11. (2025 濮阳一模)如图, 将 $\triangle EFP$ 放置在菱形 $ABCD$ 中, 使得顶点 $E$, $F$, $P$ 分别在线段 $AB$, $AD$, $AC$ 上, 已知 $EP = FP = 6$, $EF = 6\sqrt{3}$, $\angle BAD = 60^{\circ}$, 且 $AB ＞ 6\sqrt{3}$，若 $\triangle EFP$ 的三个顶点 $E$, $F$, $P$ 分别在线段 $AB$, $AD$, $AC$ 上运动, 则 $AP$ 的最大值为, 最小值为.

12,6

在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC为对角线，故∠BAC=∠CAD=30°。△EFP中，EP=FP=6，EF=6√3，由余弦定理得∠EPF=120°。以A为原点，AC为x轴建立坐标系，设P(x,0)，E、F分别在AB、AD上，坐标设为E(e·cos30°, e·sin30°)，F(f·cos(-30°), f·sin(-30°))。由EP=FP=6，得方程t² - √3 x t + (x² - 36)=0（e,f为根）。E、F在线段上需方程有非负实根，故判别式Δ=-x² + 144≥0（x≤12），两根之积x² - 36≥0（x≥6）。综上，AP最大值为12，最小值为6。

例5 如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = 3$, $BC = 4$, 点 $F$ 在边 $AC$ 上, 且 $CF = 1$, 点 $E$ 为边 $BC$ 上的动点, 将 $\triangle CEF$ 沿 $EF$ 所在直线翻折, 点 $C$ 落在点 $P$ 处, 连接 $AP$, $BP$, 则 $\triangle ABP$ 面积的最小值是.

3/2

以C为原点，CB为x轴，CA为y轴建立坐标系，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)，F(0,1)。由翻折性质知FP=FC=1，故P在以F(0,1)为圆心，1为半径的圆上。AB的方程为3x+4y-12=0，AB=5。圆心F到AB的距离d=|0+4-12|/5=8/5。圆上点到AB的最小距离为d-r=8/5 -1=3/5。△ABP面积最小值为(1/2)×5×(3/5)=3/2。

12. (2025 开封一模)如图, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $AC = 3$, $BC = 4$, $D$ 为 $AB$ 的中点, $E$, $F$ 分别是边 $AC$, $BC$ 上的动点, 且 $EF = 3$, $G$ 是 $EF$ 的中点, 连接 $AG$, $DG$, 点 $E$, $F$ 在运动的过程中, $GD$ 的最小值为, 当 $\angle CAG$ 最大时, 线段 $BF$ 的长是.

1；4 - 3√3/2

1. 求GD的最小值：
以C为原点，AC为y轴，BC为x轴建立坐标系，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)，AB中点D(2, 3/2)。设E(0,e)，F(f,0)，EF=3，G为EF中点，则G(f/2,e/2)。由EF²=9得f²+e²=9，故G轨迹为圆C：x²+y²=(3/2)²（第一象限部分）。CD=√(2²+(3/2)²)=5/2，GD最小值=CD-半径=5/2 - 3/2=1。
2. 当∠CAG最大时求BF：
∠CAG最大时，AG与圆C相切。在Rt△ACG中，CA=3，CG=3/2，sin∠CAG=CG/CA=1/2，∠CAG=30°。设G(x,y)，由CG⊥AG及x²+y²=9/4，解得G(3√3/4, 3/2)。则F(f,0)中f=2x=3√3/2，BF=4 - f=4 - 3√3/2。

13. (2025 信阳三模)如图 1, 在 $Rt\triangle ABC$ 中, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $BC = 1$, $D$, $E$ 分别为 $AC$, $BC$ 的中点. 如图 2, 将 $\triangle CDE$ 绕点 $C$ 顺时针旋转, 设旋转角为 $\alpha(0 \leq \alpha \leq 180^{\circ})$, 记直线 $AD$ 与直线 $BE$ 的交点为点 $P$, $BP$ 交 $AC$ 于点 $O$, 则在运动过程中, 点 $P$ 到直线 $BC$ 距离的最大值为, 点 $P$ 运动的路径长为.

√3/2；2π/3

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，可得AC=√3，AB=2。D、E分别为AC、BC中点，CD=√3/2，CE=1/2，∠DCE=90°。将△CDE绕C顺时针旋转α(0°≤α≤180°)，设旋转后D、E坐标，联立直线AD与BE方程得交点P(x,y)。
点P到BC距离的最大值：
BC为y轴，P到BC距离即x坐标。通过三角恒等变换及参数方程化简，得P轨迹方程(x - √3/2)² + (y - 1/2)²=1（圆心(√3/2,1/2)，半径1）。当α=60°时，P(√3/2,-1/2)，x=√3/2为最大值。
点P运动路径长：
P轨迹为圆，α=0°和180°时P均在(0,0)，α=60°时P(√3/2,-1/2)。圆心角∠AO'B=120°（O'为圆心），弧长=1×(2π/3)=2π/3。

14. (四点共圆非定圆)如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $BC = CD$, 且 $\angle BAC = \angle DAC = 45^{\circ}$. 若 $AC = 4$, 则四边形 $ABCD$ 的面积为, $BD$ 的最小值为.

8；4

求四边形ABCD的面积：
过B作BE⊥AC于E，过D作DF⊥AC于F。
∵∠BAC=∠DAC=45°，∴△ABE和△ADF均为等腰直角三角形，故BE=AE，DF=AF。
设AE=m，AF=n，则BE=m，DF=n。
四边形ABCD面积=S△ABC+S△ADC=1/2·AC·BE + 1/2·AC·DF=2(BE+DF)=2(m+n)。
∵BC=CD，由勾股定理得BC²=(4-m)²+m²，CD²=(4-n)²+n²，
∴(4-m)²+m²=(4-n)²+n²，化简得(m-n)(m+n-4)=0。
∵B、D在AC两侧，m+n=4，故面积=2×4=8。
求BD的最小值：
以A为原点，AC为x轴建立坐标系，B(m,m)，D(n,-n)。
由m+n=4得n=4-m，故D(4-m,-(4-m))。
BD²=(4-2m)²+(-4)²=4(m-2)²+16，当m=2时，BD²最小=16，BD最小值=4。

15. (正方形十字模型反推)如图, 点 $C$ 是射线 $AM$ 上一点, $AB ⊥ AC$, $AB = 2$, 点 $E$ 在 $AB$ 上, 且 $BE = AC$，过点 $E$ 作 $EH ⊥ BC$ 于点 $H$，则 $AH$ 的最小值为.

√5 - 1

以A为原点，AC、AB为x、y轴建系，设C(c,0)，则B(0,2)，E(0,2-c)。直线BC：y=(-2/c)x+2，EH⊥BC，斜率c/2，直线EH：y=(c/2)x+2-c。联立得H(2c²/(c²+4),(2c²-4c+8)/(c²+4))。AH=√[x_H²+y_H²]=2√2√[(c²-2c+2)/(c²+4)]。设f(c)=(c²-2c+2)/(c²+4)，求导或判别式法得f(c)最小值为(3-√5)/4，此时AH=√5-1。

16. (构相似找隐圆)(2025 自贡)如图, 正方形 $ABCD$ 边长为 $6$，以对角线 $BD$ 为斜边作 $Rt\triangle BED$, $\angle E = 90^{\circ}$, 点 $F$ 在 $DE$ 上, 连接 $BF$. 若 $2BE = 3DF$，则 $BF$ 的最小值为 ()

A.$6$
B.$6\sqrt{2} - \sqrt{5}$
C.$3\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5} - 2\sqrt{2}$

D

以B为原点，BC、BA为x、y轴建立坐标系，B(0,0)，D(6,6)，BD中点O(3,3)，E在以BD为直径的圆上：(x-3)²+(y-3)²=18。设BE=3k，DF=2k，DE=√(BD²-BE²)=3√(8-k²)。F在DE上，由定比分点得F坐标，结合E的轨迹方程，通过向量运算及参数代换，化简BF²=4k²+72-12k√(8-k²)。设k=2√2 sinα，利用二倍角公式得BF²=88-16√10 sin(2α+φ)，最小值为88-16√10，开方得BF=4√5-2√2。