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9 在等式$[4+(-13)-□]÷(-3)×2=6$中，
□表示的数为 （
A.1
B.-1
C.3
D.0
□表示的数为 （
D
）A.1
B.-1
C.3
D.0
答案
9. D
解析
【分析】
我们可以设方框内的数为x，将原式转化为关于x的方程，再结合有理数混合运算顺序和等式的性质逐步求解；也可以从等式右侧的结果出发，逆推运算顺序，先算出中括号内式子的结果，再求出方框代表的数。
【解析】
设表示的数为$ x $，则原等式可写为：
$[4 + (-13) - x] ÷ (-3) × 2 = 6$
第一步：先化简中括号内的常数项：
$ 4 + (-13) = -9 $，等式变为：
$(-9 - x) ÷ (-3) × 2 = 6$
第二步：等式两边同时除以2，得：
$(-9 - x) ÷ (-3) = 3$
第三步：等式两边同时乘$ -3 $，得：
$-9 - x = -9$
第四步：等式两边同时加9，得：
$-x = 0$
即$ x = 0 $
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算、等式的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是有理数混合运算的基础常考题，既可以通过设未知数列方程的方式求解，也可以逆用运算顺序倒推结果，解题时需要注意运算符号的变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
我们可以设方框内的数为x，将原式转化为关于x的方程，再结合有理数混合运算顺序和等式的性质逐步求解；也可以从等式右侧的结果出发，逆推运算顺序，先算出中括号内式子的结果，再求出方框代表的数。
【解析】
设表示的数为$ x $，则原等式可写为：
$[4 + (-13) - x] ÷ (-3) × 2 = 6$
第一步：先化简中括号内的常数项：
$ 4 + (-13) = -9 $，等式变为：
$(-9 - x) ÷ (-3) × 2 = 6$
第二步：等式两边同时除以2，得：
$(-9 - x) ÷ (-3) = 3$
第三步：等式两边同时乘$ -3 $，得：
$-9 - x = -9$
第四步：等式两边同时加9，得：
$-x = 0$
即$ x = 0 $
【答案】
D
【知识点】
有理数混合运算、等式的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是有理数混合运算的基础常考题，既可以通过设未知数列方程的方式求解，也可以逆用运算顺序倒推结果，解题时需要注意运算符号的变化，避免因符号出错丢分。
【难度系数】
0.8
10 已知$a$，$b$互为相反数且$a≠0$，$c$，$d$互为倒数，$| m |$是最小的正整数，则$2m + \frac{2026(a+b)}{a} - cd$的值为
1或-3
。答案
10. 1或$-$3 【解析】由条件可知,$a+b=0,cd=1$,因为$|m|$是最小的正整数,所以$|m|=1$,即$m=1$或$m=-1$.当$m=1$时,$2m+\dfrac{2\ 026(a+b)}{a}-cd=2×1+\dfrac{2\ 026×0}{a}-1=2+0-1=1$;
当$m=-1$时,$2m+\dfrac{2\ 026(a+b)}{a}-cd=2×(-1)+\dfrac{2\ 026×0}{a}-1=-2+0-1=-3$.
当$m=-1$时,$2m+\dfrac{2\ 026(a+b)}{a}-cd=2×(-1)+\dfrac{2\ 026×0}{a}-1=-2+0-1=-3$.
解析
【分析】
解题时先结合数学概念从题干条件中提取可直接使用的数值信息：①互为相反数的两个数和为0，可得a+b=0，代入分式后该部分值为0；②互为倒数的两个数乘积为1，可得cd=1；③最小的正整数是1，结合绝对值的意义可得m有1和-1两个取值。最后将得到的数值分两种情况代入原式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数且$a≠0$，
∴$a+b=0$；
∵c，d互为倒数，
∴$cd=1$；
∵$|m|$是最小的正整数，最小的正整数为1，
∴$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
分两种情况计算：
①当$m=1$时：
$2m + \frac{2026(a+b)}{a} - cd=2×1 + \frac{2026×0}{a} -1=2+0-1=1$
②当$m=-1$时：
$2m + \frac{2026(a+b)}{a} - cd=2×(-1) + \frac{2026×0}{a} -1=-2+0-1=-3$
【答案】
1或$-3$
【知识点】
相反数的性质；倒数的定义；绝对值的意义
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，解题核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关概念，准确提取对应数值，注意绝对值等于正数的数有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时先结合数学概念从题干条件中提取可直接使用的数值信息：①互为相反数的两个数和为0，可得a+b=0，代入分式后该部分值为0；②互为倒数的两个数乘积为1，可得cd=1；③最小的正整数是1，结合绝对值的意义可得m有1和-1两个取值。最后将得到的数值分两种情况代入原式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数且$a≠0$，
∴$a+b=0$；
∵c，d互为倒数，
∴$cd=1$；
∵$|m|$是最小的正整数，最小的正整数为1，
∴$|m|=1$，即$m=1$或$m=-1$。
分两种情况计算：
①当$m=1$时：
$2m + \frac{2026(a+b)}{a} - cd=2×1 + \frac{2026×0}{a} -1=2+0-1=1$
②当$m=-1$时：
$2m + \frac{2026(a+b)}{a} - cd=2×(-1) + \frac{2026×0}{a} -1=-2+0-1=-3$
【答案】
1或$-3$
【知识点】
相反数的性质；倒数的定义；绝对值的意义
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，解题核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关概念，准确提取对应数值，注意绝对值等于正数的数有两个，避免漏解。
【难度系数】
0.7
11 计算：
(1) $-8 - [-7 + (1 - \frac{2}{3} × 0.6) ÷ (-3)]$；
(2) $9 - 1\frac{1}{2} × \frac{2}{9} - 6 ÷ \left| -\frac{4}{9} \right| - (-4)$；
(3) $(\frac{5}{8} - \frac{2}{3}) × 24 - \frac{1}{4} ÷ (-\frac{1}{8}) - \left| -25 \right|$；
(4) $(-81) ÷ 2\frac{1}{4} × \frac{4}{9} - (-\frac{1}{36}) ÷ (\frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{5}{6})$。
(1) $-8 - [-7 + (1 - \frac{2}{3} × 0.6) ÷ (-3)]$；
(2) $9 - 1\frac{1}{2} × \frac{2}{9} - 6 ÷ \left| -\frac{4}{9} \right| - (-4)$；
(3) $(\frac{5}{8} - \frac{2}{3}) × 24 - \frac{1}{4} ÷ (-\frac{1}{8}) - \left| -25 \right|$；
(4) $(-81) ÷ 2\frac{1}{4} × \frac{4}{9} - (-\frac{1}{36}) ÷ (\frac{2}{3} - \frac{1}{4} - \frac{5}{6})$。
答案
11. (1) $-0.8$ (2) $-\dfrac{5}{6}$ (3) $-24$ (4) $-16\dfrac{1}{15}$
解析
【分析】
这四道题均为有理数加减乘除混合运算，解题需严格遵循运算规则：1. 有括号先算括号内，按小括号到中括号的顺序计算；2. 有绝对值先计算绝对值；3. 运算优先级为先乘除后加减，同级运算从左到右依次计算；4. 符合乘法分配律特征的式子可优先用运算律简化计算，降低出错概率。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=-8 - [-7 + (1 - 0.4) ÷ (-3)]\\&=-8 - [-7 + 0.6 ÷ (-3)]\\&=-8 - [-7 - 0.2]\\&=-8 + 7.2\\&=-0.8\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=9 - \frac{3}{2}×\frac{2}{9} - 6 ÷ \frac{4}{9} +4\\&=9 - \frac{1}{3} - 6×\frac{9}{4} +4\\&=13 - \frac{1}{3} - \frac{27}{2}\\&=\frac{78}{6} - \frac{2}{6} - \frac{81}{6}\\&=-\frac{5}{6}\end{aligned}$
(3) 计算过程（使用乘法分配律简化）：
$\begin{aligned}原式&=\frac{5}{8}×24 - \frac{2}{3}×24 - \frac{1}{4}×(-8) - |-25|\\&=15 - 16 + 2 -25\\&=1 -25\\&=-24\end{aligned}$
(4) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=(-81)÷\frac{9}{4}×\frac{4}{9} - (-\frac{1}{36})÷(\frac{8}{12} - \frac{3}{12} - \frac{10}{12})\\&=(-81)×\frac{4}{9}×\frac{4}{9} - (-\frac{1}{36})÷(-\frac{5}{12})\\&=-16 - \frac{1}{15}\\&=-16\frac{1}{15}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-0.8$ (2) $-\dfrac{5}{6}$ (3) $-24$ (4) $-16\dfrac{1}{15}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序和符号处理能力，计算时可将带分数统一为假分数、小数和分数混合时统一为分数形式，能有效降低计算失误，合理使用运算律也可提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.65
这四道题均为有理数加减乘除混合运算，解题需严格遵循运算规则：1. 有括号先算括号内，按小括号到中括号的顺序计算；2. 有绝对值先计算绝对值；3. 运算优先级为先乘除后加减，同级运算从左到右依次计算；4. 符合乘法分配律特征的式子可优先用运算律简化计算，降低出错概率。
【解析】
(1) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=-8 - [-7 + (1 - 0.4) ÷ (-3)]\\&=-8 - [-7 + 0.6 ÷ (-3)]\\&=-8 - [-7 - 0.2]\\&=-8 + 7.2\\&=-0.8\end{aligned}$
(2) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=9 - \frac{3}{2}×\frac{2}{9} - 6 ÷ \frac{4}{9} +4\\&=9 - \frac{1}{3} - 6×\frac{9}{4} +4\\&=13 - \frac{1}{3} - \frac{27}{2}\\&=\frac{78}{6} - \frac{2}{6} - \frac{81}{6}\\&=-\frac{5}{6}\end{aligned}$
(3) 计算过程（使用乘法分配律简化）：
$\begin{aligned}原式&=\frac{5}{8}×24 - \frac{2}{3}×24 - \frac{1}{4}×(-8) - |-25|\\&=15 - 16 + 2 -25\\&=1 -25\\&=-24\end{aligned}$
(4) 计算过程：
$\begin{aligned}原式&=(-81)÷\frac{9}{4}×\frac{4}{9} - (-\frac{1}{36})÷(\frac{8}{12} - \frac{3}{12} - \frac{10}{12})\\&=(-81)×\frac{4}{9}×\frac{4}{9} - (-\frac{1}{36})÷(-\frac{5}{12})\\&=-16 - \frac{1}{15}\\&=-16\frac{1}{15}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-0.8$ (2) $-\dfrac{5}{6}$ (3) $-24$ (4) $-16\dfrac{1}{15}$
【知识点】
有理数混合运算，乘法分配律，绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序和符号处理能力，计算时可将带分数统一为假分数、小数和分数混合时统一为分数形式，能有效降低计算失误，合理使用运算律也可提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.65
12 有资料表明，某地区高度每增加100 m，气温下降0.8 ℃.某数学兴趣小组的同学们由此想出了测量该地区某山峰高度的方法：一名同学在山脚，一名同学在山顶，他们在上午9时整测得山脚和山顶的气温分别为18 ℃和15.2 ℃，求该山峰的高度.
答案
12. 规定气温上升为正,下降为负.由题意,得$(15. 2-18)÷(-0.8)×100=350(\mathrm{m})$,所以该山峰的高度为 350 m
解析
【分析】解题时首先计算山脚和山顶的气温差值，已知该地区高度每增加100m，气温下降0.8℃，我们只需要算出气温总共下降了多少℃，再看这个下降的温度中包含多少个0.8℃，就对应有多少个100m的高度，计算时可借助正负数表示气温的升降，按照有理数混合运算规则计算即可。
【解析】规定气温上升为正，下降为负，根据题意列式计算：
$\begin{aligned}&(15.2 - 18) ÷ (-0.8) × 100\\=&(-2.8) ÷ (-0.8) × 100\\=&3.5 × 100\\=&350(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】350 m
【知识点】有理数混合运算，正负数的实际应用
【点评】本题是有理数运算在实际生活中的应用，解题关键是先准确求出山脚与山顶的气温差，再结合气温和高度的变化关系列式，计算时要注意负号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】0.8
【解析】规定气温上升为正，下降为负，根据题意列式计算：
$\begin{aligned}&(15.2 - 18) ÷ (-0.8) × 100\\=&(-2.8) ÷ (-0.8) × 100\\=&3.5 × 100\\=&350(\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】350 m
【知识点】有理数混合运算，正负数的实际应用
【点评】本题是有理数运算在实际生活中的应用，解题关键是先准确求出山脚与山顶的气温差，再结合气温和高度的变化关系列式，计算时要注意负号的运算规则，避免符号错误。
【难度系数】0.8
13 新考向 探究题 有一种“24点”游戏，其游戏规则如下：任取四个1到13之间及−13到−1之间的整数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加、减、乘、除运算（可以加括号），使其结果等于24.例如对1,2,3,4可作算式(1+2+3)×4=24，上述算式与4×(1+2+3)=24视作相同的算式.
（1）现取四个数2,4,−6,10，请你运用上述规则写出三种不同的算式，使其结果均等于24；
（2）另取四个数3,−5,9,−12，试写出一个算式，使其结果等于24.
（1）现取四个数2,4,−6,10，请你运用上述规则写出三种不同的算式，使其结果均等于24；
（2）另取四个数3,−5,9,−12，试写出一个算式，使其结果等于24.
答案
13. (1) 答案不唯一,如 $2×[10-(-6+4)]=24,4×[10+(-6+2)]=24,-6×[(4+2)-10]=24$ (2) 答案不唯一,如 $-12×[9÷3+(-5)]=24$
解析
【分析】
解决“24点”问题的核心思路是：先联想结果为24的常见运算形式，例如2×12、3×8、4×6、30-6等，再结合给出的四个数字（每个数字仅使用一次），通过加减乘除运算和括号调整运算顺序，凑出对应的运算组合即可。解题时要注意负数的运算规则，负因数相乘可得到正数结果。
【解析】
（1）对数字2、4、-6、10推导如下：
① 先计算小括号内-6+4=-2，再计算中括号内10-(-2)=12，最后计算2×12=24，可得对应算式；
② 先计算小括号内-6+2=-4，再计算中括号内10+(-4)=6，最后计算4×6=24，可得对应算式；
③ 先计算小括号内4+2=6，再计算中括号内6-10=-4，最后计算-6×(-4)=24，可得对应算式；
（2）对数字3、-5、9、-12推导如下：
先计算小括号内9÷3=3，再计算3+(-5)=-2，最后计算-12×(-2)=24，可得对应算式。
（注：两小问答案均不唯一，符合规则即可）
【答案】
(1) 答案不唯一，如：$2×[10-(-6+4)]=24$，$4×[10+(-6+2)]=24$，$-6×[(4+2)-10]=24$
(2) 答案不唯一，如：$-12×[9÷3+(-5)]=24$
【知识点】
1. 有理数加减乘除混合运算
2. 有理数四则运算法则
【点评】
本题是有理数运算的趣味探究题，既考查了有理数运算规则的熟练掌握程度，也需要我们发散思维，多尝试不同的数字组合，有助于提升运算的灵活性和数感。
【难度系数】
0.7
解决“24点”问题的核心思路是：先联想结果为24的常见运算形式，例如2×12、3×8、4×6、30-6等，再结合给出的四个数字（每个数字仅使用一次），通过加减乘除运算和括号调整运算顺序，凑出对应的运算组合即可。解题时要注意负数的运算规则，负因数相乘可得到正数结果。
【解析】
（1）对数字2、4、-6、10推导如下：
① 先计算小括号内-6+4=-2，再计算中括号内10-(-2)=12，最后计算2×12=24，可得对应算式；
② 先计算小括号内-6+2=-4，再计算中括号内10+(-4)=6，最后计算4×6=24，可得对应算式；
③ 先计算小括号内4+2=6，再计算中括号内6-10=-4，最后计算-6×(-4)=24，可得对应算式；
（2）对数字3、-5、9、-12推导如下：
先计算小括号内9÷3=3，再计算3+(-5)=-2，最后计算-12×(-2)=24，可得对应算式。
（注：两小问答案均不唯一，符合规则即可）
【答案】
(1) 答案不唯一，如：$2×[10-(-6+4)]=24$，$4×[10+(-6+2)]=24$，$-6×[(4+2)-10]=24$
(2) 答案不唯一，如：$-12×[9÷3+(-5)]=24$
【知识点】
1. 有理数加减乘除混合运算
2. 有理数四则运算法则
【点评】
本题是有理数运算的趣味探究题，既考查了有理数运算规则的熟练掌握程度，也需要我们发散思维，多尝试不同的数字组合，有助于提升运算的灵活性和数感。
【难度系数】
0.7
