1. 已知直线$y=k_1x+b_1$与直线$y=k_2x+b_2$的交点坐标为$(2,-3)$，则直线$y=k_1x-b_1$与直线$y=k_2x-b_2$的交点坐标为 （）

A.$(-3,-2)$
B.$(3,-2)$
C.$(-2,-3)$
D.$(-2,3)$

D

2. ★★★（绍兴中考）已知$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$为直线$y=-2x+3$上的三个点，且$x_1＜x_2＜x_3$，则以下判断正确的是（）

A.若$x_1x_2＞0$，则$y_1y_3＞0$
B.若$x_1x_3＜0$，则$y_1y_2＞0$
C.若$x_2x_3＞0$，则$y_1y_3＞0$
D.若$x_2x_3＜0$，则$y_1y_2＞0$

D

3. ★★★ (2024·南通中考)平面直角坐标系$xOy$中,已知$A(3,0)$,$B(0,3)$.直线$y=kx+b$($k,b$为常数,且$k＞0$)经过点$(1,0)$,并把$△ AOB$分成两部分,其中靠近原点部分的面积为$\frac{15}{4}$,则$k$的值为.

$\frac{3}{5}$

4. ★★★|一题多解 无论 $ m $ 取什么值,一次函数 $ y=(m-2)x+2m+1(m≠2) $ 的图象总经过一个确定的点,那么这个确定的点的坐标是. ＞＞对点专练 P154

$(-2,5)$
解析:已知一次函数的图象总经过一个确定的点,则任取两个m的值,得到两条直线,这两条直线的交点就是要求的定点.若m=0,则y=-2x+1;若m=1,则y=-x+3;
∴联立$\begin{cases}y=-2x+1,\\y=-x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-2,\\y=5,\end{cases}$
∴定点坐标为(-2,5)。
一题多解：
∵无论m取什么值,一次函数$y=(m-2)x+2m+1(m≠2)$的图象总经过一个确定的点,
∴将函数表达式变形,$y=(m-2)x+2m+1=mx-2x+2m+1=m(x+2)-2x+1$,可知当x=-2时,y的值与m无关,此时$y=-2×(-2)+1=5$,
∴定点坐标为(-2,5)。
技法点拨：面对此类问题时,可以转变思路,将y看成关于m的函数,当m的系数为0时,y的取值与m无关,即无论m取什么值,函数恒过一定点。

5. (温州中考)如图,在平面直角坐标系中,点$A(2,m)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,过点A的直线交y轴于点$B(0,3)$.
(1)求$m$的值和直线$AB$的函数表达式;
(2)若点$P(t,y_1)$在线段$AB$上,点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,求$y_1-y_2$的最大值.

(1)把点$A(2,m)$代入$y=2x-\frac{5}{2}$中,得$m=\frac{3}{2}$;
设直线AB的函数表达式为$y=kx+b$,把$A(2,\frac{3}{2}),B(0,3)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}2k+b=\frac{3}{2},\\b=3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{3}{4},\\b=3,\end{cases}$
∴直线AB的函数表达式为$y=-\frac{3}{4}x+3$。
(2)
∵点$P(t,y_1)$在线段AB上,
∴$y_1=-\frac{3}{4}t+3(0≤t≤2)$.
∵点$Q(t-1,y_2)$在直线$y=2x-\frac{5}{2}$上,
∴$y_2=2(t-1)-\frac{5}{2}=2t-\frac{9}{2}$,
∴$y_1-y_2=-\frac{3}{4}t+3-(2t-\frac{9}{2})=-\frac{11}{4}t+\frac{15}{2}$.
∵$-\frac{11}{4}＜0$,
∴$y_1-y_2$随t的增大而减小,
∴当t=0时,$y_1-y_2$的最大值为$\frac{15}{2}$。

6. |分类讨论思想 如图,已知一次函数图象与x轴交于点A(3,0),与y轴交于点B(0,4).
(1)求该一次函数的表达式;
(2)点C为点A右边x轴上的点,在直线AB上存在点P,使得△OAB与以点P,A,C为顶点的三角形全等,请求出所有符合条件的点P的坐标;
(3)在y轴上存在点Q,使得△QAB为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标.

＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习

(1)设一次函数的表达式为$y=kx+b$,把$A(3,0),B(0,4)$代入$y=kx+b$,得$\begin{cases}3k+b=0,\\b=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{4}{3},\\b=4,\end{cases}$
∴$y=-\frac{4}{3}x+4$。
(2)
∵$A(3,0),B(0,4)$,
∴$OA=3,OB=4,AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.分两种情况:①当△OAB≌△CAP时,,则$AC=OA=3,PC=OB=4,∠ACP=∠AOB=90°$,
∴$OC=OA+AC=6$,
∴$P(6,-4)$;②当△OAB≌△PAC时,,
∴$AP=OA=3,PC=OB=4,AC=AB=5,∠APC=∠AOB=90°$.过点P作PD⊥x轴于点D.
∵$S_{△APC}=\frac{1}{2}AC·PD=\frac{1}{2}AP·PC$,
∴$5PD=3×4$,
∴$PD=\frac{12}{5}$,
∴$AD=\sqrt{AP^2-PD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$,
∴$OD=OA+AD=3+\frac{9}{5}=\frac{24}{5}$,
∴$P(\frac{24}{5},-\frac{12}{5})$.综上,所有符合条件的点P的坐标为$(6,-4)$或$(\frac{24}{5},-\frac{12}{5})$。
(3)点Q的坐标为$(0,-4)$或$(0,9)$或$(0,-1)$或$(0,\frac{7}{8})$。
解析:分三种情况:①当AQ=AB时,.
∵OA⊥BQ,AQ=AB,
∴OQ=OB=4,
∴Q(0,-4);②当BQ=AB时,,当点Q在点B上方,
∴$BQ_1=AB=5$,
∴$OQ_1=OB+BQ_1=4+5=9$,
∴$Q_1(0,9)$;当点Q在点B下方,
∴$BQ_2=AB=5$,
∴$OQ_2=BQ_2-OB=5-4=1$,
∴$Q_2(0,-1)$;③当AQ=BQ时,,设AQ=BQ=m,则OQ=4-m,
∴$(4-m)^2+3^2=m^2$,解得$m=\frac{25}{8}$,
∴$OQ=4-m=\frac{7}{8}$,
∴$Q(0,\frac{7}{8})$.综上,点Q的坐标为$(0,-4)$或$(0,9)$或$(0,-1)$或$(0,\frac{7}{8})$。