母题鉴赏
提高奥数思维
【例题】如图，AC是圆的直径，长4 dm，已知涂色部分$S_2$的面积比$S_1$的面积大$3.28\ \mathrm{dm}^2$，则线段AB长多少分米？

【分析】
观察图形可知，$S_2 - S_1 = (S_2 + S_x) - (S_1 + S_x) = 3.28\ \mathrm{dm}^2$，即$S_2$与$S_1$的面积差等于半圆与三角形ABC的面积差。因为直径已知为4 dm，所以可以求出半圆面积为$3.14×(4÷2)^2÷2 = 6.28(\mathrm{dm}^2)$，再利用面积差求出三角形ABC的面积为$6.28 - 3.28 = 3(\mathrm{dm}^2)$。最后根据直角三角形的面积公式逆推，算出线段AB长$3×2÷4 = 1.5(\mathrm{dm})$。
【解答】

$3.14×(4÷2)^2÷2=6.28(\mathrm{dm}^2)$
$6.28-3.28=3(\mathrm{dm}^2)$
$3×2÷4=1.5(\mathrm{dm})$ 答:线段AB长1.5 dm。

1. 如图,已知大正方形的边长是10 cm,小正方形的边长是6 cm。
(1)涂色部分$S_1$与$S_2$的面积之差是多少?
(2)涂色部分$S_3$与$S_4$的面积之差是多少?
(3)涂色部分$S_a$与$S_b$的面积之差是多少?

1. (1)三角形 $CEF:(6+10)×6÷2=48(\mathrm{cm}^2)$
梯形 $ADEF:(6+10)×6÷2=48(\mathrm{cm}^2)$
$S_1-S_2:48-48=0(\mathrm{cm}^2)$
答:$S_1$与$S_2$的面积之差是0。
提示:本题如果直接计算两块涂色部分的面积再相减较为复杂,可以利用同增同减差不变的原理,让两块涂色部分同时加上梯形 $GDEF$,将 $S_1$ 与 $S_2$的面积之差转化为三角形 $CEF$ 与梯形 $ADEF$ 的面积之差再进行计算。
(2)扇形 $ADC:3.14×10^2÷4=78.5(\mathrm{cm}^2)$
三角形 $CEF:48\ \mathrm{cm}^2$ $S_3-S_4:78.5-48=30.5(\mathrm{cm}^2)$
答:$S_3$与$S_4$的面积之差是 $30.5\ \mathrm{cm}^2$。
提示:由题(1)可知,$S_1=S_2$,故求 $S_3-S_4=(S_3+S_1)-(S_4+S_2)$,即扇形 $ADC$ 的面积减去三角形 $CEF$ 的面积,计算即可。
(3)$S_a=S_2+S_3$ $S_b=S_1+S_4$ $S_1=S_2$
$S_3-S_4=30.5\ \mathrm{cm}^2$ $S_a-S_b=S_3-S_4=30.5\ \mathrm{cm}^2$
答:$S_a$与$S_b$的面积之差是 $30.5\ \mathrm{cm}^2$。
提示:由题图可知,$S_a=S_2+S_3$,$S_b=S_1+S_4$,且根据题(1)(2)可知,$S_1=S_2$,$S_3-S_4=30.5\ \mathrm{cm}^2$,所以 $S_a-S_b=S_3-S_4=30.5\ \mathrm{cm}^2$。

2. 如图,以等腰直角三角形ABC的边AB为直径画一个半圆,涂色部分①的面积比涂色部分②的面积大72 cm²。半圆的面积是多少？(π取3)

2. 设半圆的半径是 $r$,则 $(2r)^2÷2 - 3×r^2÷2 = 72(\mathrm{cm}^2)$,$r^2=144(\mathrm{cm}^2)$ 半圆面积:$3×144÷2=216(\mathrm{cm}^2)$ 答:半圆面积是 $216\ \mathrm{cm}^2$。
提示:由题图可知,涂色部分①与涂色部分②的面积之差等于三角形 $ABC$ 与半圆的面积之差,即$(2r)^2÷2 - 3×r^2÷2 = 72(\mathrm{cm}^2)$,化简得 $0.5r^2=72(\mathrm{cm}^2)$,所以 $r^2 = 144\ \mathrm{cm}^2$,故半圆面积是 $3×144÷2=216(\mathrm{cm}^2)$。