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8. [2025·长沙]冬天,为了给鱼缸内的水加热,小星购买了标有“220 V 440 W”字样的电热丝$R_1$和标有“220 V 275 W”字样的电热丝$R_2$各一根,电热丝的电阻不随温度变化。
(1)求电热丝$R_1$正常工作时的电流。
(2)将$R_1$和$R_2$串联接入电路中,求$R_1$与$R_2$两端的电压之比。
(3)为了给鱼缸提供适宜的水温,小星想设计的加热电路需要满足以下要求:
(a)当水温低于$20°\mathrm{C}$时,启动高挡快速加热,功率为440 W;
(b)当水温在$20°\mathrm{C}$至$30°\mathrm{C}$之间时,启动低挡保温;
(c)当水温高于$30°\mathrm{C}$时,断开整个电路。
为此,他找到了4个温控开关(功能见下表),从中选择两个开关设计了如图所示的电路。
①请在电路图相应的位置标出电热丝和所选开关的符号;
②按设计连好电路后,为调整功率,小星取下某一根电热丝,剪掉一截后接回原电路。再启动低挡,测得其中一根电热丝两端的电压为99 V,请计算此时电路的总功率。
(1)求电热丝$R_1$正常工作时的电流。
(2)将$R_1$和$R_2$串联接入电路中,求$R_1$与$R_2$两端的电压之比。
(3)为了给鱼缸提供适宜的水温,小星想设计的加热电路需要满足以下要求:
(a)当水温低于$20°\mathrm{C}$时,启动高挡快速加热,功率为440 W;
(b)当水温在$20°\mathrm{C}$至$30°\mathrm{C}$之间时,启动低挡保温;
(c)当水温高于$30°\mathrm{C}$时,断开整个电路。
为此,他找到了4个温控开关(功能见下表),从中选择两个开关设计了如图所示的电路。
①请在电路图相应的位置标出电热丝和所选开关的符号;
②按设计连好电路后,为调整功率,小星取下某一根电热丝,剪掉一截后接回原电路。再启动低挡,测得其中一根电热丝两端的电压为99 V,请计算此时电路的总功率。
答案
8.【解】(1)电热丝$ R_1 $ 正常工作时，根据 $P=UI$ 知，电流 $I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{440\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}}=2\ \mathrm{A}$。
(2)由 $P=\frac{U^2}{R}$ 可知，电热丝 $ R_1 $ 的电阻 $R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{440\ \mathrm{W}}=110\ \Omega$；电热丝 $ R_2 $ 的电阻 $R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \mathrm{W}}=176\ \Omega$；根据串联电路中各电阻两端电压之比等于电阻之比有$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{110\ \Omega}{176\ \Omega}=\frac{5}{8}$。
(3)①如图所示
。②未剪前，低挡时 $ R_1 $ 和 $ R_2 $ 串联；$ R_1 $ 两端的电压 $U_1=IR_1=\frac{220\ \mathrm{V}}{176\ \Omega+110\ \Omega}×110\ \Omega=84.6\ \mathrm{V}$，$ R_2 $ 两端的电压 $U_2=U-U_1=220\ \mathrm{V}-84.6\ \mathrm{V}=135.4\ \mathrm{V}$；
情况一：若剪短的是 $ R_1 $，将它接回原电路时，由串联分压的规律可知 $ U_1 $ 将减小，$ U_2 $ 将增大，都不可能变为 99 V，不符合题意；
情况二：若剪短的是 $ R_2 $，将它接回原电路时，由串联分压的规律可知 $ U_2 $ 将减小，$ U_1 $ 将增大，都有可能变为 99 V，符合题意；
(a)若 $ R_2 $ 剪短后接回原电路，$ R_1 $ 两端的电压 $ U_1'=99\ \mathrm{V} $，低挡时电路的实际电流 $I'=I_1'=\frac{U_1'}{R_1}=\frac{99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=0.9\ \mathrm{A}$，此时低挡的总功率 $P_总=UI'=220\ \mathrm{V}×0.9\ \mathrm{A}=198\ \mathrm{W}$；
(b)若 $ R_2 $ 剪短后接回原电路，$ R_2 $ 两端的电压 $ U_2'=99\ \mathrm{V} $，低挡电路的实际电流 $I''=I_1''=\frac{U_1''}{R_1}=\frac{220\ \mathrm{V}-99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=1.1\ \mathrm{A}$，此时低挡的总功率 $P_总'=UI''=220\ \mathrm{V}×1.1\ \mathrm{A}=242\ \mathrm{W}$。
【点拨】(3)①当水温低于 $ 20\ ℃ $ 时，启动高挡快速加热，电路中电流较大，故把一根电阻丝短路，故选择 $ S_1 $ 与左侧电阻并联，当水温高于 $ 30\ ℃ $ 时，断开整个电路，故选择 $ S_3 $ 放在右侧；根据启动高挡快速加热，功率为 440 W，可知标有“220 V 440 W”的电热丝 $ R_1 $ 是右侧的电阻；标出元件符号如图所示。
解析
【分析】
本题围绕电热丝的电功率应用展开，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：已知电热丝额定电压和额定功率，利用电功率公式的变形即可求出正常工作电流；
2. 第(2)问：先由电功率与电阻的关系求出两个电热丝的电阻，再根据串联电路电压与电阻成正比的规律计算电压比；
3. 第(3)问：①根据高挡（功率大，需短路一个电阻）、断开电路的要求，选择开关并标注元件；②分析剪短某电热丝后分压的可能情况，结合串联电路电流相等的特点，计算电路总功率。
【解析】
(1) 电热丝$R_1$正常工作时，电压为额定电压$220\ \mathrm{V}$，功率为$440\ \mathrm{W}$，由$P=UI$得：
$I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{440\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}}=2\ \mathrm{A}$；
(2) 由$P=\frac{U^2}{R}$，得$R_1$的电阻：
$R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{440\ \mathrm{W}}=110\ \Omega$；
$R_2$的电阻：
$R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \mathrm{W}}=176\ \Omega$；
串联电路中电流处处相等，电压与电阻成正比，故：
$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{110\ \Omega}{176\ \Omega}=\frac{5}{8}$；
(3) ① 电路设计：高挡功率大，需短路$R_2$，故$S_1$并联在$R_2$两端；水温高于$30°\mathrm{C}$断开电路，故$S_3$在干路，元件标注如图：；
② 低挡时$R_1$与$R_2$串联，原总电阻$R_{总}=110\ \Omega+176\ \Omega=286\ \Omega$，原电流$I=\frac{220\ \mathrm{V}}{286\ \Omega}\approx0.769\ \mathrm{A}$，原$R_1$电压约$84.6\ \mathrm{V}$，$R_2$电压约$135.4\ \mathrm{V}$。
分析剪短的电阻：若剪短$R_1$，串联时$R_1$分压变小、$R_2$分压变大，不可能出现某电阻电压为$99\ \mathrm{V}$；若剪短$R_2$，$R_2$分压变小、$R_1$分压变大，可能出现$99\ \mathrm{V}$，符合题意。
情况1：$R_1$两端电压为$99\ \mathrm{V}$，电路电流$I'=\frac{U_1'}{R_1}=\frac{99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=0.9\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}=UI'=220\ \mathrm{V}×0.9\ \mathrm{A}=198\ \mathrm{W}$；
情况2：$R_2$两端电压为$99\ \mathrm{V}$，$R_1$两端电压$U_1''=220\ \mathrm{V}-99\ \mathrm{V}=121\ \mathrm{V}$，电流$I''=\frac{U_1''}{R_1}=\frac{121\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=1.1\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}'=UI''=220\ \mathrm{V}×1.1\ \mathrm{A}=242\ \mathrm{W}$。
【答案】
(1) $2\ \mathrm{A}$；
(2) $5:8$；
(3) ①；② $198\ \mathrm{W}$或$242\ \mathrm{W}$；
【知识点】
电功率计算、串联电路特点、欧姆定律
【点评】
本题结合实际加热场景，考查电功率与串联电路规律的综合应用，需准确分析不同挡位的电路结构，逻辑要求较高，能有效考查学生的电路分析能力。
【难度系数】
0.5
本题围绕电热丝的电功率应用展开，分三小问逐步求解：
1. 第(1)问：已知电热丝额定电压和额定功率，利用电功率公式的变形即可求出正常工作电流；
2. 第(2)问：先由电功率与电阻的关系求出两个电热丝的电阻，再根据串联电路电压与电阻成正比的规律计算电压比；
3. 第(3)问：①根据高挡（功率大，需短路一个电阻）、断开电路的要求，选择开关并标注元件；②分析剪短某电热丝后分压的可能情况，结合串联电路电流相等的特点，计算电路总功率。
【解析】
(1) 电热丝$R_1$正常工作时，电压为额定电压$220\ \mathrm{V}$，功率为$440\ \mathrm{W}$，由$P=UI$得：
$I_1=\frac{P_1}{U}=\frac{440\ \mathrm{W}}{220\ \mathrm{V}}=2\ \mathrm{A}$；
(2) 由$P=\frac{U^2}{R}$，得$R_1$的电阻：
$R_1=\frac{U^2}{P_1}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{440\ \mathrm{W}}=110\ \Omega$；
$R_2$的电阻：
$R_2=\frac{U^2}{P_2}=\frac{(220\ \mathrm{V})^2}{275\ \mathrm{W}}=176\ \Omega$；
串联电路中电流处处相等，电压与电阻成正比，故：
$\frac{U_1}{U_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{110\ \Omega}{176\ \Omega}=\frac{5}{8}$；
(3) ① 电路设计：高挡功率大，需短路$R_2$，故$S_1$并联在$R_2$两端；水温高于$30°\mathrm{C}$断开电路，故$S_3$在干路，元件标注如图：
；② 低挡时$R_1$与$R_2$串联，原总电阻$R_{总}=110\ \Omega+176\ \Omega=286\ \Omega$，原电流$I=\frac{220\ \mathrm{V}}{286\ \Omega}\approx0.769\ \mathrm{A}$，原$R_1$电压约$84.6\ \mathrm{V}$，$R_2$电压约$135.4\ \mathrm{V}$。
分析剪短的电阻：若剪短$R_1$，串联时$R_1$分压变小、$R_2$分压变大，不可能出现某电阻电压为$99\ \mathrm{V}$；若剪短$R_2$，$R_2$分压变小、$R_1$分压变大，可能出现$99\ \mathrm{V}$，符合题意。
情况1：$R_1$两端电压为$99\ \mathrm{V}$，电路电流$I'=\frac{U_1'}{R_1}=\frac{99\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=0.9\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}=UI'=220\ \mathrm{V}×0.9\ \mathrm{A}=198\ \mathrm{W}$；
情况2：$R_2$两端电压为$99\ \mathrm{V}$，$R_1$两端电压$U_1''=220\ \mathrm{V}-99\ \mathrm{V}=121\ \mathrm{V}$，电流$I''=\frac{U_1''}{R_1}=\frac{121\ \mathrm{V}}{110\ \Omega}=1.1\ \mathrm{A}$，总功率$P_{总}'=UI''=220\ \mathrm{V}×1.1\ \mathrm{A}=242\ \mathrm{W}$。
【答案】
(1) $2\ \mathrm{A}$；
(2) $5:8$；
(3) ①
；② $198\ \mathrm{W}$或$242\ \mathrm{W}$；【知识点】
电功率计算、串联电路特点、欧姆定律
【点评】
本题结合实际加热场景，考查电功率与串联电路规律的综合应用，需准确分析不同挡位的电路结构，逻辑要求较高，能有效考查学生的电路分析能力。
【难度系数】
0.5
