例2 (2025 安阳模拟)如图，已知一次函数 $ y = 2x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴交于点 $ A $，与 $ y $ 轴交于点 $ B $，点 $ M $ 为线段 $ AB $ 的中点。
(1) 点 $ M $ 的坐标为；
(2) $ y $ 轴上有一动点 $ Q $，连接 $ QM $，$ QA $，求 $ \triangle QMA $ 周长的最小值及此时点 $ Q $ 的坐标；
(3) 在 (2) 的条件下，当 $ \triangle QMA $ 的周长最小时，若 $ x $ 轴上有一点 $ F $，过点 $ F $ 作直线 $ l ⊥ x $ 轴，交直线 $ MQ $ 于点 $ G $，交直线 $ AB $ 于点 $ H $，若 $ GH $ 的长为 $ 3 $，直接写出点 $ F $ 的坐标。

(1)$(-1,2)$；(2)周长最小值为$\sqrt{13}+\sqrt{5}$，$Q(0,\frac{4}{3})$；(3)$(\frac{1}{8},0)$或$(-\frac{17}{8},0)$

(1) 对于一次函数$y=2x+4$，令$y=0$得$x=-2$，则$A(-2,0)$；令$x=0$得$y=4$，则$B(0,4)$。$M$为$AB$中点，坐标为$(\frac{-2+0}{2},\frac{0+4}{2})=(-1,2)$。
(2) 作$A$关于$y$轴的对称点$A'(2,0)$，连接$A'M$交$y$轴于$Q$。设直线$A'M$解析式为$y=kx+b$，代入$A'(2,0)$，$M(-1,2)$得$\begin{cases}2k+b=0\\-k+b=2\end{cases}$，解得$k=-\frac{2}{3},b=\frac{4}{3}$，故$Q(0,\frac{4}{3})$。$MA=\sqrt{(-1+2)^2+(2-0)^2}=\sqrt{5}$，$A'M=\sqrt{(2+1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{13}$，周长最小值为$\sqrt{13}+\sqrt{5}$。
(3) 直线$MQ$：$y=-\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$，直线$AB$：$y=2x+4$。设$F(t,0)$，则$G(t,-\frac{2}{3}t+\frac{4}{3})$，$H(t,2t+4)$。由$|(-\frac{2}{3}t+\frac{4}{3})-(2t+4)|=3$，得$|\frac{-8}{3}t-\frac{8}{3}|=3$，解得$t=\frac{1}{8}$或$t=-\frac{17}{8}$，故$F(\frac{1}{8},0)$或$(-\frac{17}{8},0)$。

1. (2025 驻马店三模)在平面直角坐标系中，一次函数 $ y = -\frac{3}{2}x + 1 $ 的图象不经过()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

C

对于一次函数$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），当$k＜0$，$b＞0$时，函数图象经过第一、二、四象限。在函数$y=-\frac{3}{2}x + 1$中，$k=-\frac{3}{2}＜0$，$b=1＞0$，所以该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限。

2. (2025 郑州一模)已知点 $ A(x_1, y_1) $，$ B(x_2, y_2) $ 都在正比例函数 $ y = 3x $ 的图象上，若 $ x_1 ＜ x_2 $，则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系是()

A.$ y_1 ＞ y_2 $
B.$ y_1 ＜ y_2 $
C.$ y_1 = y_2 $
D.$ y_1 \geq y_2 $

B

已知正比例函数 $ y = 3x $，其比例系数 $ 3 ＞ 0 $，因此 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。
由于 $ x_1 ＜ x_2 $，根据函数单调性可得 $ y_1 ＜ y_2 $。

3. (2022 河南，11)请写出一个 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大的一次函数的表达式：。

$y = x - 3$（答案不唯一）

一次函数的一般形式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数，$k\neq0$），当$k\gt0$时，$y$随$x$的增大而增大，所以只要写出一个$k\gt0$的一次函数即可，比如$y = x - 3$。

4. (2025 驻马店三模)一次函数 $ y = ax + b $ 的图象如图所示，若 $ a = m - 4 $，$ b = 2m + 1 $，则 $ m $ 的值可以是()


A.-1
B.0
C.-2
D.5

B

由一次函数图象可知，$y$随$x$增大而减小，且与$y$轴交于正半轴，所以$a＜0$，$b＞0$。
因为$a=m-4$，$b=2m+1$，
所以$\begin{cases}m-4＜0 \\ 2m+1＞0\end{cases}$，
解得$-\frac{1}{2}＜m＜4$。
选项中只有$0$在此范围内，故选B。