)\\&=2x_1 - 2x_2\\&=2(x_1 - x_2)\end{aligned}$
已知$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，
因此$2(x_1 - x_2) ＜ 0$，即$y_1 - y_2 ＜ 0$，
所以$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
一次函数的增减性；作差法比较大小；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础典型题，两种解题思路分别从函数性质直接应用和代数运算推导两个角度出发，既可以巩固一次函数增减性的记忆，也能帮助理解增减性的代数本质，夯实一次函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
本题可从两个角度推导$y_1$与$y_2$的大小关系：
方法一借助一次函数的增减性规律：先确定一次函数解析式中k的正负，再根据“k＞0时，y随x的增大而增大”的性质，结合已知$x_1＜x_2$的条件直接判断函数值大小。
方法二采用作差比较法：先根据一次函数图象上的点满足函数解析式，分别写出$y_1$、$y_2$的表达式，再计算$y_1-y_2$的结果，结合$x_1＜x_2$判断差值的正负，若差值小于0则$y_1＜y_2$。
【解析】
方法一：
在一次函数$y=2x+1$中，$k=2＞0$，根据一次函数的性质，$y$的值随$x$的增大而增大。
已知$x_1 ＜ x_2$，因此可得$y_1 ＜ y_2$。
方法二：
因为点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$在一次函数$y=2x+1$的图象上，
所以$y_1=2x_1+1$，$y_2=2x_2+1$。
计算两式的差：
$\begin{aligned}y_1 - y_2&=(2x_1 + 1) - (2x_2 + 1)\\&=2x_1 - 2x_2\\&=2(x_1 - x_2)\end{aligned}$
已知$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1 - x_2 ＜ 0$，
因此$2(x_1 - x_2) ＜ 0$，即$y_1 - y_2 ＜ 0$，
所以$y_1 ＜ y_2$。
【答案】
$y_1＜y_2$
【知识点】
一次函数的增减性；作差法比较大小；一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数性质的基础典型题，两种解题思路分别从函数性质直接应用和代数运算推导两个角度出发，既可以巩固一次函数增减性的记忆，也能帮助理解增减性的代数本质，夯实一次函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
6. 对于一次函数$y=-3x+2$，若将其图象绕原点旋转$180°$，得到的新函数图象经过哪些象限？求出新函数的表达式，并分析旋转前后函数图象性质的变化。
答案
解：
取原一次函数$y=-3x+2$图象上的两个特殊点：
令$x=0$，得$y=2$，对应点为$(0,2)$；
令$y=0$，得$x=\frac{2}{3}$，对应点为$(\frac{2}{3},0)$。
点绕原点旋转$180°$后，点$(x,y)$的对应点为$(-x,-y)$，因此上述两个点旋转后得到$(0,-2)$和$(-\frac{2}{3},0)$。
设旋转后的新函数表达式为$y=kx+b$，将$(0,-2)$代入得$b=-2$，
再将$(-\frac{2}{3},0)$和$b=-2$代入表达式：
$0 = -\frac{2}{3}k - 2$
解得$k=-3$，因此新函数的表达式为$y=-3x-2$。
对于新函数$y=-3x-2$，$k=-3＜0$，$b=-2＜0$，可得新函数图象经过第二、三、四象限。
旋转前后函数图象性质的变化：
1. 不变的性质：两个函数的$k$值均为$-3＜0$，增减性一致，$y$都随$x$的增大而减小，图象倾斜程度相同，两直线互相平行。
2. 变化的性质：
① 原函数图象经过第一、二、四象限，新函数图象经过第二、三、四象限；
② 原函数与$y$轴交于正半轴$(0,2)$，新函数与$y$轴交于负半轴$(0,-2)$；
③ 原函数与$x$轴交于正半轴$(\frac{2}{3},0)$，新函数与$x$轴交于负半轴$(-\frac{2}{3},0)$；
④ 原函数当$x＜\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞\frac{2}{3}$时$y＜0$；新函数当$x＜-\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞-\frac{2}{3}$时$y＜0$。
取原一次函数$y=-3x+2$图象上的两个特殊点：
令$x=0$，得$y=2$，对应点为$(0,2)$；
令$y=0$，得$x=\frac{2}{3}$，对应点为$(\frac{2}{3},0)$。
点绕原点旋转$180°$后，点$(x,y)$的对应点为$(-x,-y)$，因此上述两个点旋转后得到$(0,-2)$和$(-\frac{2}{3},0)$。
设旋转后的新函数表达式为$y=kx+b$，将$(0,-2)$代入得$b=-2$，
再将$(-\frac{2}{3},0)$和$b=-2$代入表达式：
$0 = -\frac{2}{3}k - 2$
解得$k=-3$，因此新函数的表达式为$y=-3x-2$。
对于新函数$y=-3x-2$，$k=-3＜0$，$b=-2＜0$，可得新函数图象经过第二、三、四象限。
旋转前后函数图象性质的变化：
1. 不变的性质：两个函数的$k$值均为$-3＜0$，增减性一致，$y$都随$x$的增大而减小，图象倾斜程度相同，两直线互相平行。
2. 变化的性质：
① 原函数图象经过第一、二、四象限，新函数图象经过第二、三、四象限；
② 原函数与$y$轴交于正半轴$(0,2)$，新函数与$y$轴交于负半轴$(0,-2)$；
③ 原函数与$x$轴交于正半轴$(\frac{2}{3},0)$，新函数与$x$轴交于负半轴$(-\frac{2}{3},0)$；
④ 原函数当$x＜\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞\frac{2}{3}$时$y＜0$；新函数当$x＜-\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞-\frac{2}{3}$时$y＜0$。
解析
【分析】
要解决一次函数图象绕原点旋转180°的问题，首先明确一次函数图象是直线，旋转后仍为直线，两点即可确定直线解析式。解题思路如下：第一步，取原函数图象上两个易计算的特殊点（一般选与x轴、y轴的交点）；第二步，根据“点绕原点旋转180°后横、纵坐标均变为原数的相反数”，求出两个点旋转后的对应坐标；第三步，用待定系数法代入两点坐标求出新函数表达式；第四步，根据新函数k、b的符号判断图象经过的象限；最后对比旋转前后两个函数的k、b值，分析性质的变化和不变之处。
【解析】
1. 取原一次函数$y=-3x+2$图象上的两个特殊点：
令$x=0$，得$y=2$，对应点为$(0,2)$；
令$y=0$，得$x=\frac{2}{3}$，对应点为$(\frac{2}{3},0)$。
2. 点绕原点旋转180°后，点$(x,y)$的对应点为$(-x,-y)$，因此两个点旋转后的对应点为$(0,-2)$和$(-\frac{2}{3},0)$。
3. 设旋转后的新函数表达式为$y=kx+b$：
将$(0,-2)$代入得$b=-2$；
再将$(-\frac{2}{3},0)$和$b=-2$代入表达式，得$0 = -\frac{2}{3}k - 2$，解得$k=-3$，因此新函数的表达式为$y=-3x-2$。
4. 新函数图象经过的象限判断：
新函数$y=-3x-2$中，$k=-3＜0$，$b=-2＜0$，因此图象经过第二、三、四象限。
5. 旋转前后函数图象性质的变化：
▶ 不变的性质：两个函数的$k$值均为$-3$，图象倾斜程度相同，两直线互相平行；增减性一致，$y$都随$x$的增大而减小。
▶ 变化的性质：
① 经过的象限不同：原函数图象经过第一、二、四象限，新函数图象经过第二、三、四象限；
② 与y轴交点不同：原函数与$y$轴交于正半轴$(0,2)$，新函数与$y$轴交于负半轴$(0,-2)$；
③ 与x轴交点不同：原函数与$x$轴交于正半轴$(\frac{2}{3},0)$，新函数与$x$轴交于负半轴$(-\frac{2}{3},0)$；
④ 函数值正负对应的x范围不同：原函数当$x＜\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞\frac{2}{3}$时$y＜0$；新函数当$x＜-\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞-\frac{2}{3}$时$y＜0$。
【答案】
新函数表达式为$\boldsymbol{y=-3x-2}$，图象经过第二、三、四象限；
性质不变点：两直线平行、y随x增大而减小；性质变化点：经过的象限、与坐标轴交点位置、函数值正负对应的x范围不同（具体见解析）。
【知识点】
一次函数的图象与性质；中心对称坐标规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数性质与图形旋转结合的典型题，解题核心是利用“两点确定一条直线”的规律，通过特殊点的中心对称快速求解新解析式，要求学生熟练掌握一次函数k、b取值与图象特征的对应关系，能有效考察对一次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决一次函数图象绕原点旋转180°的问题，首先明确一次函数图象是直线，旋转后仍为直线，两点即可确定直线解析式。解题思路如下：第一步，取原函数图象上两个易计算的特殊点（一般选与x轴、y轴的交点）；第二步，根据“点绕原点旋转180°后横、纵坐标均变为原数的相反数”，求出两个点旋转后的对应坐标；第三步，用待定系数法代入两点坐标求出新函数表达式；第四步，根据新函数k、b的符号判断图象经过的象限；最后对比旋转前后两个函数的k、b值，分析性质的变化和不变之处。
【解析】
1. 取原一次函数$y=-3x+2$图象上的两个特殊点：
令$x=0$，得$y=2$，对应点为$(0,2)$；
令$y=0$，得$x=\frac{2}{3}$，对应点为$(\frac{2}{3},0)$。
2. 点绕原点旋转180°后，点$(x,y)$的对应点为$(-x,-y)$，因此两个点旋转后的对应点为$(0,-2)$和$(-\frac{2}{3},0)$。
3. 设旋转后的新函数表达式为$y=kx+b$：
将$(0,-2)$代入得$b=-2$；
再将$(-\frac{2}{3},0)$和$b=-2$代入表达式，得$0 = -\frac{2}{3}k - 2$，解得$k=-3$，因此新函数的表达式为$y=-3x-2$。
4. 新函数图象经过的象限判断：
新函数$y=-3x-2$中，$k=-3＜0$，$b=-2＜0$，因此图象经过第二、三、四象限。
5. 旋转前后函数图象性质的变化：
▶ 不变的性质：两个函数的$k$值均为$-3$，图象倾斜程度相同，两直线互相平行；增减性一致，$y$都随$x$的增大而减小。
▶ 变化的性质：
① 经过的象限不同：原函数图象经过第一、二、四象限，新函数图象经过第二、三、四象限；
② 与y轴交点不同：原函数与$y$轴交于正半轴$(0,2)$，新函数与$y$轴交于负半轴$(0,-2)$；
③ 与x轴交点不同：原函数与$x$轴交于正半轴$(\frac{2}{3},0)$，新函数与$x$轴交于负半轴$(-\frac{2}{3},0)$；
④ 函数值正负对应的x范围不同：原函数当$x＜\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞\frac{2}{3}$时$y＜0$；新函数当$x＜-\frac{2}{3}$时$y＞0$，$x＞-\frac{2}{3}$时$y＜0$。
【答案】
新函数表达式为$\boldsymbol{y=-3x-2}$，图象经过第二、三、四象限；
性质不变点：两直线平行、y随x增大而减小；性质变化点：经过的象限、与坐标轴交点位置、函数值正负对应的x范围不同（具体见解析）。
【知识点】
一次函数的图象与性质；中心对称坐标规律；待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数性质与图形旋转结合的典型题，解题核心是利用“两点确定一条直线”的规律，通过特殊点的中心对称快速求解新解析式，要求学生熟练掌握一次函数k、b取值与图象特征的对应关系，能有效考察对一次函数性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
