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1.将两个完全相同的三角尺按如图所示的方式摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（
A.$∠ A$的平分线上
B.AC边的高上
C.$∠ B$的平分线上
D.AB边的中线上
A
）A.$∠ A$的平分线上
B.AC边的高上
C.$∠ B$的平分线上
D.AB边的中线上
答案
1.A
解析
【分析】
本题可结合角平分线的判定定理解题：首先，两个完全相同的三角尺为全等图形，它们的对应直角边长度相等，由此可得点M到AB边的距离等于点M到AC边的距离；再根据角平分线的判定定理，即可判断点M的位置。
【解析】
∵ 两个三角尺完全相同（全等），
∴ 点M到AB边的距离与点M到AC边的距离是全等三角尺的对应直角边，二者长度相等。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知点M在∠A的平分线上。
对其余选项分析：无相关条件证明M在AC边的高、∠B的平分线或AB边的中线上，故B、C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定、全等图形的性质
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题目，解题核心是从三角尺全等的条件中提取出“点到角两边距离相等”的结论，结合判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题可结合角平分线的判定定理解题：首先，两个完全相同的三角尺为全等图形，它们的对应直角边长度相等，由此可得点M到AB边的距离等于点M到AC边的距离；再根据角平分线的判定定理，即可判断点M的位置。
【解析】
∵ 两个三角尺完全相同（全等），
∴ 点M到AB边的距离与点M到AC边的距离是全等三角尺的对应直角边，二者长度相等。
根据角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知点M在∠A的平分线上。
对其余选项分析：无相关条件证明M在AC边的高、∠B的平分线或AB边的中线上，故B、C、D错误。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定、全等图形的性质
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用题目，解题核心是从三角尺全等的条件中提取出“点到角两边距离相等”的结论，结合判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$CD=DE$，$∠ CBD=28°$，则$∠ A$的度数为（
A.$34°$
B.$36°$
C.$38°$
D.$40°$
A
）A.$34°$
B.$36°$
C.$38°$
D.$40°$
答案
2.A
解析
【分析】
首先根据已知条件DC⊥BC、DE⊥AB且CD=DE，结合角平分线的判定定理可推出BD平分∠ABC，得到∠ABC的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又
∵DE⊥AB，CD=DE，
∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠ABC=2∠CBD=2×28°=56°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠ABC = 90°，
∴∠A=90° - 56°=34°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理，结合直角三角形的角度性质进行计算，考查学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.75
首先根据已知条件DC⊥BC、DE⊥AB且CD=DE，结合角平分线的判定定理可推出BD平分∠ABC，得到∠ABC的度数，再利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵∠C=90°，
∴DC⊥BC，
又
∵DE⊥AB，CD=DE，
∴BD平分∠ABC（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠ABC=2∠CBD=2×28°=56°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A + ∠ABC = 90°，
∴∠A=90° - 56°=34°。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础类题型，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定定理，结合直角三角形的角度性质进行计算，考查学生对基础定理的运用能力。
【难度系数】
0.75
3.(2025·铁岭月考)如图，$BF⊥ AC$于点$F$，$CE⊥ AB$于点$E$，$BF$和$CE$交于点$D$，且$BE=CF$，求证：$AD$平分$∠ BAC$。
答案
3.证明:$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$,
$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
解析
【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。观察图形可知DE、DF分别在△BDE和△CDF中，结合已知条件：BF⊥AC、CE⊥AB可得到一组直角相等，图中存在对顶角∠BDE=∠CDF，再加上已知BE=CF，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，从而得到DE=DF，进而证明结论。
【解析】
证明:$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$,
$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【答案】
证明:$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$,
$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用类题目，解题的核心是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理推出结论，解题思路清晰，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点D到AB、AC两边的距离相等，即DE=DF。观察图形可知DE、DF分别在△BDE和△CDF中，结合已知条件：BF⊥AC、CE⊥AB可得到一组直角相等，图中存在对顶角∠BDE=∠CDF，再加上已知BE=CF，可通过AAS证明△BDE≌△CDF，从而得到DE=DF，进而证明结论。
【解析】
证明:$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$,
$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【答案】
证明:$\because BF⊥ AC,CE⊥ AB$,
$\therefore ∠ BED=∠ CFD=90°$.
在$△ BDE$和$△ CDF$中,$\begin{cases}∠ BED=∠ CFD,\\∠ BDE=∠ CDF,\\BE=CF,\end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{AAS}),\therefore DE=DF$.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC$,
$\therefore AD$平分$∠ BAC$.
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定的基础应用类题目，解题的核心是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理推出结论，解题思路清晰，是几何部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
4.【新情境·生活情境】如图,公路OA和公路OB交于O处,河道AB与公路分别交于A处和B处,试在河岸上建一座水厂M,要求M到公路OA,OB的距离相等,则水厂M应建在图中的什么位置?请在图中标出M的位置.
答案
4.解:如图,作$∠ AOB$的平分线交AB于点M,点M即为水厂的位置.
解析
【分析】
要确定水厂M的位置，需同时满足两个要求：一是M要建在河岸AB上，二是M到公路OA、OB的距离相等。根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知满足第二个要求的点都在∠AOB的平分线上，因此只需作出∠AOB的平分线，它与AB的交点就是同时符合两个要求的水厂位置。
【解析】
根据角平分线的判定，到OA、OB两条公路距离相等的点位于∠AOB的角平分线上，又因为水厂需要建在河岸AB上，因此作∠AOB的角平分线，该角平分线与线段AB的交点就是所求的水厂位置M。
【答案】
如图,作$∠ AOB$的平分线交AB于点M,点M即为水厂的位置.
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题属于生活情境类的几何应用题，将基础几何知识和实际需求结合，解题的关键是掌握角平分线的判定定理，结合点的位置限制找到两条轨迹的交点即可确定所求点的位置，解题逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.8
要确定水厂M的位置，需同时满足两个要求：一是M要建在河岸AB上，二是M到公路OA、OB的距离相等。根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可知满足第二个要求的点都在∠AOB的平分线上，因此只需作出∠AOB的平分线，它与AB的交点就是同时符合两个要求的水厂位置。
【解析】
根据角平分线的判定，到OA、OB两条公路距离相等的点位于∠AOB的角平分线上，又因为水厂需要建在河岸AB上，因此作∠AOB的角平分线，该角平分线与线段AB的交点就是所求的水厂位置M。
【答案】
如图,作$∠ AOB$的平分线交AB于点M,点M即为水厂的位置.
【知识点】
角平分线的判定；尺规作角平分线
【点评】
本题属于生活情境类的几何应用题，将基础几何知识和实际需求结合，解题的关键是掌握角平分线的判定定理，结合点的位置限制找到两条轨迹的交点即可确定所求点的位置，解题逻辑清晰易懂。
【难度系数】
0.8
5.如图,为了促进旅游发展,某地要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个度假村.要使度假村到三条公路的距离相等,这个度假村应该修在（
A.△ABC三边中线的交点处
B.△ABC三个角的平分线的交点处
C.△ABC三边高线的交点处
D.△ABC内任一点处
B
）A.△ABC三边中线的交点处
B.△ABC三个角的平分线的交点处
C.△ABC三边高线的交点处
D.△ABC内任一点处
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先明确题目核心要求：在△ABC内部找一个到三边（三条公路对应三角形三边）距离相等的点。首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。要满足到三角形三边距离相等，说明该点需同时在三个内角的平分线上，也就是三角形三个内角平分线的交点，再逐一匹配选项即可得出答案。
【解析】
已知度假村需要建在△ABC内部，且到三条公路（即△ABC的三边）的距离相等：
1. 根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
2. 若某点到△ABC的三边距离都相等，则该点同时在∠A、∠B、∠C的角平分线上，也就是△ABC三个角的平分线的交点。
3. 分析选项：A选项三边中线交点是重心，性质是分中线为2:1，与到三边距离相等无关；C选项三边高线交点是垂心，不满足到三边距离相等的要求；D选项三角形内任意一点显然不符合距离相等的条件。因此只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
这道题是角平分线相关性质的实际应用类题目，解题关键是准确区分三角形不同特殊交点的性质，熟记角平分线的性质和判定即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确题目核心要求：在△ABC内部找一个到三边（三条公路对应三角形三边）距离相等的点。首先回忆角平分线的相关性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来，在角内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。要满足到三角形三边距离相等，说明该点需同时在三个内角的平分线上，也就是三角形三个内角平分线的交点，再逐一匹配选项即可得出答案。
【解析】
已知度假村需要建在△ABC内部，且到三条公路（即△ABC的三边）的距离相等：
1. 根据角平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等；反过来，在角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。
2. 若某点到△ABC的三边距离都相等，则该点同时在∠A、∠B、∠C的角平分线上，也就是△ABC三个角的平分线的交点。
3. 分析选项：A选项三边中线交点是重心，性质是分中线为2:1，与到三边距离相等无关；C选项三边高线交点是垂心，不满足到三边距离相等的要求；D选项三角形内任意一点显然不符合距离相等的条件。因此只有B选项符合要求。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；角平分线的判定
【点评】
这道题是角平分线相关性质的实际应用类题目，解题关键是准确区分三角形不同特殊交点的性质，熟记角平分线的性质和判定即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6.如图,点O在△ABC的内部,且到三边的距离相等,连接OB,OC.若∠BOC=110°,则∠A的度数是（
A.35°
B.40°
C.45°
D.70°
B
）A.35°
B.40°
C.45°
D.70°
答案
6.B
解析
【分析】
解题首先要明确点O的性质：点O到△ABC三边距离相等，根据角平分线的判定定理，可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线。接下来按以下思路推导：①先在△BOC中利用三角形内角和求出∠OBC与∠OCB的和；②根据角平分线的性质，推出∠ABC与∠ACB的和；③最后在△ABC中利用内角和定理求出∠A的度数。
【解析】
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC = 180° - 110° = 70°，
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 2×70° = 140°。
在△ABC中，∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 140° = 40°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线相关性质和三角形内角和的基础综合题，解题的核心是先判断出点O是三角形的角平分线交点，再结合内角和公式逐步计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确点O的性质：点O到△ABC三边距离相等，根据角平分线的判定定理，可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线。接下来按以下思路推导：①先在△BOC中利用三角形内角和求出∠OBC与∠OCB的和；②根据角平分线的性质，推出∠ABC与∠ACB的和；③最后在△ABC中利用内角和定理求出∠A的度数。
【解析】
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即∠OBC = $\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB = $\frac{1}{2}$∠ACB。
在△BOC中，由三角形内角和为180°可得：
∠OBC + ∠OCB = 180° - ∠BOC = 180° - 110° = 70°，
∴∠ABC + ∠ACB = 2(∠OBC + ∠OCB) = 2×70° = 140°。
在△ABC中，∠A = 180° - (∠ABC + ∠ACB) = 180° - 140° = 40°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的判定，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线相关性质和三角形内角和的基础综合题，解题的核心是先判断出点O是三角形的角平分线交点，再结合内角和公式逐步计算即可，难度不大。
【难度系数】
0.7
