5. 五线谱上跳动着美妙的音符,你能在等距的平


行线上借助直尺和圆规画出美丽的几何图形吗?
(1)在图①的两条平行线上画一个等腰三角形,使其三个顶点都在平行线上,且有一个内角等于已知角α.(画出符合题意的一种即可)
(2)在图②的两条平行线上画一个等腰三角形,使其三个顶点都在平行线上,且满足腰:底$=\sqrt {5}:2$.(画出符合题意的一种即可)
(3)在图③的三条等距平行线上画一个等边三角形,使其三个顶点分别在三条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可)
(4)在图④的四条等距平行线上画一个正方形,使其四个顶点分别在四条等距平行线上.(画出符合题意的一种即可)
(5)小强同学声称他在五条等距的平行线上画出了如图⑤所示的正五边形(各边相等各内角也相等的五边形),你同意他的说法吗?请给出你的观点并说明理由.

(1)如图①,在l2上取点A,作∠BAC等于已知角α,交l1于点B,在l2上截取AC=AB,连接BC,△ABC即为所求.

(2)如图②,在l2上取点D,作AD⊥l2,交l1于点A,在l2上取BD=CD=$\frac{1}{2}$AD,连接AB,AC,△ABC即为所求.
理由:由作法得BD=CD=$\frac{1}{2}$AD,AD⊥l2,∴AB=$\sqrt{AD²+BD²}$=$\sqrt{5}$BD,∴腰:底=$\sqrt{5}$BD:2BD=$\sqrt{5}$:2.
(3)如图③,在l3上取点B,作AB⊥l3,交l1于点A,作AC=AB,使点C在l2上,连接BC,△ABC即为所求.
理由:由作法得l2垂直平分线段AB,AC=AB,∴AC=BC,∴AC=AB=BC,∴△ABC是等边三角形

(4)如图④,在l2上取点D作EF⊥l2,交l1于点E,交l4于点F,在l1上取EA=FD,在l4上取FC=ED,连接CD交l3于点P,作∠ABP=∠BPC,连接BC,正方形ABCD即为所求

由作法得∠ABP=∠BPC,EA=FD,FC=ED,∠AED=∠CFD=90°,∴AB//CD,∠ADE+∠DAE=90°,∴△ADE≅△DCF,∴AD=CD,∠DAE=∠CDF,∴∠ADE+∠CDF=90°,∴∠ADC=90°,∴∠BAD=180°−90°=90°,同理∠BCD=90°,∴四边形ABCD是正方形
(5)不同意.理由:假设五边形ABCDE是正五边形.如图⑤,过点A作AM⊥l2于点M,过点C作CN⊥l4于点N,AB交直线l2于点G,BC交直线l4于点H
∵AM=CN,AE=DC,∠AME=∠CND=90°,∴Rt△AME≅Rt△CND(HL),∴∠AEM=∠CDN.∵∠EAG=∠DCH,AE=CD,∴△AGE≅△CHD(ASA),∴∠AGE=∠CHD.∵l2//l3//l4,∴∠ABT=∠AGE,∠CHD=∠CBT,∴∠ABT=∠CBT,∴直线BT是正五边形的对称轴，∴BT⊥DE,∴DE=CD=2CN,∴∠CDN=30°,∴∠CDE=30°+90°=120°,与正五边形的内角为108°矛盾，∴假设错误，∴小强同学的说法错误

6. (2025·连云港月考)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫作格点.
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(2)在图②中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为$2,\sqrt {5},\sqrt {13}.$

(1)如图①的正方形的边长是$\sqrt{10}$,面积是10.

(2)如图②的三角形的三边长分别为2,√5,$\sqrt{13}$

7. 仅使用无刻度的直尺作图,找出下面三图中直线l上的点P,使得点P到A,B两点距离之和最小.(请保留作图痕迹)

如图,点P即为所求

8. 线段AB的端点A,B在$6×6$的正方形网格的格点上.只用无刻度的直尺在网格中画图(保留画图痕迹,每小题画出一个即可).
(1)在图①中找出格点C,使$∠ABC= 90^{\circ };$
(2)在图②中找出格点D,使$∠ABD= 45^{\circ };$
(3)在图③中画出非格点的点E,使$∠AEB= 90^{\circ }.$

(1)如图①，点C即为所求(答案不唯一)
(2)如图②,点D即为所求(答案不唯一)
(3)如图③,点E即为所求(答案不唯一)