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8. 如图，C为线段AD上一点，B为线段CD的中点，且AD=13 cm，BC=3 cm。
(1)图中共有
(2)求AC的长。
(3)若点E在直线AD上，且EA=4 cm，求BE的长。
(1)图中共有
6
条线段。(2)求AC的长。
(3)若点E在直线AD上，且EA=4 cm，求BE的长。
答案
8. 解：(1)图中的线段有 AC,AB,AD,CB,CD,BD,共6条。
故答案为6。
(2)因为 B 为线段 CD 的中点,BC=3 cm，
所以 CD=2BC=6 cm。
因为 AD=13 cm，
所以 AC=AD-CD=13-6=7(cm)。
(3)如图1,当点 E 在线段 AC 上时。
因为 AB=AC+BC=10 cm,EA=4 cm，
所以 BE=AB-AE=10-4=6(cm)。
如图2,当点 E 在线段 CA 的延长线上时，
因为 AB=10 cm,AE=4 cm，
所以 BE=AE+AB=14 cm。
综上,BE 的长为 6 cm 或 14 cm。
解析
【分析】
1. 数线段时可按左端点依次枚举避免重复遗漏：从最左侧端点A开始，分别与右侧各端点组成线段，再依次从C、B出发与右侧端点组成线段，求和即可得到总线段数。
2. 求AC长度时，先利用线段中点的性质，由已知的BC长度求出CD的总长度，再结合AD的总长，根据线段和差关系AC=AD-CD计算即可。
3. 点E在直线AD上时位置不唯一，需分两种情况讨论：E在线段AC上、E在CA的延长线上，分别结合线段和差公式计算BE的长度即可。
【解析】
(1) 按顺序枚举所有线段：AC、AB、AD、CB、CD、BD，共6条。
(2)
∵ B为线段CD的中点，BC=3 cm
∴ CD=2BC=2×3=6 cm
又
∵ AD=13 cm
∴ AC=AD-CD=13-6=7 cm
(3) 分两种情况讨论：
① 当点E在线段AC上时，如图1：
先计算AB长度：AB=AC+BC=7+3=10 cm
∵ EA=4 cm
∴ BE=AB-AE=10-4=6 cm
② 当点E在线段CA的延长线上时，如图2：
∵ AB=10 cm，AE=4 cm
∴ BE=AE+AB=4+10=14 cm
综上，BE的长为6 cm或14 cm。
【答案】
(1) 6
(2) 7 cm
(3) 6 cm或14 cm
【知识点】
线段计数；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题考查线段相关的基础知识点，解题的关键是第三问要注意“点在直线上”的条件，需要分类讨论点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 数线段时可按左端点依次枚举避免重复遗漏：从最左侧端点A开始，分别与右侧各端点组成线段，再依次从C、B出发与右侧端点组成线段，求和即可得到总线段数。
2. 求AC长度时，先利用线段中点的性质，由已知的BC长度求出CD的总长度，再结合AD的总长，根据线段和差关系AC=AD-CD计算即可。
3. 点E在直线AD上时位置不唯一，需分两种情况讨论：E在线段AC上、E在CA的延长线上，分别结合线段和差公式计算BE的长度即可。
【解析】
(1) 按顺序枚举所有线段：AC、AB、AD、CB、CD、BD，共6条。
(2)
∵ B为线段CD的中点，BC=3 cm
∴ CD=2BC=2×3=6 cm
又
∵ AD=13 cm
∴ AC=AD-CD=13-6=7 cm
(3) 分两种情况讨论：
① 当点E在线段AC上时，如图1：
先计算AB长度：AB=AC+BC=7+3=10 cm
∵ EA=4 cm
∴ BE=AB-AE=10-4=6 cm
② 当点E在线段CA的延长线上时，如图2：
∵ AB=10 cm，AE=4 cm
∴ BE=AE+AB=4+10=14 cm
综上，BE的长为6 cm或14 cm。
【答案】
(1) 6
(2) 7 cm
(3) 6 cm或14 cm
【知识点】
线段计数；线段中点的定义；线段的和差计算
【点评】
本题考查线段相关的基础知识点，解题的关键是第三问要注意“点在直线上”的条件，需要分类讨论点的所有可能位置，避免漏解。
【难度系数】
0.7
9. 下列四个图中，能用$∠ 1$，$∠ AOB$，$∠ O$三种方法表示同一个角的是（
D
）答案
9. D
解析
【分析】
要判断哪个选项中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，首先需要明确角的不同表示方法的规则：1. 用单个大写字母（如∠O）表示角时，要求该顶点处只有唯一的一个角，否则会产生歧义；2. 用三个大写字母（如∠AOB）表示角时，顶点O在中间，两边分别是射线OA、OB；3. 用数字（如∠1）表示的是标注的特定角。我们只需要逐个验证每个选项中三种表示法对应的角是否顶点相同、两边相同，属于同一个角即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：点O是两条直线的交点，该处共形成4个角，无法用∠O表示某一个确定的角，不符合要求，排除；
选项B：∠1的顶点不是点O，和∠AOB、∠O的顶点不相同，显然不是同一个角，不符合要求，排除；
选项C：点O处共有3个角，不能用∠O表示确定的角，且∠1是顶点O处较小的角，∠AOB是顶点O处最大的角，二者不是同一个角，不符合要求，排除；
选项D：点O处只有1个角，因此可以用∠O表示；该角的两边是射线OA、OB，因此也可表示为∠AOB；同时这个角被标注为∠1，三种表示方法对应同一个角，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题重点考查角的不同表示方法的适用条件，解题的关键是牢记用单个大写字母表示角的前提是顶点处只有唯一的角，同时要确认不同表示法对应的角的顶点、两条边完全一致。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项中∠1、∠AOB、∠O表示同一个角，首先需要明确角的不同表示方法的规则：1. 用单个大写字母（如∠O）表示角时，要求该顶点处只有唯一的一个角，否则会产生歧义；2. 用三个大写字母（如∠AOB）表示角时，顶点O在中间，两边分别是射线OA、OB；3. 用数字（如∠1）表示的是标注的特定角。我们只需要逐个验证每个选项中三种表示法对应的角是否顶点相同、两边相同，属于同一个角即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：点O是两条直线的交点，该处共形成4个角，无法用∠O表示某一个确定的角，不符合要求，排除；
选项B：∠1的顶点不是点O，和∠AOB、∠O的顶点不相同，显然不是同一个角，不符合要求，排除；
选项C：点O处共有3个角，不能用∠O表示确定的角，且∠1是顶点O处较小的角，∠AOB是顶点O处最大的角，二者不是同一个角，不符合要求，排除；
选项D：点O处只有1个角，因此可以用∠O表示；该角的两边是射线OA、OB，因此也可表示为∠AOB；同时这个角被标注为∠1，三种表示方法对应同一个角，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题重点考查角的不同表示方法的适用条件，解题的关键是牢记用单个大写字母表示角的前提是顶点处只有唯一的角，同时要确认不同表示法对应的角的顶点、两条边完全一致。
【难度系数】
0.8
10. 如图，OA表示北偏西$46°38'$方向，射线OB表示北偏东某个方向，且$∠ BOD=180°$。若$∠ AOB=90°$，则OD表示的方向是（
A.北偏西$43°22'$
B.西偏南$43°22'$
C.南偏西$43°22'$
D.北偏东$43°22'$
C
）A.北偏西$43°22'$
B.西偏南$43°22'$
C.南偏西$43°22'$
D.北偏东$43°22'$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先结合方向标明确“上北下南、左西右东”的方位规则，第一步先根据已知的OA方向和∠AOB的度数，计算出OB与正北方向的夹角，得到OB的具体方向；第二步根据∠BOD=180°可知OB与OD互为反向延长线，由此即可推导得到OD对应的方向，计算角度时注意度分秒为60进制。
【解析】
设正北方向的射线为ON：
1. 计算OB的方向：已知∠AON=46°38′，∠AOB=90°，因此$∠ NOB=∠ AOB-∠ AON=90°-46°38'=43°22'$，即射线OB表示北偏东43°22′方向。
2. 推导OD的方向：因为∠BOD=180°，说明OB与OD是同一直线的反向延长线，北偏东的反方向对应南偏西，且对应角度相等，因此OD表示南偏西43°22′方向。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，角的和差计算，平角定义
【点评】
本题重点考查方向角的相关运算，解题核心是先确定OB的方向，再结合平角的性质推导反向射线的方向，计算角度时要注意度分秒的换算为60进制，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合方向标明确“上北下南、左西右东”的方位规则，第一步先根据已知的OA方向和∠AOB的度数，计算出OB与正北方向的夹角，得到OB的具体方向；第二步根据∠BOD=180°可知OB与OD互为反向延长线，由此即可推导得到OD对应的方向，计算角度时注意度分秒为60进制。
【解析】
设正北方向的射线为ON：
1. 计算OB的方向：已知∠AON=46°38′，∠AOB=90°，因此$∠ NOB=∠ AOB-∠ AON=90°-46°38'=43°22'$，即射线OB表示北偏东43°22′方向。
2. 推导OD的方向：因为∠BOD=180°，说明OB与OD是同一直线的反向延长线，北偏东的反方向对应南偏西，且对应角度相等，因此OD表示南偏西43°22′方向。
【答案】
C
【知识点】
方向角识别，角的和差计算，平角定义
【点评】
本题重点考查方向角的相关运算，解题核心是先确定OB的方向，再结合平角的性质推导反向射线的方向，计算角度时要注意度分秒的换算为60进制，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
11. 一副三角板按如图所示的方式摆放，若$∠ 1 = 9°$，则$∠ 2$的度数为
24°
。答案
11. 24°
解析
【分析】
解决本题首先要明确一副三角板的固定角度：其中一个直角三角板的两个锐角分别为30°、60°，另一个等腰直角三角板的两个锐角均为45°。观察图形可知，两个三角板的锐角部分存在公共重叠角，我们可以分别表示出∠1、∠2与重叠角的和，再通过作差消去重叠角，得到∠1和∠2的数量关系，最后代入∠1的度数即可求出∠2。
【解析】
设两个三角板重叠的角为α，根据三角板的角度特征和图形可得：
$∠ 1 + α = 30°$ ①
$∠ 2 + α = 45°$ ②
用②式减去①式，消去α：
$(∠ 2 + α) - (∠ 1 + α) = 45° - 30°$
化简得：$∠ 2 - ∠ 1 = 15°$
已知$∠ 1 = 9°$，代入得：
$∠ 2 = 9° + 15° = 24°$
【答案】
$24°$
【知识点】
三角板角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是熟练掌握三角板的固定角度，能准确从重叠的图形中找到不同角之间的和差关系，消去未知的重叠角即可快速求解。
【难度系数】
0.75
解决本题首先要明确一副三角板的固定角度：其中一个直角三角板的两个锐角分别为30°、60°，另一个等腰直角三角板的两个锐角均为45°。观察图形可知，两个三角板的锐角部分存在公共重叠角，我们可以分别表示出∠1、∠2与重叠角的和，再通过作差消去重叠角，得到∠1和∠2的数量关系，最后代入∠1的度数即可求出∠2。
【解析】
设两个三角板重叠的角为α，根据三角板的角度特征和图形可得：
$∠ 1 + α = 30°$ ①
$∠ 2 + α = 45°$ ②
用②式减去①式，消去α：
$(∠ 2 + α) - (∠ 1 + α) = 45° - 30°$
化简得：$∠ 2 - ∠ 1 = 15°$
已知$∠ 1 = 9°$，代入得：
$∠ 2 = 9° + 15° = 24°$
【答案】
$24°$
【知识点】
三角板角度特征，角的和差计算
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是熟练掌握三角板的固定角度，能准确从重叠的图形中找到不同角之间的和差关系，消去未知的重叠角即可快速求解。
【难度系数】
0.75
12. 如图，$∠ COD$在$∠ AOB$内部，若$∠ AOB+∠ COD=180°$，$∠ AOC$与$∠ BOD$互余，求$∠ COD$的度数。
答案
12. 解：因为$∠AOC$与$∠BOD$互余，
所以$∠AOC+∠BOD=90°$。
因为$∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD$，
所以$∠AOB=90°+∠COD$。
因为$∠AOB+∠COD=180°$，
所以$90°+∠COD+∠COD=180°$，
所以$∠COD=45°$。
所以$∠AOC+∠BOD=90°$。
因为$∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD$，
所以$∠AOB=90°+∠COD$。
因为$∠AOB+∠COD=180°$，
所以$90°+∠COD+∠COD=180°$，
所以$∠COD=45°$。
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：一是“∠AOC与∠BOD互余”，根据互余的定义可直接得到两角的和为90°；二是观察图形可得∠AOB由∠AOC、∠COD、∠BOD三个小角组成，可将∠AOB转化为90°与∠COD的和；最后结合已知条件∠AOB+∠COD=180°，把∠AOB的表达式代入该式，即可得到只含∠COD的等式，计算得出结果。
【解析】
因为∠AOC与∠BOD互余，
所以∠AOC+∠BOD=90°。
因为∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD，
所以∠AOB=90°+∠COD。
又因为∠AOB+∠COD=180°，
将∠AOB=90°+∠COD代入得：
90°+∠COD+∠COD=180°，
即2∠COD=90°，
解得∠COD=45°。
【答案】
45°
【知识点】
余角的定义，角的和差计算，角度运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题关键是梳理清楚图形中角的和差关系，结合余角的性质进行等量代换，将未知量统一到同一个等式中求解，能够锻炼学生的图形观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：一是“∠AOC与∠BOD互余”，根据互余的定义可直接得到两角的和为90°；二是观察图形可得∠AOB由∠AOC、∠COD、∠BOD三个小角组成，可将∠AOB转化为90°与∠COD的和；最后结合已知条件∠AOB+∠COD=180°，把∠AOB的表达式代入该式，即可得到只含∠COD的等式，计算得出结果。
【解析】
因为∠AOC与∠BOD互余，
所以∠AOC+∠BOD=90°。
因为∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD，
所以∠AOB=90°+∠COD。
又因为∠AOB+∠COD=180°，
将∠AOB=90°+∠COD代入得：
90°+∠COD+∠COD=180°，
即2∠COD=90°，
解得∠COD=45°。
【答案】
45°
【知识点】
余角的定义，角的和差计算，角度运算
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，解题关键是梳理清楚图形中角的和差关系，结合余角的性质进行等量代换，将未知量统一到同一个等式中求解，能够锻炼学生的图形观察能力和逻辑推导能力。
【难度系数】
0.7
