11. (2025 郑州一模)如图,直线 l 经过正方形 ABCD 的中心 O,分别与 BC 和 AD 相交于点 E,F,交 CD 的延长线于点 G. 若正方形 ABCD 的面积是 16,BE = 1,则△GDF 的面积为.

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正方形ABCD面积为16，边长为4。以B为原点建立坐标系，B(0,0)，C(4,0)，A(0,4)，D(4,4)，中心O(2,2)。
BE=1，E在BC上，E(1,0)。直线l过O(2,2)和E(1,0)，斜率k=(2-0)/(2-1)=2，方程为y=2x-2。
AD边为y=4，与直线l交于F：4=2x-2→x=3，F(3,4)。
CD边为x=4，延长线与直线l交于G：y=2×4-2=6，G(4,6)。
△GDF顶点：G(4,6)，D(4,4)，F(3,4)。DF=4-3=1，DG=6-4=2，面积=1×2/2=1。

12. (2025 信阳二模)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 10,BC = 12,点 E,F 分别为边 AB,AD 的中点,连接 CE,BF,交于点 H,则 EH 的长为.

13/5

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。则A(0,0)，B(10,0)，C(10,12)，D(0,12)。E为AB中点，E(5,0)；F为AD中点，F(0,6)。
直线CE：过C(10,12)，E(5,0)，斜率k₁=(12-0)/(10-5)=12/5，方程为y=(12/5)x-12。
直线BF：过B(10,0)，F(0,6)，斜率k₂=(6-0)/(0-10)=-3/5，方程为y=(-3/5)x+6。
联立方程：(12/5)x-12=(-3/5)x+6，解得x=6，代入得y=12/5，故H(6,12/5)。
EH距离：E(5,0)，H(6,12/5)，EH=√[(6-5)²+(12/5-0)²]=√[1+144/25]=√[169/25]=13/5。

13. 如图,已知 A 是反比例函数 y = $\frac{k}{x}$图象上一点,过点 A 作 y 轴的垂线,垂足为 B,连接 AO 并延长,交反比例函数图象于点 C,连接 BC,若 $S_{△ABC}$ = 6,则 k 的值为.

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设点A坐标为$(a,\frac{k}{a})$，则过A作y轴垂线的垂足B坐标为$(0,\frac{k}{a})$。
由于反比例函数$y=\frac{k}{x}$关于原点对称，故点A关于原点的对称点C坐标为$(-a,-\frac{k}{a})$。
AB的长度为$|a - 0| = |a|$，点C到直线AB（$y=\frac{k}{a}$）的距离为$|\frac{k}{a}-(-\frac{k}{a})| = |\frac{2k}{a}|$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高}=\frac{1}{2} × |a| × |\frac{2k}{a}| = |k|$。
已知$S_{\triangle ABC}=6$，则$|k|=6$。由图知k＞0，故$k=6$。

14. 如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的顶点 B 的坐标为 (0,4),点 A 在第一象限,∠AOC = 60°,将菱形 OABC 绕原点 O 沿顺时针方向旋转,每次旋转 60°,旋转第一次得到四边形 OA₁B₁C₁(点 C₁ 与点 A 重合),则旋转第四次得到的点 B₄ 的坐标是 ()

A.(0, -4)
B.(-2, -2$\sqrt{3}$)
C.(2$\sqrt{3}$, -2)
D.(-2$\sqrt{3}$, -2)

D

由题意，菱形OABC顶点B初始坐标为(0,4)，绕原点O顺时针每次旋转60°，求旋转四次后B₄的坐标。
1. 旋转规律：点(x,y)绕原点顺时针旋转60°的坐标公式为$(x\cos60°+y\sin60°, -x\sin60°+y\cos60°)$，其中$\cos60°=\frac{1}{2}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 初始点B₀=(0,4)：
第一次旋转（60°）：$B₁=(0×\frac{1}{2}+4×\frac{\sqrt{3}}{2}, -0×\frac{\sqrt{3}}{2}+4×\frac{1}{2})=(2\sqrt{3}, 2)$；
第二次旋转（120°）：$B₂=(2\sqrt{3}×\frac{1}{2}+2×\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+2×\frac{1}{2})=(2\sqrt{3}, -2)$；
第三次旋转（180°）：$B₃=(2\sqrt{3}×\frac{1}{2}+(-2)×\frac{\sqrt{3}}{2}, -2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}+(-2)×\frac{1}{2})=(0, -4)$；
第四次旋转（240°）：$B₄=(0×\frac{1}{2}+(-4)×\frac{\sqrt{3}}{2}, -0×\frac{\sqrt{3}}{2}+(-4)×\frac{1}{2})=(-2\sqrt{3}, -2)$。

15. (2025 郑州二模)在矩形 ABCD 中,AB = 6,BC = 12.
(1)如图 1,点 E 为矩形 ABCD 内一点,请过点 E 作一条直线,将矩形 ABCD 的面积平分,并说明理由;
(2)如图 2,若点 E 为对角线 AC 上一点,且 AE = $\frac{1}{4}$AC,点 F 为边 AB 上一点,作直线 EF 交边 AD 于点 G,直接写出△AFG 面积的最小值.

解$:(1)$连接矩形两条对角线的交点$O$与点$E，$直线$OE$即为所求。理由：　　
矩形是中心对称图形，其对称中心为两条对角线的交点$O，$过对称中心的直线平分矩形面积。　　

$(2)$以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AD$为$y$轴建立坐标系，$A(0,0)，$$B(6,0)，$$C(6,12)，$$D(0,12)。$　　
$AC$方程为$y=2x，$$E$为$AC$上$AE=1/4AC，$得$E(3/2,3)。$　　
设$F(t,0)(t＞3/2)，$直线$EF$交$AD$于$G(0,s)。$直线$EF$方程：$y=(-3)/(t-3/2)(x-t)，$代入$x=0$得$s=3t/(t-3/2)。$$△AFG$面积$S=1/2·t·s=3t²/(2(t-3/2))。$　　
设$u=t-3/2，$$S=3/2(u+9/(4u)+3)，$　　
由基本不等式$u+9/(4u)≥3，$当$u=3/2$即$t=3$时，$S$最小$=9。$