4. (1)(2025·编写)如图,在正方形网格上有两个相似三角形,即△ABC和△DEF,则∠BAC的度数为______.


(2)(2022·高新)如图,在△ABC中,∠C= 90°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,适当长为半径作圆弧,分别交边AB,AC于点M,N;②分别以点M和点N为圆心,大于MN一半的长为半径作圆弧,在∠BAC内,两弧交于点P;③作射线AP交边BC于点D.若△DAC∽△ABC,则∠B的大小为______度.

(1)135° (2)30

5. (2023·武侯)已知△ABC∽△DEF,如果∠A= 35°,∠B= 65°,那么∠F的度数是()
A. 35°
B. 65°
C. 80°
D. 100°

C

6. (2025·编写)下列说法正确的是()
A. 两个矩形一定相似
B. 两个菱形一定相似
C. 两个等腰三角形一定相似
D. 两个等边三角形一定相似

D

7. (2025·编写)如图$,△ABC∽△A_1B_1C_1,$那么它们的相似比是()

A. 1:2√2
B. 2√2:1
C. 1:√2
D. √2:1

D

8. (2025·编写)在△ABC中,已知∠C= 90°,AC= √3,BC= 2.如果△DEF与△ABC相似,且△DEF的两条边的长分别为4和2√7,那么△DEF第三条边的长为()
A. 2
B. √7
C. 2√3
D. 2√11

C

9. (1)(2025·编写)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AD,DC上,△ABE∽△DEF,AB= 6,AE= 9,DE= 2.求EF的长.

(2)(2025·编写)如图,已知△ABC∽△ACD,CD平分∠ACB,AD= 2,BD= 3.求AC,DC的长.

(1)[解]∵△ABE∽△DEF,AB = 6,AE = 9,DE = 2,∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{AE}{DF}$,即$\frac{6}{2}$=$\frac{9}{DF}$,解得DF = 3.
　∵四边形ABCD为矩形,∴∠D = 90°,
由勾股定理，得$EF = \sqrt{DE^{2} + DF^{2}} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13}$
(2)[解]∵△ABC∽△ACD,AD = 2,BD = 3,
∴∠ACD = ∠B、$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$,即$\frac{5}{AC}$=$\frac{AC}{2}$,
解得AC = $\sqrt{10}$
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD = ∠BCD,
∴∠BCD = ∠B,∴DC = BD = 3.