1. (2025 自贡)计算：$\sqrt{18} - 3\sqrt{2} =$
0
.答案
$0$
解析
先将$\sqrt{18}$化简，$\sqrt{18}=\sqrt{9×2} = 3\sqrt{2}$，则原式可化为$3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=0$。
2. (2024 河南，16(1))计算：$\sqrt{2}×\sqrt{50} - (1 -$
3
$\sqrt{3})^{0}$.答案
9
解析
$\sqrt{2}×\sqrt{50} - (1 - 2\sqrt{3})^{0} = \sqrt{100} - 1 = 10 - 1 = 9$
3. (2025 河南，16(1))计算：$\sqrt[3]{8} + (\pi - 1)^{0} - \sqrt{3}×\sqrt{3}$.
答案
0
解析
根据立方根性质，得$\sqrt[3]{8} = 2$，
根据零指数幂法则，得$(\pi - 1)^{0} = 1$，
根据二次根式乘法规则，得$\sqrt{3} × \sqrt{3} = 3$，
将以上结果代入原式，得：
$\sqrt[3]{8} + (\pi - 1)^{0} - \sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 + 1 - 3 = 0$。
根据零指数幂法则，得$(\pi - 1)^{0} = 1$，
根据二次根式乘法规则，得$\sqrt{3} × \sqrt{3} = 3$，
将以上结果代入原式，得：
$\sqrt[3]{8} + (\pi - 1)^{0} - \sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 + 1 - 3 = 0$。
4. (2025 河南，11)请写出一个使$\sqrt{5 - x}$在实数范围内有意义的$x$的值：
0
.答案
0
解析
要使$\sqrt{5 - x}$在实数范围内有意义，需满足被开方数非负，即$5 - x \geq 0$，解得$x \leq 5$。取$x = 0$（答案不唯一，只要$x \leq 5$即可）。
5. (2025 平顶山三模)若根式$\sqrt{x - 3}$有意义，则$x$的取值范围是
$x \geq 3$
.答案
$x \geq 3$
解析
要使根式$\sqrt{x - 3}$有意义，被开方数必须是非负数，即$x - 3 \geq 0$，解得$x \geq 3$。
6. (2020 河南，11)请写出一个大于$1$且小于$2$的无理数：
$\sqrt{2}$
.答案
$\sqrt{2}$（答案不唯一，填写满足条件的一个即可）。
解析
本题可根据无理数的定义以及比较大小的方法来找出大于$1$且小于$2$的无理数。
无理数，也称为无限不循环小数。
因为$1=\sqrt{1}$，$2 = \sqrt{4}$，那么我们可以考虑$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$等数，$1\lt\sqrt{2}\lt2$，$1\lt\sqrt{3}\lt2$，所以$\sqrt{2}$（答案不唯一）满足条件。
无理数，也称为无限不循环小数。
因为$1=\sqrt{1}$，$2 = \sqrt{4}$，那么我们可以考虑$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$等数，$1\lt\sqrt{2}\lt2$，$1\lt\sqrt{3}\lt2$，所以$\sqrt{2}$（答案不唯一）满足条件。
7. (2025 重庆)若$n$为正整数，且满足$n ＜ \sqrt{26} ＜ n + 1$，则$n =$
5
.答案
$5$
解析
首先我们需要找到一个正整数$n$，使得$n \lt \sqrt{26} \lt n + 1$。
计算接近26的几个完全平方数，我们知道：
$5^2 = 25 \lt 26$，
$6^2 = 36 \gt 26$，
由此可得：
$5 \lt \sqrt{26} \lt 6$，
因此，$n = 5$。
计算接近26的几个完全平方数，我们知道：
$5^2 = 25 \lt 26$，
$6^2 = 36 \gt 26$，
由此可得：
$5 \lt \sqrt{26} \lt 6$，
因此，$n = 5$。
教材溯源→1. (北师八上 P26)(1)根据右图填空：
$x^{2} =$
(2)$x$，$y$，$z$，$w$中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
$x^{2} =$
2
，$y^{2} =$3
，$z^{2} =$4
，$w^{2} =$5
.(2)$x$，$y$，$z$，$w$中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
答案
(1)
$x^{2}=1^{2} + 1^{2}=2$；
$y^{2}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 + 2=3$（在$Rt\triangle ADC$中，先由$\triangle ABD$是等腰直角三角形得$AD = \sqrt{2}$，再根据勾股定理求$y$对应的$y^{2}$）；
$z^{2}=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1 + 3=4$（在$Rt\triangle ADE$中，先求出$AE=\sqrt{3}$，再根据勾股定理求$z$对应的$z^{2}$）；
$w^{2}=1^{2}+2^{2}=5$（在$Rt\triangle ADE$中相关线段关系求$w$对应的$w^{2}$）。
(2)
因为$x=\sqrt{2}$，$y = \sqrt{3}$，$z=\sqrt{4}=2$，$w=\sqrt{5}$，
所以有理数是$z = 2$；无理数是$x=\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}$，$w=\sqrt{5}$。
$x^{2}=1^{2} + 1^{2}=2$；
$y^{2}=1^{2}+(\sqrt{2})^{2}=1 + 2=3$（在$Rt\triangle ADC$中，先由$\triangle ABD$是等腰直角三角形得$AD = \sqrt{2}$，再根据勾股定理求$y$对应的$y^{2}$）；
$z^{2}=1^{2}+(\sqrt{3})^{2}=1 + 3=4$（在$Rt\triangle ADE$中，先求出$AE=\sqrt{3}$，再根据勾股定理求$z$对应的$z^{2}$）；
$w^{2}=1^{2}+2^{2}=5$（在$Rt\triangle ADE$中相关线段关系求$w$对应的$w^{2}$）。
(2)
因为$x=\sqrt{2}$，$y = \sqrt{3}$，$z=\sqrt{4}=2$，$w=\sqrt{5}$，
所以有理数是$z = 2$；无理数是$x=\sqrt{2}$，$y=\sqrt{3}$，$w=\sqrt{5}$。
拓展延伸→【代数推理】2. 细心观察如图所示的“海螺图”，认真分析下列各式，然后解答问题：
$OA_{2}^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$，$S_{1} = \frac{1}{2}$；$OA_{3}^{2} = (\sqrt{2})^{2} + 1^{2} = 3$，$S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；$OA_{4}^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 1^{2} = 4$，$S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；…
(1)直接用含有$n$（$n$为正整数）的等式表示上述变化规律；
(2)计算$OA_{10}$的长；
(3)若一个三角形的面积是$\sqrt{5}$，计算说明它是第几个三角形；
(4)求$S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + ··· + S_{10}^{2}$的值.
$OA_{2}^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$，$S_{1} = \frac{1}{2}$；$OA_{3}^{2} = (\sqrt{2})^{2} + 1^{2} = 3$，$S_{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；$OA_{4}^{2} = (\sqrt{3})^{2} + 1^{2} = 4$，$S_{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$；…
(1)直接用含有$n$（$n$为正整数）的等式表示上述变化规律；
(2)计算$OA_{10}$的长；
(3)若一个三角形的面积是$\sqrt{5}$，计算说明它是第几个三角形；
(4)求$S_{1}^{2} + S_{2}^{2} + S_{3}^{2} + ··· + S_{10}^{2}$的值.
答案
(1) $OA_{n}^{2}=n$，$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}$（$n$为正整数）
(2) $OA_{10}=\sqrt{10}$
(3) 由$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$，得$\sqrt{n}=2\sqrt{5}$，$n=(2\sqrt{5})^{2}=20$，故为第20个三角形
(4) $S_{n}^{2}=(\frac{\sqrt{n}}{2})^{2}=\frac{n}{4}$，原式$=\frac{1+2+···+10}{4}=\frac{55}{4}$
(2) $OA_{10}=\sqrt{10}$
(3) 由$S_{n}=\frac{\sqrt{n}}{2}=\sqrt{5}$，得$\sqrt{n}=2\sqrt{5}$，$n=(2\sqrt{5})^{2}=20$，故为第20个三角形
(4) $S_{n}^{2}=(\frac{\sqrt{n}}{2})^{2}=\frac{n}{4}$，原式$=\frac{1+2+···+10}{4}=\frac{55}{4}$
