7. (2025 深圳)综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景. 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件 1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数 $=$ 现场总人数 $-$ 已人场人数；
条件 2：若该演出场地最多可开放 $9$ 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检 $6$ 人.
【模型构建】若该演出前 $30$ 分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 $y$ 与安检时间 $x$ 之间满足关系式：$y = -x^{2} + 60x + 100(0 \leq x \leq 30)$.
结合上述信息，请完成下述问题：
(1) 当开通 $3$ 条安检通道时，安检时间 $x$ 分钟时，已人场人数为
【模型应用】
(2) 在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3) 已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始 $10$ 分钟内(包含 $10$ 分钟)减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开通几条安检通道？请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
【问题背景】排队是生活中常见的场景. 如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件 1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数 $=$ 现场总人数 $-$ 已人场人数；
条件 2：若该演出场地最多可开放 $9$ 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检 $6$ 人.
【模型构建】若该演出前 $30$ 分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 $y$ 与安检时间 $x$ 之间满足关系式：$y = -x^{2} + 60x + 100(0 \leq x \leq 30)$.
结合上述信息，请完成下述问题：
(1) 当开通 $3$ 条安检通道时，安检时间 $x$ 分钟时，已人场人数为
18x
，排队人数 $w$ 与安检时间 $x$ 的函数关系式为w=-x²+42x+100
.【模型应用】
(2) 在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
(3) 已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始 $10$ 分钟内(包含 $10$ 分钟)减少；
②尽量少安排安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开通几条安检通道？请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
答案
(1) $18x$；$w=-x²+42x+100$
(2) 第21分钟，541人
(3) 9条
(2) 第21分钟，541人
(3) 9条
解析
(1) 每条通道每分钟安检6人，3条通道x分钟已入场人数为$3×6x=18x$；排队人数$w=y-18x=(-x²+60x+100)-18x=-x²+42x+100$。
(2) $w=-x²+42x+100$，对称轴$x=-\frac{42}{2×(-1)}=21$，开口向下，当$x=21$时，$w_{max}=-(21)²+42×21+100=541$。
(3) 设开通n条通道，$w=-x²+(60-6n)x+100$。要求10分钟内排队人数减少，即$w(10)＜w(0)$。$w(0)=100$，$w(10)=600-60n$，则$600-60n＜100$，解得$n＞8.33$，n为整数且≤9，故n=9。
(2) $w=-x²+42x+100$，对称轴$x=-\frac{42}{2×(-1)}=21$，开口向下，当$x=21$时，$w_{max}=-(21)²+42×21+100=541$。
(3) 设开通n条通道，$w=-x²+(60-6n)x+100$。要求10分钟内排队人数减少，即$w(10)＜w(0)$。$w(0)=100$，$w(10)=600-60n$，则$600-60n＜100$，解得$n＞8.33$，n为整数且≤9，故n=9。
