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1. 下列各式正确的有(
①$\sqrt[3]{0}=0$
②$\sqrt[3]{-216}=-6$
③$\sqrt[3]{-5}=5$
④$\sqrt[3]{a^3}=a$
⑤$(\sqrt[3]{a})^3=a$
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
B
)①$\sqrt[3]{0}=0$
②$\sqrt[3]{-216}=-6$
③$\sqrt[3]{-5}=5$
④$\sqrt[3]{a^3}=a$
⑤$(\sqrt[3]{a})^3=a$
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查立方根的相关性质，解题时先回忆立方根的定义与运算规律：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，且$\sqrt[3]{a^3}=a$、$(\sqrt[3]{a})^3=a$对任意实数$a$都成立。接下来逐个验证5个式子是否正确，统计正确的数量即可选出答案。
【解析】
我们逐个判断每个式子的正误：
① 因为$0^3=0$，所以$\sqrt[3]{0}=0$，该式正确；
② 因为$(-6)^3=-216$，所以$\sqrt[3]{-216}=-6$，该式正确；
③ 负数的立方根是负数，故$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}≠5$，该式错误；
④ 根据立方根的运算性质，任意实数$a$都满足$\sqrt[3]{a^3}=a$，该式正确；
⑤ 根据立方根的运算性质，任意实数$a$都满足$(\sqrt[3]{a})^3=a$，该式正确。
综上，正确的式子有①②④⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
1.立方根的定义 2.立方根的运算性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，解题关键是牢记立方根的符号与被开方数符号一致，同时熟练掌握立方根的两个运算恒等式，注意不要和平方根的性质混淆。
【难度系数】
0.8
本题考查立方根的相关性质，解题时先回忆立方根的定义与运算规律：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，且$\sqrt[3]{a^3}=a$、$(\sqrt[3]{a})^3=a$对任意实数$a$都成立。接下来逐个验证5个式子是否正确，统计正确的数量即可选出答案。
【解析】
我们逐个判断每个式子的正误：
① 因为$0^3=0$，所以$\sqrt[3]{0}=0$，该式正确；
② 因为$(-6)^3=-216$，所以$\sqrt[3]{-216}=-6$，该式正确；
③ 负数的立方根是负数，故$\sqrt[3]{-5}=-\sqrt[3]{5}≠5$，该式错误；
④ 根据立方根的运算性质，任意实数$a$都满足$\sqrt[3]{a^3}=a$，该式正确；
⑤ 根据立方根的运算性质，任意实数$a$都满足$(\sqrt[3]{a})^3=a$，该式正确。
综上，正确的式子有①②④⑤，共4个。
【答案】
B
【知识点】
1.立方根的定义 2.立方根的运算性质
【点评】
本题是立方根的基础考查题，解题关键是牢记立方根的符号与被开方数符号一致，同时熟练掌握立方根的两个运算恒等式，注意不要和平方根的性质混淆。
【难度系数】
0.8
2. 27 的立方根是(
A.9
B.±9
C.3
D.±3
C
)A.9
B.±9
C.3
D.±3
答案
2.C
解析
【分析】
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数的三次方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。同时要明确立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，注意和平方根的性质区分开，避免多写正负号的错误，接下来只需找到三次方等于27的数即可。
【解析】
根据立方根的定义计算：
∵ $3^3 = 3×3×3=27$
又因为正数的立方根只有1个，为正数，不存在负的立方根，因此27的立方根是3，对应选项选C。
【答案】C
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查立方根相关概念，易错点是混淆立方根和平方根的性质，误把正数的立方根当成正负两个值，做题时要注意区分两类根式的性质差异。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆立方根的定义：若一个数的三次方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。同时要明确立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，注意和平方根的性质区分开，避免多写正负号的错误，接下来只需找到三次方等于27的数即可。
【解析】
根据立方根的定义计算：
∵ $3^3 = 3×3×3=27$
又因为正数的立方根只有1个，为正数，不存在负的立方根，因此27的立方根是3，对应选项选C。
【答案】C
【知识点】
立方根的定义、立方根的性质
【点评】
本题属于基础题，核心考查立方根相关概念，易错点是混淆立方根和平方根的性质，误把正数的立方根当成正负两个值，做题时要注意区分两类根式的性质差异。
【难度系数】
0.9
3. 下列各数中，立方根一定是负数的是(
A.$-a$
B.$-a^2$
C.$-a^2 -1$
D.$-a^2 +1$
C
)A.$-a$
B.$-a^2$
C.$-a^2 -1$
D.$-a^2 +1$
答案
3.C
解析
【分析】
要判断哪个数的立方根一定是负数，首先回忆立方根的性质：立方根的符号与被开方数的符号完全一致，即正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。因此本题本质是找出四个选项中取值恒为负数的代数式，结合平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）逐一分析每个选项即可。
【解析】
根据立方根的性质可知：若一个数的立方根为负数，则这个数本身一定是负数，因此只需判断各选项的代数式是否恒小于0：
1. 分析选项A：$-a$，当$a$为负数时，比如$a=-1$，则$-a=1$是正数，立方根为正数，不符合要求；
2. 分析选项B：$-a^2$，当$a=0$时，$-a^2=0$，立方根为0，不是负数，不符合要求；
3. 分析选项C：$-a^2-1$，由于任意实数的平方$a^2≥0$，因此$-a^2≤0$，进而可得$-a^2-1≤ -1＜0$，即无论$a$取何值，这个数恒为负数，它的立方根一定是负数，符合要求；
4. 分析选项D：$-a^2+1$，当$a=0$时，$-a^2+1=1$是正数，立方根为正数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题解题的核心是将“立方根一定是负数”的问题转化为“被开方数恒为负数”的问题，结合平方的非负性判断代数式的取值范围即可，解题时要注意代入特殊值（如$a=0$）验证，可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
要判断哪个数的立方根一定是负数，首先回忆立方根的性质：立方根的符号与被开方数的符号完全一致，即正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。因此本题本质是找出四个选项中取值恒为负数的代数式，结合平方的非负性（任意实数的平方都大于等于0）逐一分析每个选项即可。
【解析】
根据立方根的性质可知：若一个数的立方根为负数，则这个数本身一定是负数，因此只需判断各选项的代数式是否恒小于0：
1. 分析选项A：$-a$，当$a$为负数时，比如$a=-1$，则$-a=1$是正数，立方根为正数，不符合要求；
2. 分析选项B：$-a^2$，当$a=0$时，$-a^2=0$，立方根为0，不是负数，不符合要求；
3. 分析选项C：$-a^2-1$，由于任意实数的平方$a^2≥0$，因此$-a^2≤0$，进而可得$-a^2-1≤ -1＜0$，即无论$a$取何值，这个数恒为负数，它的立方根一定是负数，符合要求；
4. 分析选项D：$-a^2+1$，当$a=0$时，$-a^2+1=1$是正数，立方根为正数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
立方根的性质；平方的非负性
【点评】
本题解题的核心是将“立方根一定是负数”的问题转化为“被开方数恒为负数”的问题，结合平方的非负性判断代数式的取值范围即可，解题时要注意代入特殊值（如$a=0$）验证，可快速排除错误选项。
【难度系数】
0.8
4. 比较 2，$\sqrt{5}$，$\sqrt[3]{7}$的大小，正确的是（
A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
C
）A.$2＜\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}$
B.$2＜\sqrt[3]{7}＜\sqrt{5}$
C.$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$
D.$\sqrt{5}＜\sqrt[3]{7}＜2$
答案
4.C
解析
【分析】
要比较三个数的大小，我们可以选整数2作为中间参照量，先分别把2转化为和另外两个数同根次的根式，再根据“同根次根式比较大小，被开方数越大，根式的值越大”的性质，分别比较2和$\sqrt{5}$、2和$\sqrt[3]{7}$的大小，最终就能得出三个数的大小顺序。
【解析】
1. 比较2和$\sqrt{5}$的大小
因为$2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}$，算术平方根的被开方数越大，对应值越大，且$4＜5$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$。
2. 比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小
因为$2=\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}$，立方根的被开方数越大，对应值越大，且$7＜8$，所以$\sqrt[3]{7}＜\sqrt[3]{8}$，即$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两次比较结果，可得大小关系为$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根性质，立方根性质，实数大小比较
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心解题技巧是将整数转化为对应根次的根式，通过比较被开方数大小判断根式大小，熟练掌握根式的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
要比较三个数的大小，我们可以选整数2作为中间参照量，先分别把2转化为和另外两个数同根次的根式，再根据“同根次根式比较大小，被开方数越大，根式的值越大”的性质，分别比较2和$\sqrt{5}$、2和$\sqrt[3]{7}$的大小，最终就能得出三个数的大小顺序。
【解析】
1. 比较2和$\sqrt{5}$的大小
因为$2=\sqrt{2^2}=\sqrt{4}$，算术平方根的被开方数越大，对应值越大，且$4＜5$，所以$\sqrt{4}＜\sqrt{5}$，即$2＜\sqrt{5}$。
2. 比较2和$\sqrt[3]{7}$的大小
因为$2=\sqrt[3]{2^3}=\sqrt[3]{8}$，立方根的被开方数越大，对应值越大，且$7＜8$，所以$\sqrt[3]{7}＜\sqrt[3]{8}$，即$\sqrt[3]{7}＜2$。
结合两次比较结果，可得大小关系为$\sqrt[3]{7}＜2＜\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根性质，立方根性质，实数大小比较
【点评】
本题是实数比较大小的基础题型，核心解题技巧是将整数转化为对应根次的根式，通过比较被开方数大小判断根式大小，熟练掌握根式的基本性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
1. 立方根是-8的数是
-512
，$\sqrt{64}$的立方根是2
。答案
1.-512;2
解析
【分析】
本题考查立方根和算术平方根的相关运算，解题思路如下：
1. 第一空：根据立方根的定义，若一个数的立方根为x，则这个数等于x的立方，因此只需计算-8的立方即可得到对应的数。
2. 第二空：要先化简$\sqrt{64}$求出结果后，再计算该结果的立方根，不能直接对64求立方根。
【解析】
1. 求立方根是-8的数：
根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{a}=-8$，则$a=(-8)^3=-8×(-8)×(-8)=-512$。
2. 求$\sqrt{64}$的立方根：
先计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，
再求8的立方根：因为$2^3=8$，所以8的立方根是2。
【答案】
-512；2
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 算术平方根的运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点为第二空容易忽略先化简$\sqrt{64}$，直接求64的立方根导致出错，做题时要注意审题，理清运算顺序。
【难度系数】
0.8
本题考查立方根和算术平方根的相关运算，解题思路如下：
1. 第一空：根据立方根的定义，若一个数的立方根为x，则这个数等于x的立方，因此只需计算-8的立方即可得到对应的数。
2. 第二空：要先化简$\sqrt{64}$求出结果后，再计算该结果的立方根，不能直接对64求立方根。
【解析】
1. 求立方根是-8的数：
根据立方根的定义，若$\sqrt[3]{a}=-8$，则$a=(-8)^3=-8×(-8)×(-8)=-512$。
2. 求$\sqrt{64}$的立方根：
先计算算术平方根：$\sqrt{64}=8$，
再求8的立方根：因为$2^3=8$，所以8的立方根是2。
【答案】
-512；2
【知识点】
1. 立方根的定义
2. 算术平方根的运算
【点评】
本题属于基础运算题，易错点为第二空容易忽略先化简$\sqrt{64}$，直接求64的立方根导致出错，做题时要注意审题，理清运算顺序。
【难度系数】
0.8
2. 正数的立方根是
正数
，负数的立方根是负数
，0的立方根是0
，任何数都有立方根。答案
2. 正数;负数;0
解析
【分析】
这道题考查立方根的基本性质，解题时可以结合立方运算和开立方运算的互逆关系推导：乘方和开方是互逆运算，我们先明确不同符号的数的立方结果的符号，反过来就能得到对应数的立方根的符号。首先正数的立方是正数，因此正数的立方根为正数；负数的立方是负数，因此负数的立方根为负数；0的立方是0，因此0的立方根是0，结合上述性质直接填空即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根。
1. 当$a＞0$时，只有正数的立方结果为正数，因此正数的立方根是正数；
2. 当$a＜0$时，只有负数的立方结果为负数，因此负数的立方根是负数；
3. 当$a=0$时，$0^3=0$，因此0的立方根是0。
【答案】
正数；负数；0
【知识点】
立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对立方根性质的识记，是立方根相关知识的基础内容，熟练掌握该性质是后续学习开立方运算、解决含立方根的代数式问题的前提。
【难度系数】
0.9
这道题考查立方根的基本性质，解题时可以结合立方运算和开立方运算的互逆关系推导：乘方和开方是互逆运算，我们先明确不同符号的数的立方结果的符号，反过来就能得到对应数的立方根的符号。首先正数的立方是正数，因此正数的立方根为正数；负数的立方是负数，因此负数的立方根为负数；0的立方是0，因此0的立方根是0，结合上述性质直接填空即可。
【解析】
根据立方根的定义：若$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根。
1. 当$a＞0$时，只有正数的立方结果为正数，因此正数的立方根是正数；
2. 当$a＜0$时，只有负数的立方结果为负数，因此负数的立方根是负数；
3. 当$a=0$时，$0^3=0$，因此0的立方根是0。
【答案】
正数；负数；0
【知识点】
立方根的性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对立方根性质的识记，是立方根相关知识的基础内容，熟练掌握该性质是后续学习开立方运算、解决含立方根的代数式问题的前提。
【难度系数】
0.9
3. 某数的立方根等于它本身，这个数是
0、±1
.答案
3. 0、±1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆立方根的定义：如果一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。题目要求找立方根等于本身的数，我们可以设这个数为$a$，根据题意得到关系$\sqrt[3]{a}=a$，也就是$a^3=a$，接下来通过验证特殊数、覆盖正负和0的情况就能找出所有符合条件的数，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
设这个数为$a$，根据题意可得：$\sqrt[3]{a}=a$
根据立方和开立方是互逆运算，将等式两边同时立方，得：$a=a^3$
分别验证特殊值：
1. 当$a=0$时，$0^3=0$，即$\sqrt[3]{0}=0$，满足条件；
2. 当$a=1$时，$1^3=1$，即$\sqrt[3]{1}=1$，满足条件；
3. 当$a=-1$时，$(-1)^3=-1$，即$\sqrt[3]{-1}=-1$，满足条件。
其余数的立方根都不等于它本身，因此满足条件的数为0、1、-1。
【答案】
0、±1
【知识点】
立方根的定义，乘方与开方的互逆关系
【点评】
本题是基础概念题，考查对立方根性质的掌握，解题时容易遗漏-1这个解，要注意正数、0、负数都有立方根，通过列举特殊值的方法可以有效避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆立方根的定义：如果一个数$x$的立方等于$a$，即$x^3=a$，那么$x$叫做$a$的立方根，记作$\sqrt[3]{a}$。题目要求找立方根等于本身的数，我们可以设这个数为$a$，根据题意得到关系$\sqrt[3]{a}=a$，也就是$a^3=a$，接下来通过验证特殊数、覆盖正负和0的情况就能找出所有符合条件的数，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
设这个数为$a$，根据题意可得：$\sqrt[3]{a}=a$
根据立方和开立方是互逆运算，将等式两边同时立方，得：$a=a^3$
分别验证特殊值：
1. 当$a=0$时，$0^3=0$，即$\sqrt[3]{0}=0$，满足条件；
2. 当$a=1$时，$1^3=1$，即$\sqrt[3]{1}=1$，满足条件；
3. 当$a=-1$时，$(-1)^3=-1$，即$\sqrt[3]{-1}=-1$，满足条件。
其余数的立方根都不等于它本身，因此满足条件的数为0、1、-1。
【答案】
0、±1
【知识点】
立方根的定义，乘方与开方的互逆关系
【点评】
本题是基础概念题，考查对立方根性质的掌握，解题时容易遗漏-1这个解，要注意正数、0、负数都有立方根，通过列举特殊值的方法可以有效避免漏解。
【难度系数】
0.7
4.一个数的平方等于64,则这个数的立方根是
±2
.答案
4.±2
解析
【分析】
解题时首先要先确定平方等于64的数是多少，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，所以先求出64的平方根，得到这个数的两个可能值，再分别计算这两个数的立方根即可，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：设这个数为$ x $，由题意得：
$ x^2 = 64 $
根据平方根的定义，解得$ x = \pm 8 $
接下来计算$ x $的立方根：
当$ x = 8 $时，$ \sqrt[3]{8} = 2 $；
当$ x = -8 $时，$ \sqrt[3]{-8} = -2 $。
因此这个数的立方根是$ \pm 2 $。
【答案】
±2
【知识点】
平方根的性质，立方根的运算
【点评】
本题属于易错题，解题关键是不要忽略正数的平方根有两个，避免只求出8的立方根就直接作答，同时要熟记立方根的符号与被开方数的符号保持一致的特点。
【难度系数】
0.6
解题时首先要先确定平方等于64的数是多少，根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，所以先求出64的平方根，得到这个数的两个可能值，再分别计算这两个数的立方根即可，注意不要遗漏负数的情况。
【解析】
解：设这个数为$ x $，由题意得：
$ x^2 = 64 $
根据平方根的定义，解得$ x = \pm 8 $
接下来计算$ x $的立方根：
当$ x = 8 $时，$ \sqrt[3]{8} = 2 $；
当$ x = -8 $时，$ \sqrt[3]{-8} = -2 $。
因此这个数的立方根是$ \pm 2 $。
【答案】
±2
【知识点】
平方根的性质，立方根的运算
【点评】
本题属于易错题，解题关键是不要忽略正数的平方根有两个，避免只求出8的立方根就直接作答，同时要熟记立方根的符号与被开方数的符号保持一致的特点。
【难度系数】
0.6
1. 比较-4、-5、$-\sqrt[3]{100}$的大小，并用“＜”号连接.
答案
1.$-5＜-\sqrt[3]{100}＜-4$
解析
【分析】
要比较三个负数的大小，根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，我们可以先比较三个数的绝对值4、5、$\sqrt[3]{100}$的大小。比较含立方根的正数大小时，可以把整数转化为三次根式的形式，通过比较被开方数的大小判断立方根的大小，被开方数越大，对应的立方根就越大，最后再根据负数比较大小的规则得到原数的大小关系。
【解析】
第一步：将整数转化为三次根式形式
因为$4^3=4×4×4=64$，所以$4=\sqrt[3]{64}$；
因为$5^3=5×5×5=125$，所以$5=\sqrt[3]{125}$。
第二步：比较三个正数的大小
立方根的被开方数越大，立方根越大，因为$64＜100＜125$，所以$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$，即$4＜\sqrt[3]{100}＜5$。
第三步：比较原负数的大小
负数比较大小，绝对值大的数反而小，因此给上述不等式各项同时加负号时，不等号方向反转，可得：$-5＜-\sqrt[3]{100}＜-4$。
【答案】
$-5＜-\sqrt[3]{100}＜-4$
【知识点】
1. 立方根大小比较
2. 负数比较大小
【点评】
本题考查含立方根的数的大小比较，解题核心是利用转化思想，将整数转化为三次根式形式简化比较过程，需注意给不等式两边同时乘负数时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
要比较三个负数的大小，根据负数比较大小的规则：绝对值大的负数反而小，我们可以先比较三个数的绝对值4、5、$\sqrt[3]{100}$的大小。比较含立方根的正数大小时，可以把整数转化为三次根式的形式，通过比较被开方数的大小判断立方根的大小，被开方数越大，对应的立方根就越大，最后再根据负数比较大小的规则得到原数的大小关系。
【解析】
第一步：将整数转化为三次根式形式
因为$4^3=4×4×4=64$，所以$4=\sqrt[3]{64}$；
因为$5^3=5×5×5=125$，所以$5=\sqrt[3]{125}$。
第二步：比较三个正数的大小
立方根的被开方数越大，立方根越大，因为$64＜100＜125$，所以$\sqrt[3]{64}＜\sqrt[3]{100}＜\sqrt[3]{125}$，即$4＜\sqrt[3]{100}＜5$。
第三步：比较原负数的大小
负数比较大小，绝对值大的数反而小，因此给上述不等式各项同时加负号时，不等号方向反转，可得：$-5＜-\sqrt[3]{100}＜-4$。
【答案】
$-5＜-\sqrt[3]{100}＜-4$
【知识点】
1. 立方根大小比较
2. 负数比较大小
【点评】
本题考查含立方根的数的大小比较，解题核心是利用转化思想，将整数转化为三次根式形式简化比较过程，需注意给不等式两边同时乘负数时，不等号方向要改变。
【难度系数】
0.7
