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9.(2025四川绵阳安州区期末)如果阳光下你的身影在你的北偏东$40°$方向上,那么太阳在你的 (
A.南偏西$50°$方向上
B.南偏西$40°$方向上
C.北偏东$50°$方向上
D.北偏东$40°$方向上
B
)A.南偏西$50°$方向上
B.南偏西$40°$方向上
C.北偏东$50°$方向上
D.北偏东$40°$方向上
答案
9. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确方向角的相对关系：以自身为观测点时，影子的方向与太阳的方向是完全相反的，二者角度大小相等，遵循南北相对、东西相对的规律。我们只需要把影子的方向对应转换成相反方向，角度保持不变，就能得到太阳的方位。
【解析】
影子的方向与太阳所在的方向为相对关系：北的相反方向是南，东的相反方向是西，且两个方向的偏转角度大小相等。
已知身影在北偏东40°方向，因此太阳的方向只需将方向对应反转、角度不变，即南偏西40°方向。
【答案】
B
【知识点】
方向角，相对位置判定
【点评】
本题是方向角在生活中的实际应用类题目，解题核心是掌握相对方向的转换规则，结合生活常识也能辅助快速判断。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确方向角的相对关系：以自身为观测点时，影子的方向与太阳的方向是完全相反的，二者角度大小相等，遵循南北相对、东西相对的规律。我们只需要把影子的方向对应转换成相反方向，角度保持不变，就能得到太阳的方位。
【解析】
影子的方向与太阳所在的方向为相对关系：北的相反方向是南，东的相反方向是西，且两个方向的偏转角度大小相等。
已知身影在北偏东40°方向，因此太阳的方向只需将方向对应反转、角度不变，即南偏西40°方向。
【答案】
B
【知识点】
方向角，相对位置判定
【点评】
本题是方向角在生活中的实际应用类题目，解题核心是掌握相对方向的转换规则，结合生活常识也能辅助快速判断。
【难度系数】
0.9
10.如图,小明家北偏东$60°$方向上有一个图书馆,该图书馆在小勇家北偏东$30°$方向上.用点$P$表示图书馆,在图中确定点$P$的位置.
答案
10. 解:如图,点P即为所求.
解析
【分析】
要确定同时满足两个位置条件的点P，首先明确图中方向规则为“上北下南，左西右东”。我们可以分别以两个观测点（小明家、小勇家）为顶点，画出对应角度的方向射线，两条射线的交点就是图书馆P的位置。
【解析】
1. 确认方向标识：竖直向上为正北，水平向右为正东。
2. 以小明家为顶点，以正北方向为起始边，向东（顺时针）旋转60°画出一条射线，该射线上的所有点都满足在小明家北偏东60°方向。
3. 以小勇家为顶点，以正北方向为起始边，向东（顺时针）旋转30°画出另一条射线，该射线上的所有点都满足在小勇家北偏东30°方向。
4. 两条射线的交点即为图书馆的位置，标记为点P。
【答案】
如图,点P即为所求.
【知识点】
方向角的表示，根据方向确定位置
【点评】
本题考查利用方向角确定具体位置的作图能力，解题的核心是找准观测点，正确绘制对应角度的方向射线，两个限制条件对应的射线交点就是所求点，是方向角应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
要确定同时满足两个位置条件的点P，首先明确图中方向规则为“上北下南，左西右东”。我们可以分别以两个观测点（小明家、小勇家）为顶点，画出对应角度的方向射线，两条射线的交点就是图书馆P的位置。
【解析】
1. 确认方向标识：竖直向上为正北，水平向右为正东。
2. 以小明家为顶点，以正北方向为起始边，向东（顺时针）旋转60°画出一条射线，该射线上的所有点都满足在小明家北偏东60°方向。
3. 以小勇家为顶点，以正北方向为起始边，向东（顺时针）旋转30°画出另一条射线，该射线上的所有点都满足在小勇家北偏东30°方向。
4. 两条射线的交点即为图书馆的位置，标记为点P。
【答案】
如图,点P即为所求.
【知识点】
方向角的表示，根据方向确定位置
【点评】
本题考查利用方向角确定具体位置的作图能力，解题的核心是找准观测点，正确绘制对应角度的方向射线，两个限制条件对应的射线交点就是所求点，是方向角应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
11.如图,直线m外有一定点O,点A是直线m上的一个动点,当点A从左向右运动时,∠α（
A.逐渐变小
B.逐渐变大
C.大小不变
D.无法确定
A
）A.逐渐变小
B.逐渐变大
C.大小不变
D.无法确定
答案
11. A
解析
【分析】首先明确角的大小仅由两边的张开程度决定，与边的长度无关。本题中∠α的顶点为动点A，一边是直线m上A点向左延伸的射线，另一边是连接定点O与A的射线OA。当A从左向右运动时，射线OA与左侧水平射线的张开幅度逐渐减小，由此可判断∠α的变化趋势。
【解析】解：角的大小只与两边张开的程度有关。∠α的两条边分别是点A向左的水平射线、射线OA，O是直线外的固定点。
当点A沿直线m从左向右运动时，射线OA与左侧水平射线的张开幅度不断减小，因此∠α的度数逐渐变小。
故选：A。
【答案】A
【知识点】角的大小判定；动态角分析
【点评】本题结合动点场景考查角的大小的判断，解题的核心是抓住角的大小的决定因素，分析角两边的张开程度变化，属于基础类考题。
【难度系数】0.9
【解析】解：角的大小只与两边张开的程度有关。∠α的两条边分别是点A向左的水平射线、射线OA，O是直线外的固定点。
当点A沿直线m从左向右运动时，射线OA与左侧水平射线的张开幅度不断减小，因此∠α的度数逐渐变小。
故选：A。
【答案】A
【知识点】角的大小判定；动态角分析
【点评】本题结合动点场景考查角的大小的判断，解题的核心是抓住角的大小的决定因素，分析角两边的张开程度变化，属于基础类考题。
【难度系数】0.9
12.(2025山东临沂平邑县期末)指南针是野外生存的必备工具之一,如果指南针上的定向箭头指向南偏东$29°$(如图),现把定向箭头绕着点O按顺时针方向旋转$180°$,那么此时定向箭头指向 (
A.北偏西$29°$
B.北偏东$29°$
C.北偏西$61°$
D.北偏东$61°$
A
)A.北偏西$29°$
B.北偏东$29°$
C.北偏西$61°$
D.北偏东$61°$
答案
12. A
解析
【分析】
解题时首先明确方向标“上北下南、左西右东”的规则，再理解顺时针旋转180°的含义：旋转后所得射线与原射线互为反向延长线，方向完全相反，偏转角度大小不变。原来的方向是南偏东29°，相反方向就是将南北互换、东西互换，角度保持29°不变，即可得到旋转后的方向。
【解析】
根据方向标的规则：上北下南，左西右东。
已知原定向箭头指向南偏东29°，即从正南方向向东偏转29°。
将箭头绕点O顺时针旋转180°后，得到的射线与原射线互为反向延长线，方向与原方向完全相反：原方向中的“南”对应相反方向“北”，“东”对应相反方向“西”，偏转的角度大小不变，仍为29°，因此此时定向箭头指向北偏西29°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角的识别，旋转的性质
【点评】
本题结合生活中的指南针场景考查方向角与旋转的综合应用，解题核心是明确旋转180°后方向与原方向完全相反、偏转角度不变的特点，解题时结合方向标规则即可快速推导结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确方向标“上北下南、左西右东”的规则，再理解顺时针旋转180°的含义：旋转后所得射线与原射线互为反向延长线，方向完全相反，偏转角度大小不变。原来的方向是南偏东29°，相反方向就是将南北互换、东西互换，角度保持29°不变，即可得到旋转后的方向。
【解析】
根据方向标的规则：上北下南，左西右东。
已知原定向箭头指向南偏东29°，即从正南方向向东偏转29°。
将箭头绕点O顺时针旋转180°后，得到的射线与原射线互为反向延长线，方向与原方向完全相反：原方向中的“南”对应相反方向“北”，“东”对应相反方向“西”，偏转的角度大小不变，仍为29°，因此此时定向箭头指向北偏西29°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
方向角的识别，旋转的性质
【点评】
本题结合生活中的指南针场景考查方向角与旋转的综合应用，解题核心是明确旋转180°后方向与原方向完全相反、偏转角度不变的特点，解题时结合方向标规则即可快速推导结果。
【难度系数】
0.8
13. (2026 四川南充仪陇县期末)已知$∠ A = 30° 15'$，$∠ B = 30.3°$，$∠ C = 30.15°$，则下列说法正确的是 (
A.$∠ A$最大
B.$∠ B$最大
C.$∠ C$最大
D.$∠ A = ∠ C$
B
)A.$∠ A$最大
B.$∠ B$最大
C.$∠ C$最大
D.$∠ A = ∠ C$
答案
13. B
解析
【分析】
要比较三个角的大小，首先发现三个角的单位不统一，包含“度+分”的形式和纯“度”的小数形式，因此解题第一步需要统一单位。根据度分秒的换算规则：1°=60'，可先将∠A中的分换算为度的形式，再和∠B、∠C的数值对比，就能得出大小关系。
【解析】
首先进行单位换算：
∵ 角度制中1°=60'，
∴ 15' = 15÷60 = 0.25°，
∴ ∠A = 30°15' = 30° + 0.25° = 30.25°。
已知∠B=30.3°，∠C=30.15°，
对比三个角的数值可得：30.3° ＞ 30.25° ＞ 30.15°，即∠B ＞ ∠A ＞ ∠C，
因此∠B是三个角中最大的。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题的易错点是容易误将度分的60进制当作10进制计算，错把15'等同于0.15°，只要牢记度分秒的换算进制，正确统一单位后再比较大小即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要比较三个角的大小，首先发现三个角的单位不统一，包含“度+分”的形式和纯“度”的小数形式，因此解题第一步需要统一单位。根据度分秒的换算规则：1°=60'，可先将∠A中的分换算为度的形式，再和∠B、∠C的数值对比，就能得出大小关系。
【解析】
首先进行单位换算：
∵ 角度制中1°=60'，
∴ 15' = 15÷60 = 0.25°，
∴ ∠A = 30°15' = 30° + 0.25° = 30.25°。
已知∠B=30.3°，∠C=30.15°，
对比三个角的数值可得：30.3° ＞ 30.25° ＞ 30.15°，即∠B ＞ ∠A ＞ ∠C，
因此∠B是三个角中最大的。
【答案】
B
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题的易错点是容易误将度分的60进制当作10进制计算，错把15'等同于0.15°，只要牢记度分秒的换算进制，正确统一单位后再比较大小即可快速解题。
【难度系数】
0.7
14. 如图，$∠ AOB$是直角，$OP_i(i=1,2,3,4,5,6)$是射线，则图中共有
27
个锐角.答案
14. 27
解析
【分析】
要计算图中的锐角个数，首先确定从顶点O出发的射线总条数：除两条边OA、OB外，还有6条射线OP₁~OP₆，共8条射线。我们知道共顶点的n条射线，总共能组成$\frac{n(n-1)}{2}$个角（任意两条射线可组成一个角）。题目明确∠AOB是直角，其余角都小于90°属于锐角，因此只需算出总角数，再减去1个直角，即可得到锐角的总个数。
【解析】
第一步：数出从O点出发的射线总数：OA、OP₁、OP₂、OP₃、OP₄、OP₅、OP₆、OB，共8条射线。
第二步：计算所有角的总个数：根据共顶点角的计数公式，n条射线组成的角的总个数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入$n=8$得：
$\frac{8×(8-1)}{2}=\frac{8×7}{2}=28$（个）
第三步：排除非锐角：已知∠AOB是直角，不属于锐角，其余角都小于90°，均为锐角。
因此锐角个数为：$28-1=27$（个）
【答案】
27
【知识点】
角的计数；锐角的定义
【点评】
本题考查角的计数，解题关键是掌握共顶点角的计数规律，同时注意排除题目给出的直角，避免多算。
【难度系数】
0.7
要计算图中的锐角个数，首先确定从顶点O出发的射线总条数：除两条边OA、OB外，还有6条射线OP₁~OP₆，共8条射线。我们知道共顶点的n条射线，总共能组成$\frac{n(n-1)}{2}$个角（任意两条射线可组成一个角）。题目明确∠AOB是直角，其余角都小于90°属于锐角，因此只需算出总角数，再减去1个直角，即可得到锐角的总个数。
【解析】
第一步：数出从O点出发的射线总数：OA、OP₁、OP₂、OP₃、OP₄、OP₅、OP₆、OB，共8条射线。
第二步：计算所有角的总个数：根据共顶点角的计数公式，n条射线组成的角的总个数为$\frac{n(n-1)}{2}$，代入$n=8$得：
$\frac{8×(8-1)}{2}=\frac{8×7}{2}=28$（个）
第三步：排除非锐角：已知∠AOB是直角，不属于锐角，其余角都小于90°，均为锐角。
因此锐角个数为：$28-1=27$（个）
【答案】
27
【知识点】
角的计数；锐角的定义
【点评】
本题考查角的计数，解题关键是掌握共顶点角的计数规律，同时注意排除题目给出的直角，避免多算。
【难度系数】
0.7
15. 新考法·探究与运用【阅读理解】
钟面角是指钟面上的时针与分针所构成的角. 在钟面上,每个大格对应$30°$的角,每个小格对应$6°$的角.
【初步感知】
(1)时针每走1 min对应
(2)如图1,时钟表示的时间为2时30分,此时钟面角为
(3)某个时刻的钟面角为$120°$,请写出一个相应的时刻:
【拓展延伸】
(4)如图2,时钟显示的时间为3时,此时钟面角为$90°$,在4时前,经过多少分钟,钟面角为$20°$?
钟面角是指钟面上的时针与分针所构成的角. 在钟面上,每个大格对应$30°$的角,每个小格对应$6°$的角.
【初步感知】
(1)时针每走1 min对应
0.5
°的角,分针每走1 min对应6
°的角.(2)如图1,时钟表示的时间为2时30分,此时钟面角为
105
°.(3)某个时刻的钟面角为$120°$,请写出一个相应的时刻:
4:00(答案不唯一)
.【拓展延伸】
(4)如图2,时钟显示的时间为3时,此时钟面角为$90°$,在4时前,经过多少分钟,钟面角为$20°$?
答案
15. 解:(1)0.5;6
(2)105
(3)4:00(答案不唯一)
(4)设经过x min,钟面角为20°,
由题意得0.5x+90-6x=20 或6x-90-0.5x=20(易错:易遗漏6x-90-0.5x=20这一情况).
解得$x=\frac{140}{11}$或x=20.
所以在3时和4时之间,从3时开始,经过$\frac{140}{11}$ min或20 min,钟面角为20°.
(2)105
(3)4:00(答案不唯一)
(4)设经过x min,钟面角为20°,
由题意得0.5x+90-6x=20 或6x-90-0.5x=20(易错:易遗漏6x-90-0.5x=20这一情况).
解得$x=\frac{140}{11}$或x=20.
所以在3时和4时之间,从3时开始,经过$\frac{140}{11}$ min或20 min,钟面角为20°.
解析
【分析】
(1) 结合钟面基本规律推导：时针1小时（60min）转动1个大格对应30°，用总度数除以总时长即可得到时针每分钟转动的角度；分针1小时（60min）转动一圈360°，同理可得分针每分钟转动的角度。
(2) 计算2时30分的钟面角：先分别计算此时时针、分针与12点位置的夹角，再求两个夹角的差值，即为钟面角。
(3) 钟面角为120°，说明时针和分针相差4个大格（每个大格对应30°），整点时选择分针指向12，时针指向对应数字的时刻即可。
(4) 可看作行程类追及问题，分针转动速度快于时针，夹角为20°存在两种情况：一是分针未追上时针，二是分针超过时针，结合两种位置关系分别列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 时针每小时转30°，1小时=60min，因此时针每走1min对应：$30°÷60=0.5°$；
分针每小时转360°，因此分针每走1min对应：$360°÷60=6°$。
(2) 2时30分时，分针指向6，与12点位置的夹角为$6×30°=180°$；
时针在2点时与12点位置夹角为$2×30°=60°$，30min额外转动$30×0.5°=15°$，总夹角为$60°+15°=75°$；
因此钟面角为$180°-75°=105°$。
(3) 整点时分针指向12，当时针指向4时，两针夹角为$4×30°=120°$，因此时刻可以是4:00（答案不唯一，8:00等也符合要求）。
(4) 设经过$x$ min，钟面角为$20°$，分两种情况讨论：
① 分针未超过时针时：$0.5x+90-6x=20$，
解得$x=\frac{140}{11}$；
② 分针超过时针后：$6x-(90+0.5x)=20$，
解得$x=20$。
【答案】
(1) $0.5$；$6$
(2) $105$
(3) $4:00$（答案不唯一）
(4) 经过$\frac{14}{11}$ min或$20$ min，钟面角为$20°$
【知识点】
1. 钟面角的计算
2. 一元一次方程的应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的时钟场景考查角的计算，既包含钟面角的基础规律考查，也需要结合方程思想、分类讨论思想解决动态夹角问题，解题时注意分析分针和时针的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 结合钟面基本规律推导：时针1小时（60min）转动1个大格对应30°，用总度数除以总时长即可得到时针每分钟转动的角度；分针1小时（60min）转动一圈360°，同理可得分针每分钟转动的角度。
(2) 计算2时30分的钟面角：先分别计算此时时针、分针与12点位置的夹角，再求两个夹角的差值，即为钟面角。
(3) 钟面角为120°，说明时针和分针相差4个大格（每个大格对应30°），整点时选择分针指向12，时针指向对应数字的时刻即可。
(4) 可看作行程类追及问题，分针转动速度快于时针，夹角为20°存在两种情况：一是分针未追上时针，二是分针超过时针，结合两种位置关系分别列一元一次方程求解即可。
【解析】
(1) 时针每小时转30°，1小时=60min，因此时针每走1min对应：$30°÷60=0.5°$；
分针每小时转360°，因此分针每走1min对应：$360°÷60=6°$。
(2) 2时30分时，分针指向6，与12点位置的夹角为$6×30°=180°$；
时针在2点时与12点位置夹角为$2×30°=60°$，30min额外转动$30×0.5°=15°$，总夹角为$60°+15°=75°$；
因此钟面角为$180°-75°=105°$。
(3) 整点时分针指向12，当时针指向4时，两针夹角为$4×30°=120°$，因此时刻可以是4:00（答案不唯一，8:00等也符合要求）。
(4) 设经过$x$ min，钟面角为$20°$，分两种情况讨论：
① 分针未超过时针时：$0.5x+90-6x=20$，
解得$x=\frac{140}{11}$；
② 分针超过时针后：$6x-(90+0.5x)=20$，
解得$x=20$。
【答案】
(1) $0.5$；$6$
(2) $105$
(3) $4:00$（答案不唯一）
(4) 经过$\frac{14}{11}$ min或$20$ min，钟面角为$20°$
【知识点】
1. 钟面角的计算
2. 一元一次方程的应用
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合生活中的时钟场景考查角的计算，既包含钟面角的基础规律考查，也需要结合方程思想、分类讨论思想解决动态夹角问题，解题时注意分析分针和时针的位置关系，避免漏解。
【难度系数】
0.65
