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1[中]为了使$[9-(12◯ 3)^2] × 3$的计算结果是$-21$，那么在$◯$中填入的运算符号是（
A.+
B.-
C.×
D.÷
D
）A.+
B.-
C.×
D.÷
答案
D 【解析】因为$[9-(12◯3)^2]×3=-21$,所以$9-(12◯3)^2=-7$,所以$(12◯3)^2=16$,将各选项运算符号代入上式,可知在◯中填入的运算符号是÷.故选 D.
2[2025甘肃兰州期中,中]若$m,n$互为相反数，$p,q$互为倒数，$t$的绝对值等于4，则$(\dfrac{m+n}{200})^{2024} - (-pq)^{2025} + t^3$的值是（
A.$-63$
B.$65$
C.$-63$或$65$
D.$63$或$-65$
C
）A.$-63$
B.$65$
C.$-63$或$65$
D.$63$或$-65$
答案
C 【解析】由题意得 $m+n=0$,$pq=1$,$t=±4$,所以原式$=(\frac{0}{200})^{2024}-(-1)^{2025}+4^3=0+1+64=65$ 或原式$=(\frac{0}{200})^{2024}-(-1)^{2025}+(-4)^3=0+1-64=-63$.故选 C.
3[中]某校园餐厅把无线网络密码做成了数学题,小亮在餐厅就餐时,思索了一会儿,输入密码,顺利地连接上了学子餐厅的网络,那么他输入的密码是
账号:Xue Zi Can Ting
5⊕3⊕2=151025
9⊕2⊕4=183654
8⊕6⊕3=482472
7⊕2⊕5=密码
学子餐厅欢迎你！
143549
.账号:Xue Zi Can Ting
5⊕3⊕2=151025
9⊕2⊕4=183654
8⊕6⊕3=482472
7⊕2⊕5=密码
学子餐厅欢迎你！
答案
143549 【解析】他输入的密码是 $7×2×10000+7×5×100+7×(2+5)=143549$.故密码为143549.
4[2025浙江台州期中,中]如图,已知$a,b,c,d,e$为正整数,且正五边形中每条边上三个数的和都等于-3,则$c^2+a^2 -b -d -e =$
17
.答案
17 【解析】根据题图得 $a+b=4$,$b+c=8$,$c+d=7$,$d+e=6$,$a+e=5$. 因为 $a,b$ 为正整数,所以 $0＜a＜4$,且 $a$ 为正整数. 当 $a=1$ 时,$b=3$,$c=5$,$d=2$,$e=4$,所以 $c^2+a^2-b-d-e=5^2+1^2-3-2-4=17$;当 $a=2$ 时,$b=2$,$c=6$,$d=1$,$e=5$,此时 $a+e=2+5=7≠5$,不符合题意;当 $a=3$ 时,$b=1$,$c=7$,$d=0$,不符合题意,所以 $c^2+a^2-b-d-e=17$,故答案为 17.
5[中]定义一种对正整数$n$的“$F$运算”:①当$n$为奇数时,结果为$3n+1$;②当$n$为偶数时,结果为$\frac{n}{2^k}$(其中$k$是使$\frac{n}{2^k}$为奇数的最小正整数).并且运算可以重复进行,例如,取$n=25$时,运算过程如图.若$n=34$,则第2023次“$F$运算”的结果是
6[中]已知$1^2+2^2+3^2+4^2+···+n^2=\frac{1}{6}n(2n+1)(n+1)$.
(1)求$1^2+2^2+3^2+4^2+···+50^2$的值.
(2)求$26^2+27^2+28^2+29^2+···+50^2$的值.
刷素养 走向重高
1
.6[中]已知$1^2+2^2+3^2+4^2+···+n^2=\frac{1}{6}n(2n+1)(n+1)$.
(1)求$1^2+2^2+3^2+4^2+···+50^2$的值.
(2)求$26^2+27^2+28^2+29^2+···+50^2$的值.
刷素养 走向重高
答案
5.1 【解析】由题意可知,当 $n=34$ 时,历次运算的结果为 $\frac{34}{2}=17$,$3×17+1=52$,$\frac{52}{2^2}=13$,$13×3+1=40$,$\frac{40}{2^3}=5$,$3×5+1=16$,$\frac{16}{2^4}=1$,$3×1+1=4$,$\frac{4}{2^2}=1$,$···$,故运算结果的规律为 $17\to52\to13\to40\to5\to16\to1\to4\to1···$,即从第7次开始1和4循环出现,偶数次为4,奇数次为1,所以当 $n=34$ 时,第2023次“$F$ 运算”的结果是1.故答案为1.
6.【解】(1)$1^2+2^2+3^2+4^2+···+50^2=\frac{1}{6}×(2×50+1)×(50+1)×50=42\ 925$.
(2)$26^2+27^2+28^2+29^2+···+50^2=(1^2+2^2+3^2+4^2+···+50^2)-(1^2+2^2+3^2+4^2+···+25^2)=42\ 925-\frac{1}{6}×(2×25+1)×(25+1)×25=42\ 925-5\ 525=37\ 400$.
6.【解】(1)$1^2+2^2+3^2+4^2+···+50^2=\frac{1}{6}×(2×50+1)×(50+1)×50=42\ 925$.
(2)$26^2+27^2+28^2+29^2+···+50^2=(1^2+2^2+3^2+4^2+···+50^2)-(1^2+2^2+3^2+4^2+···+25^2)=42\ 925-\frac{1}{6}×(2×25+1)×(25+1)×25=42\ 925-5\ 525=37\ 400$.
7 核心素养 推理能力 [2026山东淄博期中,较难]
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作$2_3$,读作“2的3次除方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)_4$,读作“-3的4次除方”.一般地,我们把n个$a(a≠0)$相除记作$a_n$,读作“a的n次除方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$3_3 =$
(2)关于除方,下列说法正确的有
①任何非零数的2次除方都等于1;
②对于任何正整数n,$1_n =1$;
③$7_5 =5_7$;
④负数的奇数次除方结果是负数,负数的偶数次除方结果是正数.
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如:$2_4 =2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$. (幂的形式)
(3)$(-3)_5 =$
(4)计算:$(-2)_5 ÷ (-\frac{1}{3})_4 × (-\frac{1}{2})_3 - (-1)^{2026}$.
规定:求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫作除方,如2÷2÷2,(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方,我们把2÷2÷2记作$2_3$,读作“2的3次除方”,$(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)$记作$(-3)_4$,读作“-3的4次除方”.一般地,我们把n个$a(a≠0)$相除记作$a_n$,读作“a的n次除方”.
【初步探究】
(1)直接写出计算结果:$3_3 =$
$\frac{1}{3}$
, $(-2)_3 =$ $-\frac{1}{2}$
.(2)关于除方,下列说法正确的有
①②④
. (填序号)①任何非零数的2次除方都等于1;
②对于任何正整数n,$1_n =1$;
③$7_5 =5_7$;
④负数的奇数次除方结果是负数,负数的偶数次除方结果是正数.
【深入思考】
我们知道,有理数的减法运算可以转化为加法运算,除法运算可以转化为乘法运算,那么除方运算如何转化为乘方运算呢?
例如:$2_4 =2÷2÷2÷2=2×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2$. (幂的形式)
(3)$(-3)_5 =$
$(-\frac{1}{3})^3$
; $(\frac{1}{5})_4 =$ $5^2$
.(4)计算:$(-2)_5 ÷ (-\frac{1}{3})_4 × (-\frac{1}{2})_3 - (-1)^{2026}$.
答案
7.【解】(1)$3_3=3÷3÷3=\frac{1}{3}$;$(-2)_3=-2÷(-2)÷(-2)=-\frac{1}{2}$. 故答案为 $\frac{1}{3},-\frac{1}{2}$.
(2)①当 $a≠0$ 时,$a_2=a÷a=1$,即任何非零数的2次除方都等于1,正确;②对于任何正整数 $n$,$1_n=1$,正确;③$7_5=7÷7÷7÷7÷7=\frac{1}{343}$,$5_7=5÷5÷5÷5÷5÷5÷5=\frac{1}{3125}$,所以 $7_5≠5_7$,原说法错误;④负数的奇数次除方,相当于奇数个负数相除,结果是负数,负数的偶数次除方,相当于偶数个负数相除,结果是正数,正确.故答案为①②④.
(3)由题意可得$(-3)_5=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^3$;$(\frac{1}{5})_4=\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}=\frac{1}{5}×5×5×5=5^2$. 故答案为 $(-\frac{1}{3})^3,5^2$.
(4)原式$=(-\frac{1}{2})^3÷(-3)^2×(-2)-1=(-\frac{1}{8})×\frac{1}{9}×(-2)-1 =-\frac{35}{36}$.
(2)①当 $a≠0$ 时,$a_2=a÷a=1$,即任何非零数的2次除方都等于1,正确;②对于任何正整数 $n$,$1_n=1$,正确;③$7_5=7÷7÷7÷7÷7=\frac{1}{343}$,$5_7=5÷5÷5÷5÷5÷5÷5=\frac{1}{3125}$,所以 $7_5≠5_7$,原说法错误;④负数的奇数次除方,相当于奇数个负数相除,结果是负数,负数的偶数次除方,相当于偶数个负数相除,结果是正数,正确.故答案为①②④.
(3)由题意可得$(-3)_5=(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)=(-3)×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})×(-\frac{1}{3})=(-\frac{1}{3})^3$;$(\frac{1}{5})_4=\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}÷\frac{1}{5}=\frac{1}{5}×5×5×5=5^2$. 故答案为 $(-\frac{1}{3})^3,5^2$.
(4)原式$=(-\frac{1}{2})^3÷(-3)^2×(-2)-1=(-\frac{1}{8})×\frac{1}{9}×(-2)-1 =-\frac{35}{36}$.
