15. (2025·金牛)如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y = ax + b(a \neq 0)的图象与反比例函数y = \frac{k}{x}(k \neq 0)的图象交于A$,$C$两点,与$x$轴、$y轴分别交于点B$,$D$,已知点$A的坐标为(-2,4)$,点$C的坐标为(8,m)$。
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)若点$M在x$轴上,以$M$,$A$,$B为顶点的三角形与\triangle BOD$相似时,求点$M$的坐标；
(3)$P是直线AB下方反比例函数y = \frac{k}{x}$图象上一点,当$\triangle PAB$的面积为24时,求点$P$的坐标。

(1)把点A(−2,4)代入y = $\frac{k}{x}$(k≠0)，得k = -2×4 = -8，∴该反比例函数的解析式为y = -$\frac{8}{x}$。把(8,m)代入y = -$\frac{8}{x}$，得m = -$\frac{8}{8}$ = -1，∴点C的坐标为(8,−1)。把点A(−2,4)，C(8,−1)代入一次函数的解析式，得$\begin{cases} -2a + b = 4 \\ 8a + b = -1 \end{cases}$，解得$\begin{cases} a = -\frac{1}{2} \\ b = 3 \end{cases}$，∴该一次函数的解析式为y = -$\frac{1}{2}$x + 3。
(2)设M(d,0)。在y = -$\frac{1}{2}$x + 3中，令x = 0，则y = 3，令y = 0，则x = 6，∴D(0,3)，B(6,0)，∴OD = 3，OB = 6。∵以M,A,B为顶点的三角形与$\triangle BOD$相似，∴当∠MAB = ∠BOD = 90°时，$\triangle ABM \sim \triangle OBD$，∴$\frac{AM}{OD} = \frac{AB}{OB}$。∵AM = $\sqrt{(-2 - d)^2 + 4^2}$，AB = $\sqrt{(-2 - 6)^2 + 4^2}$ = 4$\sqrt{5}$，BM = 6 - d，∴$\frac{\sqrt{(-2 - d)^2 + 4^2}}{3} = \frac{4\sqrt{5}}{6}$，解得d = -4或d = 0(不合题意舍去)。当∠AMB = ∠BOD = 90°时，AM//OD，则$\triangle AMB \sim \triangle DOB$，∴AM⊥x轴，∴OM = 2，即d = -2。综上所述，点M的坐标为(−4,0)或(−2,0)。
(3)设点P的坐标为(n,−$\frac{8}{n}$)。当点P在第四象限时，$\triangle PAB$的面积 = [6 - (-2)]×[4 - (-$\frac{8}{n}$)] - $\frac{1}{2}$×8×4 - $\frac{1}{2}$(4 + $\frac{8}{n}$)(n + 2) - $\frac{1}{2}$×$\frac{8}{n}$×(6 - n) = 24，解得n = 2或n = -8(不合题意，舍去)；当点P在第二象限时，$\triangle PAB$的面积 = $\frac{1}{2}$×(4 + $\frac{8}{n}$ + 4)(6 - n) - $\frac{1}{2}$×8×4 - $\frac{1}{2}$×(-2 - n)⋅(4 + $\frac{8}{n}$) = 24，解得n = -8或n = 2(不合题意，舍去)。综上所述，点P的坐标为(2,−4)或(−8,1)。