1. 下列四个三角形中相似的三角形是 ()


A.①和②
B.①和④
C.③和④
D.①和④、②和③

1.B 解析:通过观察和计算发现三角形①和④的两边比例相同,即12:15=16:20=4:5,并且它们的夹角都为45°,所以两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,排除A和C.而②有一条边长不知道,无法确定与③的三条边是否比例相同,不一定相似.故选B.

2. 如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA:OC=OB:OD,则下列结论中一定正确的是 ()

A.①②相似
B.①③相似
C.①④相似
D.②④相似

2.C 解析:由 OA:OC=OB:OD 得到$\frac{OA}{OB}=\frac{OC}{OD}$,又
∵ ∠AOB=∠COD,故△AOB∽△COD,故选C.

3. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $D$ 为 $BC$ 上一点, $BC = \sqrt{3}AB = 3BD$, 则 $AD:AC$ 的值为 ()

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{6}$

3.C 解析:
∵ $BC=\sqrt{3}AB=3BD$,
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∵ ∠B=∠B,
∴ △ABD∽△CBA,
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,故选C.

4. (2025·济南期末)在$△ ABC$中，D,E分别是AC,BC上的点，BD,AE交于点F，下列不能判定$△ BCD∽△ ACE$的是 ()

A.$\frac{BC}{CA}=\frac{CD}{CE}$
B.$DF· FB=AF· EF$
C.$∠ CDB=∠ AEC$
D.$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AE}$

4.D 解析:若△BCD∽△ACE,已经具备的条件是一对公共角相等,即∠BCD=∠ACE,故A项$\frac{BC}{CA}=\frac{CD}{CE}$,符合两边对应成比例且夹角相等,故能判定△BCD∽△ACE,不符合题意;B项$DF· FB=AF· EF$,即$\frac{DF}{AF}=\frac{EF}{FB}$,由∠AFD=∠BFE,得△AFD∽△BFE,得∠EAC=∠DBC,故能判定△BCD∽△ACE,不符合题意;C项∠CDB=∠AEC,∠C=∠C,能判定△BCD∽△ACE,不符合题意;D项$\frac{BC}{AC}=\frac{BD}{AE}$,夹角不相等,无法判定相似,错误,符合题意,故选D.

5. 在$△ ABC$和$△ DEF$中,若$∠ A=40°$, $∠ D=60°$, $∠ E=80°$, 且$\frac{AB}{AC}=\frac{FD}{FE}$, 那么$∠ B$的度数是________.

5.$60°$ 解析:
∵ ∠D=60°,∠E=80°,
∴ ∠F=40°,
∴ ∠A=∠F.
∵ $\frac{AB}{AC}=\frac{FD}{FE}$,
∴ △ABC∽△FDE,
∴ ∠B与∠D是对应角,
∴ ∠B=∠D=60°.

6. 在$△ ABC$中，$AB=6$，$AC=5$，点$D$在边$AB$上，且$AD=2$，点$E$在边$AC$上，当$AE=$时，以$A,D,E$为顶点的三角形与$△ ABC$相似。

6.$\frac{12}{5}$或$\frac{5}{3}$ 解析:当$\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AC}$时,
∵ ∠A=∠A,
∴ △AED∽△ABC,此时$AE=\frac{AB· AD}{AC}=\frac{6× 2}{5}=\frac{12}{5}$;当$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$时,
∵ ∠A=∠A,
∴ △ADE∽△ABC,此时$AE=\frac{AC· AD}{AB}=\frac{5× 2}{6}=\frac{5}{3}$.

7. 如图,点B,D,E在一条直线上,BE交AC于点F,
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,且$∠ BAD=∠ CAE$.
求证:(1)$△ ABC ∽ △ ADE$;
(2)$△ AEF ∽ △ BCF$.

7.(1)
∵ ∠BAD=∠CAE,
∴ ∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE.在△ABC 和△ADE 中,$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$,∠BAC=∠DAE,
∴ △ABC∽△ADE.
(2)由(1)得△ABC∽△ADE,
∴ ∠C=∠E.在△AEF 和△BCF 中,∠E=∠C,∠AFE=∠BFC,
∴ △AEF∽△BCF.

8. 如图，点A,B,C,D的坐标分别是$(1,7),(1,1),(4,1),(6,1)$，以C,D,E为顶点的三角形与$△ ABC$相似，则点E的坐标不可能是 ()


A.$(4,2)$
B.$(6,0)$
C.$(6,3)$
D.$(6,5)$

8.C 解析:
∵ 点A,B,C的坐标分别是(1,7),(1,1),(4,1),
∴ AB=6,BC=3,∠ABC=90°.若点E坐标为(4,2),而D(6,1),则CE=1,CD=2,∠ECD=90°,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{EC}=3$,∠ABC=∠ECD,
∴ △ABC∽△DCE;若点E坐标为(6,0),而D(6,1),则ED=1,CD=2,∠EDC=90°,
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{ED}=3$,∠ABC=∠EDC,
∴ △ABC∽△CDE;若点E坐标为(6,3),而D(6,1),则ED=2,CD=2,∠EDC=90°,
∴ $\frac{AB}{CD}≠\frac{BC}{ED}(\frac{AB}{ED}≠\frac{BC}{CD})$,
∴ △ABC与△ECD 不相似;若点E坐标为(6,5),而D(6,1),则ED=4,CD=2,∠EDC=90°,
∴ $\frac{AB}{ED}=\frac{BC}{CD}=\frac{3}{2}$,∠ABC=∠EDC,
∴ △ABC∽△EDC.故选C.